Rappels sur la th´ eorie g´ eom´ etrique des invariants

µ(Eb i) +dlog₂ne

2 log(rgEi)

+ 2^dlog2nelog|∆K|

2[K:Q]. (5.4) On ´enonce ici le th´eor`eme principal du chapitre :

Th´eor`eme 5.1.2 SoientE₁,· · · , E_n une famille finie de fibr´es vectoriels hermitiens non-nuls sur SpecO_K, alors

µbmax(E1⊗ · · · ⊗En)≤

n

X

i=1

µbmax(Ei) + log(rgEi)

. (5.5)

On r´esume d’ici les ´etapes principaux de la d´emonstration :

1) Majoration du degr´e d’Arakelov d’un sous-fibr´e inversible sous des hypoth`eses de semi-stabilit´e (au sens de la th´eorie geom´etrique des invariants). L’id´ee remonte `a un article de J.-B. Bost [7], inspir´e par Bogomolov [80], Gieseker [36] et Cornalba-Harris [23]. On utilisera la th´eorie des invariants “classique” qui fournit des polynˆomes invariants d´efinis surZet de normes archim´ediennes contrˆol´ees.

2) La technique de Ramanan-Ramanathan [77] (reformul´ee par Totaro [86]), qui est une va-riante de la construction de Kempf [61], permet d’enlever l’hypoth`ese de semi-stabilit´e dans l’´etape 1).

3) La comparaison de la pente maximale et du plus grand degr´e de sous-fibr´e inversible deve-lopp´ee dans [14] implique une in´egalit´e qui est un peu plus faible que (5.5).

4) Enfin, un astuce de “passage `a la limite” permet de conclure.

Remarque 5.1.3 Dans le cas o`u il ne s’agit que le produit tensoriel de deux fibr´es vectoriels hermitiens et o`uK=Q, l’in´egalit´e (5.3) est plus forte que (5.5).

Si on applique le th´eor`eme 5.1.2 `a (E^∨_i)_1≤i≤n on obtient le corollaire suivant :

Corollaire 5.1.4 Soit(E_i)_1≤i≤n une collection de fibr´es vectoriels hermitiens sur SpecOK. Si on noteE=E₁⊗ · · · ⊗E_n, alors

µbmin(E)≥

n

X

i=1

µbmin(Ei)−log(rg(Ei)) .

5.2 Rappels sur la th´ eorie des invariants

5.2.1 Rappels sur la th´ eorie g´ eom´ etrique des invariants

Dans ce sous-paragraphe, on rappelle quelques r´esultats dans la th´eorie g´eom´etrique des invariants. Les r´ef´erences sont [72] et [77].

Modules inversibles G-lin´eaires, sous-groupes `a un param`etre, et invariants de Mumford

SoientKun corps,Gun groupe alg´ebrique r´eductif sur SpecKetXun sch´ema sur SpecK.

On suppose que G agisse `a gauche sur X et on d´esigne par σ : G×K X → X l’action du groupe. On d´esigne parm: G×KG→G la loi du groupe. SoitL unOX-module inversible.

On rappelle qu’une G-lin´earisationde Lest par d´efinition un isomorphismeφ:σ^∗L→pr^∗₂L tel que le diagramme

[pr₂◦(IdG×σ)]^∗L [σ◦pr₂₃]^∗L

pr^∗₂₃φ

[σ◦(IdG×σ)]^∗L

(IdG×σ)^∗φ

OO

[pr₂◦pr₂₃]^∗L

[σ◦(m×IdX)]^∗L

(m×IdX)^∗φ //[pr₂◦(m×IdX)]^∗L

commute, o`u l’on a d´esign´e par pr₂ et pr₂₃ les projections sur les derniers facteurs : pr₂:G×KX −→X, et pr₂₃:G×KG×KX −→G×KX.

Le couple (L, φ) est appel´e unOX-module inversibleG-lin´eaire. Si φ est une G-lin´earisation de L, alors φ^∨ : σ^∗L^∨ → pr^∗₂L^∨ est une G-lin´earisation de L^∨. Si (L₁, φ₁) et (L₂, φ₂) sont deux O_X-modules inversibles G-lin´eaires, alors φ₁⊗φ₂ est une G-lin´earisation de L₁⊗L₂. Par cons´equent, les classes d’isomorphismes deO_X-modules inversiblesG-lin´eaires forment un groupe, not´e Pic^G(X).

On appellesous-groupe `a un param`etredeGtout morphisme deK-sch´emas en groupes de Gm,K versG. Soit h: Gm,K →Gun sous-groupe `a un param`etre de G. Si j :x→X est un point rationnel deX, alorshet xinduisent un morphisme de Gm,K versX :

G^{m,K h} //G ^∼ //G×Kx ^Id×j//G×KX ^σ //X.

D’apr`es [50] I.8.2.12 (qui est essentiellement une cons´equence du crit`ere valuatif de propret´e), siX est propre surK, ce morphisme se prolonge en un morphismefh,xdeA¹K versX. Le point fh,x(0) est un point rationnel deX et est invariant par l’action du groupeGm,K (via λ). Par cons´equent, siLest unOX-module inversibleG-lin´eaire, l’action deGm,K surL|_fh,x(0) d´efinit un caract`ere de la forme t7→t<sup>µ(x,h,L)</sup> de Gm,K, o`u µ(x, h, L)∈Z. De plus, si on fixe xet h, alorsµ(x, h,·) : Pic^G(X)→Zest un homomorphisme de groupes.

Si Gm,K agit (`a gauche) sur un espace vectorielV de rang fini surK (i.e., si l’on se donne un morphisme de groupes alg´ebriques surKdeGm,K versGLK(V)), on a une d´ecomposition deV en somme directe de sous-espaces stables par l’action deGm,K

V =M

i∈Z

V(i), o`u l’action de Gm,K surV(i) est

Gm,K×_KV(i) ^(t7→t

i)×Id //Gm,K×_KV(i) //V(i),

la seconde fl`eche ´etant l’action naturelle par multiplication. Cette d´ecomposition induit une R-filtration d´ecroissante continue `a gauche surV :

Vλ:=M

i≥λ

V(i) pour toutλ∈R.

Clairement,F^h peut ˆetre aussi consid´er´ee comme uneZ-filtration.

En particulier, siGest un groupe alg´ebrique agissant `a gauche surV, tout sous-groupe `a un param`etre h:Gm,K →Gd´efinit une telle filtration, not´eF^h. Si l’action deGse factorise parSLK(V), alorsE[F^h] = 0 (voir (4.4) pour la notation).

On suppose queV soit un espace vectoriel de rang fini surK. Soientm= (mi)_1≤i≤d+1une suite strictement croissante d’entiers positifs telle quem1= 0 etmd+1= rg_K(V),X le fibr´e de drapeaux de V^∨ de type m. Soientπ :X →SpecK le morphisme canonique et (Ei)_1≤i≤d+1 le drapeau universel. C’est un drapeau de type m de E :=π^∗(V^∨). Par d´efinition Ei est un quotient de rangmi deE et pour tout entier 1≤i≤d, l’homomorphisme canoniqueE→Ei

se factorise parEi+1. Pour tout entier 1≤i≤don note Li= d´et [Ker(Ei+1→Ei)].

Le groupe de Picard Pic(X) est engendr´e par les [Li], et on a un isomorphisme de faiseaux inversiblesG-lin´eaires surX :

L1⊗ · · · ⊗Ld∼=π^∗(d´etV)^∨.

On notera que ce faisceau inversible est isomorphe `aO_X commeO_X-module, mais pas comme faisceau inversibleG-lin´eaire surX si l’action deGsurV ne se factorise pas parSLK(V).

Si a= (a_i)_1≤i≤d est un ´el´ement dans Z^d, on noteL^a= (L^⊗a₁ ¹⊗ · · · ⊗L^⊗a_d ^d)^∨. AlorsL^aest ample lorsqueaest une suite strictement croissante.

Si xest un point rationnel de X, il d´etermine une chaˆıne d´ecroissante de sous-espaces de V :

V =V1)V2)· · ·)Vd+1= 0.

Pour toute suite strictement croissantea= (ai)_1≤i≤d, on d´efinit uneR-filtration d´ecroissante et continue `a gaucheF^a,x surV telle que

F_λ^a,xV = [

λ≤ai

V_i.

Th´eor`eme 5.2.1 (Mumford, voir [24] et [86]) Avec les notation ci-dessus, si G est un groupe r´eductif qui agit lin´eairement sur V, alors l’action de G sur V induit une action de Gsur X. D’autre part, pour touta∈Z<sup>d</sup>, on a uneG-lin´earisation naturelle surL<sup>a</sup>. Si de plus L<sup>a</sup> est ample, alors pour tout sous-groupe `a un param`etrehdeG et tout pointx∈X(K), on a¹

µ(x, h, L^a) =

F^h,F^a,x .

En particulier, si l’action deGsur V se factorise par SLK(V), on a µ(x, h, L^a) = cov(F^h,F^a,x).

1Voir (4.5) et (4.6) pour les d´efinitions deh,iet de cov(,).

Semi-stabilit´e au sens de la th´eorie g´eom´etrique des invariants

Soient K un corps et π : X → K un K-sch´ema projectif. Soit (L, φ) un OX-module inversible G-lin´eaire. On dit qu’un point rationnel xde X est semi-stable pour l’action deG relativement `a (L, φ) s’il existe un entiern∈Net une sections∈H<sup>0</sup>(X, L<sup>⊗n</sup>) qui est invariante par l’action deGtelle quex∈X<sub>s</sub>, o`uX_sest le sous-sch´ema ouvert deX des pointsy tels que s(y)6= 0. D’apr`es la d´efinition on sait imm´ediatement que, pour tout entier strictement positif n,xest semi-stable pour l’action deGrelativement `a (L, φ) si et seulement s’il est semi-stable pour l’action de G relativement `a la puissance tensorielle (L^⊗n, φ^⊗n). Cette remarque nous permet d’utiliser les puissances tensorielles rationnelles lorsqu’on ´etudie la semi-stabilit´e d’un point rationnel.

Par exemple, siX est de la formeP(V^∨), o`uV est un espace vectoriel de rang 0< d <+∞

sur K, alors GLK(V) et SLK(V) op`erent naturellement sur X. Soit M un sous-espace de rang 1 deV, c’est un point rationnel dansX. Le faisceau inversibleOV<sup>∨</sup>(1) surP(V<sup>∨</sup>) admet une GLK(V)-lin´eairisation d´efinie par “transport de structure”. Cette GLK(V)-lin´eairisation d´etermine par restriction uneSLK(V)-lin´earisation surOV<sup>∨</sup>(1). D’autre part, il y a des actions non-triviales deGLK(V) sur le faisceau trivial deP(V<sup>∨</sup>). Ce sont des images r´eciproques d’un espace vectoriel de rang 1 surKo`u l’action deGLK(V) est donn´ee par un caract`ere (`a savoir, unK-morphisme deK-sch´ema en groupes deGLK(V) vers Gm,K). On rappelle que les seuls caract`eres deGLK(V) sont des puissances tensorielles du d´eterminant. Siχ est un caract`ere de GLK(V), on d´esigne par Oχ le faisceau trivial surP(V^∨) o`u la GLK(V)-lin´earisation est induite par le caract`ereχ.

R´esultats de Kempf et de Ramanan-Ramanathan

Le th´eor`eme suivant dˆu `a Hilbert et Mumford donne un crit`ere num´erique pour la semi-stabilit´e d’un point rationnelx(cf. [72] Theorem 2.1).

Th´eor`eme 5.2.2 (Hilbert-Mumford) SoientG un groupe r´eductif qui agit sur un sch´ema X qui est propre sur le spectre d’un corps K de caract´eristique 0,L ∈Pic<sup>G</sup>(X) dont le OX -module inversible sous-jacent est ample etx∈X(K). Alorsxest semi-stable relativement `aL si et seulement si µ(x, h, L)≥0 pour tout sous-groupe `a un param`etre deG.

D’apr`es le th´eor`eme de Hilbert-Mumford, on obtient que, si x ∈ X(K) n’est pas semi-stable relativement `a L, alors il existe au moins un sous-groupe `a un param`etre de Gtel que µ(x, h, L) < 0. Kempf [61] et Rousseau [81] ont g´en´eralis´e ind´ependamment le th´eor`eme de Hilbert-Mumford en les vari´et´es propres sur le spectre d’un corps parfait, en d´emontrant que lorsquexn’est pas semi-stable, alors il existe un (presque unique) sous-groupe `a un param`etre h₀ deG(dit de Kempf) qui minimise certaine fonction. Le th´eor`eme a ´et´e d’abord d´emontr´e pour le cas o`uK est alg´ebriquement clos. Le cas g´en´eral r´esulte de l’unicit´e du sous-groupe `a un param`etre de Kempf par la technique de descente. En s’appuyant sur les r´esultats de Kempf, Ramanan et Ramanathan ont d´emontr´e dans [77] que dans le cas o`uKest de caract´eristique 0, tout fibr´e associ´e `a un fibr´e principal semi-stable est encore semi-stable. En particulier, siCest une courbe projective non-singuli`ere sur un corps caract´eristique 0, alors le produit tensoriel de deux fibr´es semi-stables surC est encore semi-stable.

En utilisant les r´esultats de Kempf et de Ramanan-Ramanathan (reformul´es en language des filtrations), Totaro [86] a propos´e une nouvelle d´emonstration d’une conjecture de Fontaine qui a ´et´e d’abord d´emontr´ee par Faltings [29] que le produit tensoriel de deux isocristaux filtr´es faiblement admissibles semi-stables est encore semi-stable (voir aussi le note de de Shalit [24]).

Les r´esultats de Kempf et de Ramanan-Ramanathan peuvent aussi ˆetre utilis´es dans l’´etude de la pente maximale arithm´etique du produit tensoriel de fibr´es vectoriels hermitiens. On

r´esume leur r´esultats dans la suite :

Soit V un espace vectoriel de rang fini sur un corps K qui est de caract´eristique 0. On suppose queGsoit un groupe r´eductif qui agit lin´eairement (`a gauche) sur V (donc on a une G-lin´earisation naturelle sur O<sub>V</sub>(1)). D’apr`es Kempf, on sait associer `a chaque groupe `a un param`etre hde G un nombre khk > 0 (cf. [77] §1). Si x ∈ P(V)(K) est un point qui n’est pas semi-stable pour l’action de G relativement `a O(1), alors il existe un sous-groupe `a un param`etre (dit de Kempf) hx qui minimise la fonction

h7−→ µ(x, h,O(1))

khk . (5.6)

La valeur minimale est strictement n´egative. D’autre part, `a chaque sous-groupe `a un pa-ram`etre h on peut associer un sous-groupe parabolique P(h) de G qui est engendr´e par un tore maximal contenanthet les groupes de racinesUα correspondant aux racinesαtelle que α(h)≥0. Le radical nilpotent U(h) deP(h) est donc engendr´e par lesUα avecα(h)>0. On consid`ereF^hx comme uneZ-filtration. Le groupe r´eductifP(hx)/U(hx) agit naturellement sur M

q∈Z

F_q^hxV /F_q+1^hx V.

Th´eor`eme 5.2.3 ([77] Proposition 1.12) Avec les notations ci-dessus, si on d´esigne par j le plus grand indice tel quex∈ F<sub>j</sub><sup>hx</sup>V, alors il existe un entier positifr et un caract`ere χ sur P(h_x) tels que l’image canonique de x dans F_j^hxV /F_j+1^hx V =P(F_j^hxV /F_j+1^hx V)(K) soit semi-stable pour l’action deP(h_x)/U(h_x)relativement `aO(r)⊗ Oχ<sup>−1</sup>, o`uOχ⁻¹ est le faisceau trivial dont la P(h_x)/U(h_x)-lin´earisation est induite par le caract`ere χ⁻¹.