Pente maximale asymptotique relative et positivit´ e

Dans ce sous-paragraphe, sauf mention explicite du contraire, toutes les vari´et´es alg´ebriques sont suppos´ees sur Speck, C d´esigne une courbe alg´ebrique projective lisse sur k qui est de genreget η le point g´en´erique deC.

Rappel sur le domaine de d´efinition d’une application rationnelle

SoientSun sch´ema etXetY deuxS-sch´emas ; on rappelle qu’uneS-application rationnelle de X vers Y est par d´efinition une classe d’´equivalence de S-morphismes de sous-sch´emas ouverts denses de X vers Y (cf. [50] chap. I §8). Sif est une S-application rationnelle de X vers Y, on note f : X //Y . Si S est le spectre d’un corps k, si X est int`egre et si Y est localement de type fini sur Speck, alors lesk-morphismes rationnels deX versY s’indentifient auxk-points deY `a valeurs dansk(X).

SoientS un sch´ema etf : X //Y uneS-application rationnelle. On dit quef estd´efinie au pointx∈X s’il existe un morphismeg:U →Y dans la classef tel quex∈U. On appelle domaine de d´efinitiondef le sous-ensemble deX des points o`uf est d´efinie. C’est un ouvert dense dansXqui peut donc ˆetre consid´er´e comme un sous-sch´ema ouvert deX. SiXest r´eduit et si Y est s´epar´e sur S, alors il existe un unique morphisme du domaine de d´efinition de f versY qui est dans la classef.

D’apr`es [50] I.8.2.12, si les conditions suivantes sont v´erifi´ees : 1) X est r´eduit et localement noeth´erien,

2) l’ensembleN des pointx∈X o`uX n’est pas r´egulier est de codimension≥2 dans X, 3) le morphisme structuralY →S est s´epar´e et universellement ferm´e,

alors l’ensemble des points deX o`u f n’est pas d´efinie est de codimension au moins 2.

En particulier siSest le spectre d’un corpsk, siXest une courbe r´eguli`ere sur une extension Kdek, et siY est une vari´et´e propre sur Speck, alors toutk-point deY `a valeurs dansK(X) se prolonge de fa¸con unique en un morphisme dek-sch´emas deX versY.

Pente maximale asymptotique relative d’un module inversible

Lemme 2.2.1 Soit π:X →C un morphisme propre et surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique X vers la courbe alg´ebriqueC. Alors il existe une extension de type fini et purement transcendante k⁰ dek, une courbe alg´ebrique non-singuli`ere C<sup>0</sup> sur k<sup>0</sup>, un morphisme fini p: C<sup>0</sup> → C<sub>k</sub><sup>0</sup>, et un k-morphisme dominant f : C<sup>0</sup> → X tels que πf = qp, o`u q : C_k⁰ → C est la projection canonique.

C^{0 f} //

p

X

π

Ck⁰ q //

C

Speck⁰ //Speck

D´emonstration. Soient K (resp. K⁰) le corps des fonctions m´eromorphes sur C (resp. X).

Commeπest un morphisme de type fini,K⁰ est une extension de type fini deK, donc est une extension finie d’une extension purement transcendante deK. Soitdde degr´e de transcendance deK⁰ surK, et soitk⁰ une extension purement transcendante de degr´eddek. On d´esigne par (Ti)1≤i≤d une base de transcendance de k⁰ sur k. Le corps K⁰⁰ des fonctions rationnelles sur

Ck⁰ =C×kSpeck⁰ est une extension purement transcendante de degr´ed de K. On d´esigne parq:Ck⁰ →C la projection canonique. En choisissant une base de transcendance (xi)_1≤i≤d de K⁰ sur K on obtient un homomorphismeϕ de K⁰⁰ dans K⁰ qui associe `a Ti l’´el´ement xi. On peut donc considererK<sup>0</sup> comme une extension finie de K<sup>00</sup> (via ϕ). Le corps K<sup>0</sup> est une extension de degr´e de transcendance 1 surk<sup>0</sup>. SoitC<sup>0</sup> une courbe projective normale surk<sup>0</sup> de corps de fonctions m´eromorpheK<sup>0</sup> (C’est unique `a un uniquek-isomorphisme pr`es). L’homo-morphismeϕ:K<sup>00</sup>→K<sup>0</sup> d´efinit un point g´eom´etrique deC<sub>k</sub><sup>0</sup> `a valeur dansK⁰ au-dessus du point g´en´erique de C_k⁰ (pour la notation cf. [44] I.3.4.5), donc d´etermine une k⁰-application rationnelle deC⁰ versC_k⁰ (cf. [44] I.7.1.2 et I.7.1.16). Celle-ci prolonge de fa¸con unique en un k⁰-morphisme p : C⁰ → C_k⁰. Le morphisme p est fini car K⁰ est une extension finie de K⁰⁰. D’autre part, commeX et C⁰ ont le mˆeme corps des fonctions m´eromorphesK⁰, l’automor-phisme Id : K⁰ → K⁰ d´efinit une k-application rationnelle de C⁰ vers X `a valeur dans K<sup>0</sup> au-dessus du point g´en´erique du sch´emaX (cf. [44] I.7.1.16) qui se prolonge de fa¸con unique en unk-morphismef deC<sup>0</sup> versX. Le morphismef est dominant car son image contient le point g´en´erique deX. Enfin, on aπf =qppuisqu’ils correspondent au mˆemek-point de C `a

valeurs dansK⁰. 2

Remarque 2.2.2 Dans le lemme pr´ec´edent, Sik(X) est une extension s´eparable dek(C), on peut choisir K⁰⁰ tel que ϕ : K⁰⁰ → K⁰ soit une extension s´eparable. La courbe C⁰, de corps de fonctionK⁰, r´eguli`ere, et finie sur Ck⁰, construite dans la d´emonstration ci-dessus, est alors g´en´eriquement ´etale sur Ck⁰. Si de plus la courbe C sur k est g´eom´etriquement r´eduite, la courbeC⁰ surk⁰ est aussi g´eom´etriquement r´eduite.

Proposition 2.2.3 Soient π : X → C un k-morphisme propre, surjectif et s´eparable d’une vari´et´e alg´ebrique projective X sur k vers C, L un O_X-module inversible. Si π_∗L admet un sous-O_C-module inversible ampleM, alors (X, L)satisfait aux conditionsP₂ etP₃.

D´emonstration. Avec les notations du lemme 2.2.1, on a un morphisme dominant f d’une courbeC⁰ sur une extension purement transcendant dek, versX, tel quew=πf =qp.

Comme M est un sous-OC-module inversible de π∗L,π∗L⊗M^∨ ∼=π∗(L⊗π^∗M^∨) a une section non-nulle au-dessus deC. Par cons´equent,L⊗π^∗M^∨a une section non-nulle au-dessus deX. Comme f est dominant, on sait quef^∗(L⊗π^∗M^∨) =f^∗L⊗w^∗M^∨ admet une section non-nulle au-dessus deC⁰. Par cons´equent, on a

deg_C0(f^∗L⊗w^∗M^∨) = deg_C0(f^∗L)−deg_C0(w^∗M)≥0

puisquef^∗Lest unOC⁰-module inversible. CommeM est ample surC,w^∗M est ample surC⁰ carqest un changement de base par un morphisme de sch´emas affines etpest un morphisme fini. Par cons´equent, deg_C0(w^∗M)>0, et a fortiorideg_C0(f^∗L)>0. Commef^∗L est de rang 1, il est ample. Donc (X, L) satisfait `a la condition P2, et a fortiori la condition P3 (cf. la

proposition 2.1.32). 2

Corollaire 2.2.4 Soientπ:X →Cun morphisme propre, surjectif et s´eparable d’une vari´et´e alg´ebrique X vers C etL unOC-module inversible ample. Alors (X, π^∗L)satisfait aux condi-tionsP2 etP3.

D´emonstration. D’apr`es l’adjonction des foncteurs π∗ et π^∗, on a π∗π^∗L = π∗(OX)⊗L.

Comme Γ(C, π∗(OX)) = Γ(X,OX)6= 0,L est un sous-fibr´e inversible de π∗π^∗L. Cela montre que (X, π^∗L) satisfait aux conditionsP2et P3 puisqueL est ample surC. 2

Proposition 2.2.5 Soient π : X → C un morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique X vers C, F un OX-module sans torsion et L un OX-module inversible. Alors il existe une constantee1(F)dansRtelle que, pour tout tel entiern >0, on ait µmax(π∗(F ⊗ L^⊗n))≤e1(F)n.

D´emonstration. La vari´et´eX est projective surk. On choisit unOX-module inversible ample L surX. En plongeantF dans une somme directe de faisceaux inversibles, on voit qu’il suffit d’´etablir la proposition lorsqueF est lui-mˆeme inversible, ce que nous supposerons d´esormais.

Posons d= dimX et K le corps des fonctions rationnelles sur C. Oberservons que l’on a l’´egalit´e dans le groupe de Chow CH1(C) :

π_∗(c1(L)^d−1) = (deg_LKXK)[C].

Supposons que M soit un OC-module inversible et que ϕ : M → π_∗(F ⊗L^⊗n) soit un homomorphisme injectif. On d´esigne parϕe:π^∗M → F ⊗L^⊗n le morphisme de OX-modules qui correspond `aϕpar adjonction. Ce dernier s’identifie `a une section non-identiquement nulle deπ^∗M^∨⊗ F ⊗L^⊗n, dont le diviseur divϕeest effectif. On a donc

deg_X

c1(L)^d−1[div(ϕ)]e

≥0.

Or [divϕ] =e −π^∗c₁(M) +c₁(F) +nc₁(L) dans CH¹(X), donc

deg_X

c1(L)^d−1[div(ϕ)]e

= deg_X

(−π^∗c1(M) +c1(F) +nc1(L))c1(L)^d−1

=−deg_C

c1(M)π_∗(c1(L)^d−1)

+ deg_X(c1(F)c1(L)^d−1) +ndeg_X(c1(L)c1(L)^d−1).

Par cons´equent,

deg_C(M)≤ deg_X(c1(L)c1(L)^d−1) deg_L

KX_K +deg_X(c1(F)c1(L)^d−1) deg_L

KX_K .

Enfin, d’apr`es la comparaison que l’on a ´etabli dans la proposition 1.3.15, on d´eduit la majo-ration lin´eaire enndeµmax(π∗(F ⊗L^⊗n)) annonc´ee. 2

Proposition 2.2.6 Soient π: X →C un morphisme surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique pro-jective X vers C et E₁ et E₂ deux O_X-modules localement libres de rang fini et non-nuls. Si π_∗(E₁)etπ_∗(E₂)sont non-nuls, alors on a

µ_max(π_∗(E₁⊗E₂))≥µ_max(π_∗E₁) +µ_max(π_∗E₂)−2a(C), o`ua(C) est la constante d´ependant deC dans la proposition 1.3.15.

D´emonstration. Commeπ_∗(E1) etπ_∗(E2) sont non-nuls, il en est de mˆeme deπ_∗(E1⊗E2).

D’apr`es la proposition 1.3.15, il existe deuxOC-modules inversiblesM1 et M2 ainsi que deux homomorphisme injectifs

M1−→π∗(E1), M2−→π∗(E2) tels que

degM1≥µmax(π∗E1)−a(C), degM2≥µmax(π∗E2)−a(C).

Comme M₁^∨⊗π_∗(E1) et M₂^∨⊗π_∗(E2) ont des sections non partout nulles au-dessus de C, π^∗(M1)^∨⊗E1 et π^∗(M2)^∨ ⊗E2 ont des sections non partout nulles au-dessus de X. Par cons´equent,

H⁰(X, π^∗(M₁⊗M₂)^∨⊗(E₁⊗E₂)) =H⁰(C,(M₁⊗M₂)^∨⊗π_∗(E₁⊗E₂))6= 0.

Donc

0≤µ_max((M₁⊗M₂)^∨⊗π_∗(E₁⊗E₂)), et donc

µ_max(π_∗(E₁⊗E₂))≥degM₁+ degM₂≥µ_max(π_∗(E₁)) +µ_max(π_∗(E₂))−2a(C).

2 Proposition 2.2.7 Soientπ:X →C un morphisme surjectif d’une vari´et´e projectiveX vers CetLunO_X-module inversible ample relativement `aπ. Alors la suite(µ_max(π_∗(L^⊗n))/n)_n≥1 admet une limite dans R.

D´emonstration. On note an = µmax(π_∗(L^⊗n)) si π_∗(L^⊗n) 6= 0 ce qui a lieu d`es que n est suffisamment grand. D’apr`es la proposition 2.2.5, il existe une constantec >0 tel quean≤cn pour n suffisamment grand. D’autre part, la proposition 2.2.6 montre que, pour tous entiers m, nsuffisamment grands,

a_m+n≥a_m+a_n−2a(C).

D’apr`es le corollaire 1.5.3, la suite (an/n)_n≥1 admet une limite dansR. 2

Remarque 2.2.8 La proposition pr´ec´edente reste vraie si, au lieu de l’amplitude de L rela-tivement `a π, on suppose seulement que Γ(XK, L<sup>⊗n</sup><sub>K</sub> ) est non-r´eduit `a 0 pour nsuffisamment grand.

D´efinition 2.2.9 Soitπ:X→C un morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique X versC. Pour toutOX-module inversibleLample relativement `a π, on d´esigne parµ^π_max(L) la limite

µ^π_max(L) := lim

n→∞

µ_max(π_∗(L^⊗n))

n ,

appel´eela pente maximale asymptotique deL relativement `aπ.

Proposition 2.2.10 Soitπ:X →Cun morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique X versC.

1) SiL est unOX-module inversible ample relativement `aπ, alors pour tout entiern≥1, on a

µ^π_max(L^⊗n) =nµ^π_max(L).

2) SiLest un OX-module inversible ample relativement `aπet siM est unOC-module inver-sible, alors

µ^π_max(L⊗π^∗M) = degM +µ^π_max(L).

3) SiL1 etL2 sont deuxOX-modules inversibles amples relativement `aπ, alors µ^π_max(L1⊗L2)≥µ^π_max(L1) +µ^π_max(L2).

4) SoientL1 etL2deuxOX-modules inversibles amples relativement `aπ. S’il existe un homo-morphisme non-nulϕ:L1→L2 deOX-modules, alorsµ^π_max(L1)≤µ^π_max(L2).

D´emonstration. 1) est imm´ediat d’apr`es la d´efinition deµ^π_max. 2) On a pourn0,

µmax(π∗(L^⊗n⊗π^∗M^⊗n)) =µmax(π∗(L^⊗n)⊗M^⊗n) =µmax(π∗(L^⊗n)) +ndegM.

D’o`u

n→∞lim 1

nµmax(π∗(L^⊗n⊗π^∗M^⊗n)) = degM+ lim

n→∞

1

nµmax(π∗(L^⊗n)) 3) Pour tout entiern0,

µmax(π_∗(L^⊗n₁ ⊗L^⊗n₂ ))≥µmax(π_∗(L^⊗n₁ )) +µmax(π_∗(L^⊗n₂ ))−2a(C).

Donc

µmax(π_∗(L^⊗n₁ ⊗L^⊗n₂ ))

n ≥ µmax(π_∗(L^⊗n₁ ))

n +µmax(π_∗(L^⊗n₂ ))

n −2a(C)

n . Par passage `a la limite on obtient

µ^π_max(L1⊗L2)≥µ^π_max(L1) +µ^π_max(L2).

4) Pour tout entier n ≥ 1 on a un homomorphisme injectif ϕ^⊗n : L^⊗n₁ → L^⊗n₂ . En prenant l’image directe on obtient un homomorphisme injectif de π_∗(L^⊗n₁ ) vers π_∗(L^⊗n₂ ).

Par cons´equent, on a µ_max(π_∗(L^⊗n₁ ))≤ µ_max(π_∗(L^⊗n₂ )). Par passage `a la limite on sait que

µ^π_max(L1)≤µ^π_max(L2). 2

D´efinition 2.2.11 Soient π : X → C un morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique versC,LunOX-module inversible,L unOX-module inversible ample relativement

`

aπ. D’apr`es [45] chap II, 4.6.13, il existe un entiern0(L,L)>0 tel queL⊗L<sup>⊗n</sup> soit ample relativement `a π pour tout entier n ≥ n0(L,L). On d´efinit pour tout entier n ≥ n0(L,L) An(L,L) =µ^π_max(L⊗L^⊗n)−nµ^π_max(L).

Proposition 2.2.12 Avec les notations de la d´efinition 2.2.11.

1) La suite (An(L,L))_n≥n0(L,L)est croissante et converge vers une limite dans R.

2) Si M est un OC-module inversible, on a An(L,L ⊗π^∗M) = An(L,L) pour tout n ≥ n0(L,L).

3) Si on d´esigne parΞ(resp.Ξ_π) l’ensemble desO_X-modules inversibles amples (resp. amples relativement `aπ), alors

Linf∈Ξ lim

n→+∞A_n(L,L) = inf

L⁰∈Ξπ

n→+∞lim A_n(L,L⁰). (2.3) 4) SiL est unOX-module ample relativement `aπ, alors la valeur (2.3) est ´egale `aµ^π_max(L).

5) SiLest de la formeπ^∗M, o`uM est unOC-module inversible, alors la valeur (2.3) est ´egale

`

adeg_C(M).

D´emonstration. 1) D’apr`es la proposition 2.2.10 3), pour tout entiern≥n0(L,L), µ^π_max(L⊗L^⊗(n+1))≥µ^π_max(L⊗L^⊗n) +µ^π_max(L).

Donc on aAn+1(L,L) ≥An(L,L). D’autre part, comme L est ample relativement `a π, il existe unOC-module inversibleM tel queL ⊗π^∗M soit ample (lemme 2.1.15). Donc il existe un entierm >0 et un homomorphisme injectif deLvers (L ⊗π^∗M)^⊗m. Par cons´equent, on a

µ^π_max(L⊗L^⊗n)≤µ^π_max((L ⊗π^∗M)^⊗m⊗L^⊗n) = (m+n)µ^π_max(L) +mdeg(M), i.e., A_n(L,L) ≤ m(µ^π_max(L) + deg(M)). Par cons´equent, la suite A_n(L,L))_n≥n0(L,L) est croissante et born´ee sup´erieurement, donc converge dansR.

2) Si L⊗L^⊗n est ample relativement `a π, il en est de mˆeme de L⊗(L ⊗π^∗M)^⊗n = L⊗L^⊗n⊗π^∗M^⊗n ([45] chap II, 4.6.5), et

µ^π_max(L⊗(L ⊗π^∗M)^⊗n) =µ^π_max(L⊗L^⊗n) +ndegM.

Par cons´equent,

A_n(L,L ⊗π^∗M) =µ^π_max(L⊗L^⊗n) +ndeg(M)−nµ^π_max(L ⊗π^∗M) =A_n(L,L).

3) L’´egalit´e (2.3) est une cons´equence imm´ediate de 2) et de la proposition 2.1.16.

4) Pour toutOX-module inversibleL ample relativement `aπ, d’apr`es la proposition 2.2.10, on a

µ^π_max(L⊗L^⊗n)−nµ^π_max(L)≥µ^π_max(L) +µ^π_max(L^⊗n)−nµ^π_max(L) =µ^π_max(L).

Donc on a inf

L∈Ξ lim

n→+∞A_n(L,L)≥µ^π_max(L). D’autre part, comme Lest ample relativement `a π,

infL lim

n→+∞A_n(L,L)≤ lim

n→+∞A_n(L, L) = lim

n→+∞

µ^π_max(L⊗L^⊗n)−nµ^π_max(L)

=µ^π_max(L).

Donc on a l’´egalit´e.

5) SiL=π^∗M, o`uM est unOC-module inversible, alors pour toutOX-module inversible ample relativement `aπ, et tout entiern >0,

An(L,L) =µ^π_max(π^∗M⊗L^⊗n)−nµ^π_max(L) = deg(M) +µ^π_max(L^⊗n)−nµ^π_max(L) = deg(M).

2

D´efinition 2.2.13 Soitπ:X →Cun morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique X versC. Pour toutOX-module inversibleLon d´efinit

µ^π_max(L) = inf

L lim

n→+∞

µ^π_max(L⊗L^⊗n)−nµ^π_max(L)

, (2.4)

o`u L parcourt tous lesOX-modules inversibles amples relativement `aπ. C’est un ´el´ement de [−∞,+∞[. Il est fini et co¨ıncide avec la d´efinition 2.2.9 lorsqueL est ample relativement `aπ (cf. la proposition 2.2.12 4)).

Proposition 2.2.14 Soitπ:X →Cun morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique X versC.

1) Pour tous OX-modules inversiblesL1 etL2, on a

µ^π_max(L1⊗L2)≥µ^π_max(L1) +µ^π_max(L2).

2) Pour tout OX-module inversible Let tout entier n >0 on a µ^π_max(L^⊗n) =nµ^π_max(L).

3) SiL₁ etL₂ sont deuxOX-modules inversibles et s’il existe un homomorphisme non-nul de L₁ vers L₂, alors µ^π_max(L₁)≤µ^π_max(L₂).

4) Pour tout OX-module inversible Let toutOC-module inversible M on a µ^π_max(L⊗π^∗M) =µ^π_max(L) + deg(M).

D´emonstration. 1) Pour toutOX-module inversibleL ample relativement `aπet tout entier nsuffisamment grand,

µ^π_max(L₁⊗L₂⊗L^⊗2n)≥µ^π_max(L₁⊗L^⊗n) +µ^π_max(L₂⊗L^⊗n),

d’o`uA<sub>2n</sub>(L<sub>1</sub>⊗L2,L)≥A<sub>n</sub>(L<sub>1</sub>,L)+A<sub>n</sub>(L<sub>2</sub>,L). Par passage `a la limite on sait queµ^π_max(L₁⊗ L₂)≥µ^π_max(L₁) +µ^π_max(L₂).

2) Pour toutO_X-module inversibleL ample relativement `aπet tout entiermassez grand, on a

µ^π_max(L^⊗n⊗L^⊗mn) =nµ^π_max(L⊗L^⊗m).

Par cons´equent, on aA_mn(L^⊗n,L) =nA_m(L,L). Par passage `a la limite, on aµ^π_max(L^⊗n) = nµ^π_max(L).

3) Pour toutOX-module inversibleL ample relativement `aπet tout entiernsuffisamment grand, on a un homomophisme injectif de L1⊗L<sup>⊗n</sup> vers L2⊗L<sup>⊗n</sup>. Par cons´equent, on a µ<sup>π</sup><sub>max</sub>(L1⊗L<sup>⊗n</sup>)≤µ<sup>π</sup><sub>max</sub>(L2⊗L<sup>⊗n</sup>), i.e.,An(L1,L)≤An(L2,L). Par passage `a la limite, on aµ^π_max(L1)≤µ^π_max(L2).

4) Pour toutOX-module inversibleL ample relativement `aπet tout entiernsuffisamment grand, on a

An(L⊗π^∗M,L) =An(L,L) + deg(M).

Par passage `a la limite on obtientµ^π_max(L⊗π^∗M) =µ^π_max(L) + deg(M). 2

Corollaire 2.2.15 Soient π : X → C un morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique X versC,L unOX-module inversible.

1) Siµ^π_max(L)>0, alors µ^π_max(L^∨)<0.

2) Siµ^π_max(L)<0, alors H⁰(X, L) = 0.

3) SiL est ample, alorsµ^π_max(L)>0.

D´emonstration. 1) On aµ^π_max(OX) =µ^π_max(π^∗OC) = deg(OC) = 0, doncµ^π_max(L)+µ^π_max(L^∨)≤ 0.

2) Si H⁰(X, L) 6= 0, alors il existe un homomorphisme non-nul de OX vers L, d’o`u µ^π_max(L)≥µ^π_max(OX) = 0.

3) Soit M unOC-module inversible tel que deg(M)>0. CommeL est ample, il existe un entier n ≥ 1 tel que π^∗M^∨⊗L^⊗n ait une section non identiquement nulle au-dessus de X.

D’apr`es 2), on a

µ^π_max(π^∗M^∨⊗L^⊗n) =nµ^π_max(L) + deg(M^∨)≥0,

Doncµ^π_max(L)≥deg(M)/n >0. 2

Th´eor`eme 2.2.16 Soient π : X → C un morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique vers C et L un OX-module inversible. Si µ<sup>π</sup><sub>max</sub>(L<sup>∨</sup>) < 0, alors (X, L) satisfait `a la conditionP3. La r´eciproque est vraie lorsque L^∨ est ample relativement `aπ.

D´emonstration. “=⇒” : Si µ^π_max(L^∨) < 0, alors il existe une constante ε > 0 et un OX -module ample L tels que, pour tout entier m suffisamment grand, Am(L^∨,L) ≤ −ε. En prenant une puissance tensorielle deL, on peut supposer que µ^π_max(L^∨⊗L)≤µ^π_max(L)−ε.

Soitλ > ε⁻¹µ^π_max(L) une constante. Pour tout entierd≥1 et tout entiern≥λd, on a d’apr`es la proposition 2.2.14

(n−d)µ^π_max(L)+µ^π_max(L^∨⊗n⊗L^⊗d)≤µ^π_max((L^∨⊗L)^⊗n) =nµ^π_max(L^∨⊗L)≤n(µ^π_max(L)−ε).

Par cons´equent, on a

µ^π_max(L^∨⊗n⊗L^⊗d)≤dµ^π_max(L)−nε <0.

DoncH⁰(X, L^∨⊗n⊗L^⊗d) = 0. Ainsi (X, L) satisfait `a la conditionP₃.

“⇐=” : On suppse que L^∨ soit ample relativement `a π et que la condition P<sub>3</sub>(X, L) soit v´erifi´ee. SoitM unO<sub>C</sub>-module inversible ample. Comme (X, L) satisfait `a la conditionP₃, il existeλ >0 tel que, pour tout entierd > λ et tout entiern > λd, on ait

H⁰(X, L^∨⊗n⊗π^∗M^⊗d) = 0.

D’apr`es le lemme 1.3.13, on a

µmax(π_∗(L^∨⊗n⊗π^∗M^⊗d)) =ddegM +µmax(π_∗(L^∨⊗n))≤g−1.

On prend une suite (dn)_n≥1 telle que i) pour tout entiern≥1,d_n > λ, ii) pournsuffisamment grand,dn< n/λ, iii) lim

n→∞

n dn

=λ.

Alors pournsuffisamment grand, on a :

deg(M)dn+µmax(π_∗(L^∨⊗n))≤g−1, c’est-`a-dire :

deg(M)dn

n +µmax(π∗(L^∨⊗n))

n ≤g−1 n .

Par passage `a la limite, on obtientµ^π_max(L^∨)≤ −λ⁻¹degM <0. 2

Corollaire 2.2.17 Soient π : X → C un morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique vers C et L un O_X-module inversible. Si µ^π_max(L) > 0, alors (X, L) satisfait `a la conditionP₃.

D´emonstration. D’apr`es le corollaire 2.2.15, µ^π_max(L^∨) < 0. Le corollaire r´esulte donc du

th´eor`eme 2.2.16. 2

Pente maximale asymptotique relative d’un module localement libre

D´efinition 2.2.18 Soitπ:X →Cun morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e alg´ebrique X versC. SiE est unOX-module localement libre de rang fini et non-nul et sip:P(E)→X est le morphisme canonique, on d´efinit

µ^π_max(E) =µ^πp_max(O_E(1)).

Remarque 2.2.19 SiEest ample relativement `aπ, alorsOE(1) est ample relativement `aπp.

Dans ce cas-l`a on a

µ^π_max(E) = lim

n→∞µ_max(π_∗(SⁿE)).

Th´eor`eme 2.2.20 Soient π : X → C un morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e alg´ebriqueX versC,EunO_X-module localement libre de rang fini et non-nul. Siµ^π_max(E^∨)<

0, alors (X, E)satisfait `a la conditionP<sub>3</sub>. La r´eciproque est vraie lorsqueE<sup>∨</sup> est ample relati-vement `aπ.

D´emonstration. “=⇒” : Soient p:P(E^∨)→X le morphisme canonique etf =πp. Comme µ^f_max(OE^∨(1)) =µ^π_max(E^∨) on a µ^f_max(OE^∨(1))<0. Donc on a P3(P(E^∨),OE^∨(−1)) compte tenu du th´eor`eme 2.2.16. D’apr`es la proposition 2.1.17, on a P3(X, E).

“⇐=” : Si on a P₃(X, E), alors P₃(P(E^∨),O_E^∨(−1)) est v´erifi´ee d’apr`es la proposition 2.1.17. Si de plusE<sup>∨</sup> est ample relativement `aπ, alors O_E^∨(−1) est ample relativement `a f.

Le th´eor`eme 2.2.16 implique queµ^f_max(OE^∨(1))<0, i.e.,µ^π_max(E^∨)<0. 2

Un exemple de calcul des pentes maximales asymptotiques On d´esigne parK le corps des fonctions m´eromorphes surC.

Soient π:A →C un sch´ema ab´elien de dimension relative d, Lun faisceau inversible sur A. On d´esigne parε:C→A la section nulle et parTπ le fibr´e tangent relatif.

Proposition 2.2.21 Si Lest ample relativement `aπ, on a µ(π_∗L) = 1

d+ 1

deg(π∗(c1(L)^d+1∩[A])) deg_LK(AK) +1

2degε^∗Tπ; si de plus Lest sym´etrique, alors

µ(π_∗L) = 1

2degε^∗T_π+ degε^∗L.

D´emonstration. 1) On a un isomorphisme de O_A-modules π^∗ε^∗Tπ ' Tπ (autrement dit, le O_A-module Tπ “provient de la base”). D’apr`es le th´eor`eme de Riemann-Roch-Grothendieck, on a ch(Rπ_∗L) = π_∗(ch(L) Td(Tπ)). Comme L est ample relativement `a π, on a ch(π_∗L) = π_∗(ch(L) Td(Tπ)). Donc

deg(π_∗L) = degπ_∗(Td(π^∗ε^∗Tπ) ch(L))

= deg Td(ε^∗Tπ)π_∗(ch(L)) = deg

1 + 1

2c1(ε^∗Tπ)

π_∗(ch(L))

= 1

(d+ 1)!deg(π_∗(c1(L)^d+1∩[A])) + 1

2d!deg_LK(AK) deg(ε^∗Tπ).

D’autre part, on a

rgπ_∗L= dimH⁰(AK, LK) = 1

d!deg_LKAK. Donc

µ(π_∗L) = 1 d+ 1

deg(π_∗(c₁(L)^d+1∩[A])) deg_LK(AK) +1

2degε^∗T_π. 2) D’apr`es la formule d’adjonction, on a

µ(π_∗(L⊗π^∗ε^∗L^∨)) =µ(π_∗(L)⊗ε^∗L^∨) =µ(π_∗L)−degε^∗L.

D’autre part, on a

ε^∗(L⊗π^∗ε^∗L^∨) =ε^∗L⊗ε^∗L^∨=O_A.

Donc on est ramen´e au cas o`u ε^∗L est trivial. Comme L est sym´etrique et ε^∗L =O_A, pour tout entiern, [n]^∗[L] = [L^⊗n2] dans Pic(A). Par cons´equent,

[n]_∗(n^2d+2c1(L)^d+1∩[A]) = [n]_∗(c1([n]^∗L)^d+1∩[A])

=c1(L)^d+1∩n_∗[A] =n^2dc1(L)^d+1∩[A]

car [n] :A →A est une isog´enie de degr´en^2d. Par cons´equent, on a n²deg(π∗(c1(L)^d+1∩[A])) = deg(π∗(c1(L)^d+1∩[A])),

i.e., deg(π_∗(c₁(L)^d+1∩[A])) = 0 si on prendn >1. 2 Par ailleurs, la “th´eorie alg´ebrique des fonctions th´eta” de Mumford [71] — qui d´ecrit l’es-paceH⁰(A_K, L_K) des sections deLsur la fibre g´en´erique g´eom´etrique deA →C comme une repr´esentation projective irr´eductible du sous-groupe H(L_K)⊂A(K) de Mumford — admet comme cons´equence (cf. [8] pour l’analogue dans la situation arithm´etique plus compliqu´ee o`u l’on s’int´eresse `a un fibr´e inversible hermitien cubiste sur un sch´ema ab´elien sur le spectre de l’anneau des entiers d’un corps de nombres) :

Proposition 2.2.22 Si L est ample relativement `a π et si k est de caract´eristique 0, alors π_∗L est semi-stable, et doncµmax(π_∗L) =µ(π_∗L).

Corollaire 2.2.23 Si Lest ample relativement `aπet si kest de caract´ersitique 0, on a µ^π_max(L) = 1

d+ 1

deg(π∗(c1(L)^d+1∩[A])) deg(c1(LK)^d∩[AK]) ; si de plus Lest sym´etrique,

µ^π_max(L) = deg(ε^∗L).

Si Lest unO_A-module inversible quelconque et siL est unO_A-module inversible ample relativement `aπ. On suppose quenest un entier positif tel queL<sup>⊗n</sup>⊗Lsoit ample relative-ment `a π. D’apr`es le corollaire 2.2.23, on sait calculerA_n(L,L) (cf. la d´efinition 2.2.11). Plus pr´ecis´ement, on a

µ^π_max(L⊗L^⊗n) = 1 d+ 1

deg(π_∗((c1(L) +nc1(L))^d+1) deg((c₁(L_K) +nc₁(LK))^d)

= 1

d+ 1

deg(π_∗(c1(L)^d+1)n^d+1+ (d+ 1) deg(π_∗(c1(L)c1(L)^d))n^d+o(n^d) deg(c₁(LK)^d)n^d+ddeg(c₁(L_K)c₁(LK)^d−1)n^d−1+o(n^d−1) .

(2.5)

D’autre part, on a

µ^π_max(L) = 1 d+ 1

deg(π_∗(c1(L)^d+1))

deg(c₁(LK)^d) . (2.6)

On d´eduit de (2.5) et (2.6) que

n→+∞lim An(L,L) =deg(π_∗(c₁(L)c₁(L)^d)) deg(c1(LK)^d) − d

d+ 1

deg(c₁(L_K)c₁(LK)^d−1) deg(π_∗(c₁(L)^d+1)) deg(c1(LK)^d)² .

(2.7) Si LetL sont l’un et l’autre sym´etriques, on a pour tout entiernsuffisamment grand

A_n(L,L) = deg(ε^∗L).

En particulier, siLest sym´etrique,µ^π_max(L)≤deg(ε^∗L).

Proposition 2.2.24 Pour tout O_A-module inversible Lon a µ^π_max(L) = inf

L

deg(π∗(c1(L)c1(L)^d)) deg(c1(LK)^d) − d

d+ 1

deg(c1(LK)c1(LK)^d−1) deg(π∗(c1(L)^d+1)) deg(c1(LK)^d)²

, (2.8) o`uL parcourt tous les O<sub>A</sub>-module inversible ample relativement `aπ.

Dans le document TH`ESE DE DOCTORAT (Page 73-83)