Fibr´ e vectoriel hermitien, degr´ e d’Arakelov et pente arithm´ etique

k · k²_FS,λ,L2. (1.16)

1.7 Fibr´ es vectoriels hermitiens sur les vari´ et´ es arithm´ etiques

On rappelle dans ce paragraphe les d´efinitions et les r´esultats ´el´ementaires de g´eom´etrie d’Arakelov que l’on utilisera dans la suite. Les r´ef´erences sont [8], [10], [21], [78], [11] et [14].

On fixe pour ce paragraphe un corps de nombre K de discriminant ∆K et on d´esigne parOK la fermeture int´egrale de Z dans K. Soient Σf l’ensemble des places finies de K (il s’identifie canoniquement `a l’ensemble des points ferm´es de SpecOK), et Σ<sub>∞</sub> l’ensemble des plongements de K dans C. L’ensemble Σ<sub>∞</sub> a pour cardinal [K : Q]. Pour tout p ∈ Σf on d´esigne parvp:K<sup>×</sup> →Zla valuation discr`ete surK d´efinie parp. On rappelle que vp envoie un ´el´ement non-nul a de OK en la longueur de l’anneau local artinien OK,p/aOK,p. Soient Fp :=OK,p/pOK,p le corps r´esiduel en p, et Np son cardinal. On d´esine par| · |p :K →Rla valeur absolue telle que|x|_p=N_p^−vp(x)pour toutx∈K^×. Pour tout plongementσdeK dans C, on d´esigne par| · |_σ :K→Rla valeur absolue archim´edienne qui envoiex∈Ken|σ(x)|. La conjugaison complexe surCinduit une involutionσ→σsur Σ_∞. On a la proposition suivante qui est connue comme la “formule du produit” :

Proposition 1.7.1 Six est un ´el´ement non-nul de K, alors pour toute sauf un nombre fini de places finiesp,|x|_p= 1, de plus, on a

Y

p∈Σf

|x|p

Y

σ∈Σ∞

|x|σ= 1.

1.7.1 Fibr´ e vectoriel hermitien, degr´ e d’Arakelov et pente arithm´ etique

D´efinitions et pr´eliminaires

Si X est un sch´ema propre et plat sur SpecOK tel que XK soit lisse, alors l’ensemble des points deX, vu commeZ-sch´ema, `a valeurs dansC, est une vari´et´e analytique complexe compacte. De plus, cette vari´et´e a une d´ecomposition X(C) = q

σ∈Σ∞

Xσ(C). La conjugaison complexe induit une involutionF_∞:X(C)→X(C) qui envoie Xσ(C) surXσ(C).

D´efinition 1.7.2 Soit X un sch´ema propre et plat sur SpecO_K tel queXK soit lisse. On appelle fibr´e vectoriel hermitien surX tout couple E = (E, h) consistitu´e d’un O_X-module localement libre de rang fini et d’une structure hermitienne sur E(C) qui est invariante par F_∞. On appelle rangdeE le rang duO_X-module localement libre sous-jacentE. On appelle fibr´e inversible hermitien tout fibr´e vectoriel hermitien de rang 1.

Si E est un fibr´e vectoriel hermitien, la structure hermitienne sur E(C) induit des struc-tures hermitiennes surE(C)^∨=E^∨(C),SⁿE(C) = (SⁿE)(C) et ΛⁿE(C) = (ΛⁿE)(C) qui sont invariante par l’action deF∞. On noteE^∨,SⁿE et ΛⁿE les fibr´es vectoriels hermitiens corres-pondants. SiEetF sont deux fibr´es vectoriels hermitiens, alors (E⊕F)(C) =E(C)⊕F(C) et (E⊗F)(C) =E(C)⊗F(C) sont canoniquement munis des structures hermitiennes induites de celles deE(C) etF(C). On noteE⊕F etE⊗F les fibr´es vectoriels hermitiens corrspondants.

Attention : Λⁿ(E^∨) est naturellement isomorphe `a (ΛⁿE)^∨, maisSⁿ(E^∨) et (SⁿE)^∨ ne sont en g´en´eral pas isomorphes comme fibr´es vectoriels hermitiens.

SoientE un fibr´e vectoriel hermitien surX etf :F →Eun homomorphisme injectif d’un O_X-module localement libre de rang fini versE. Si on munitF(C) de la structure hermitienne induite (fibre par fibre) de celle deE(C), on obtient un fibr´e vectoriel hermitienF, appel´e un sous-fibr´e vectoriel hermitiende E. Si p: E →Gest un homomorphisme surjectif deE vers unO_X-module localement libre de rang fini, et si on munit le fibr´e vectorielG(C) de m´etrique quotient, G devient un fibr´e vectoriel hermitien sur X, appel´e un fibr´e vectoriel hermitien quotientdeE. SiF est le noyau dep, on note G=E/F.

Exemple 1.7.3 Un fibr´e vectoriel hermitien sur SpecOKn’est rien d’autre que la donn´ee d’un OK-module projectif de type fini E et, pour tout plongement σ de K dans C, d’un produit scalaire hermitienh, i_σ surE⊗O_K,σCtelle quehx⊗z, y⊗wi_σ=hx⊗z, y⊗wi_σ.

D´efinition 1.7.4 SoitL = (L,(k · kσ)_σ:K→C) un fibr´e inversible hermitien sur SpecOK. On appelledegr´e d’Arakelov(normalis´e) deLla valeur

degd_n(L) = 1

[K:Q] log #(L/OKs)− X

σ∈Σ∞

logkskσ

!

, (1.17)

o`usest un ´el´ement non-nul dansL. On remarque que la valeur (1.17) ne d´epend pas du choix desgrˆace `a la formule du produit. SiEest un fibr´e vectoriel hermitien sur SpecO_K, on appelle degr´e d’Arakelov normalis´edeE et on d´esigne pardegd_n(E) la valeurddeg_n(Λ^rgEE).

Proposition 1.7.5 SoitEun fibr´e vectoriel hermtien de rangrsurSpecOK. Si(s1,· · ·, sr)∈ E^r est une base deEK surK, alors

degd_nE= 1

[K:Q] log #(E/OKs₁+· · ·+OKs_r)−1 2

X

σ∈Σ∞

log d´et (hsi, s_ji_σ)

! .

D´emonstration. Comme (si)1≤i≤r est une base de EK surK, x=s1∧ · · · ∧sr est non-nul dans Λ^rE. De plus, on a

#(OK/OKx) = #(E/OKs₁+· · ·+OKs_r), kxk²_σ= d´et (hsi, s_ji_σ).

2 Proposition 1.7.6 SoientE₁,E₂ etE trois fibr´es vectoriels hermitiens surSpecO_K etF un sous-fibr´e vectoriel hermitien deE tel queF soit satur´e dansE. On a

1) degd_nE^∨=−ddeg_nE,

2) degd_nF+ddeg_n(E/F) =degd_nE,

3) degd_n(E1⊗E2) = rg(E1)ddeg_nE2+ rg(E2)ddeg_nE1.

D´efinition 1.7.7 SoitEun fibr´e vectoriel hermitien sur SpecO_K. SiEest non-nul, on appelle pente arithm´etique deE et on note µ(E) la valeurb ddeg_n(E)/rgE, on appellepente maximale arithm´etique (resp. pente minimale arithm´etique) la borne sup´erieure (resp. inf´erieure) des pentes des sous-fibr´es vectoriels hermitiens non-nuls (resp. fibr´es vectoriels hermitiens quotients non-nuls) deE, not´eµbmax(E) (resp.µbmin(E)).

Remarque 1.7.8 SoitE 6= 0 un fibr´e vectoriel hermitien sur SpecOK. L’existence de maxi-male et du plus grand sous-fibr´e vectoriel hermitien ayant la pente maximale deE et mˆeme plus g´en´eralement celle du polygˆone canonique associ´e au fibr´e vectoriel hermitien E (cf. le sous-paragraphe 4.4.2infra) ont ´et´e d´emontr´ees, comme mention´e dans l’appendice de l’expos´e [8], par Stuhler et Grayson (cf. [85][42]).

In´egalit´es de pentes

D´efinition 1.7.9 Soient E et F deux fibr´es vectoriels hermitiens sur SpecOK. Si ϕ:EK → FK est un homomorphisme non-nul et si σ ∈ Σf ∪Σ∞, on d´esigne par kϕkσ la norme de l’applicationKσ-lin´eaireϕK_σ :EK_σ →FK_σ, o`u Kσ est le s´epar´e compl´et´e de Kpar rapport `a la normek · kσ. On d´efinit lahauteurdeϕcomme la valeur

h(ϕ) = 1 [K:Q]



 X

p∈Σf

logkϕkp+ X

σ∈Σ∞

logkϕkσ



.

Lemme 1.7.10 SoientAun anneau,M un A-module.

1) si N est un sous-A-module de M tel que M/N soit engendr´e par q ´el´ements, alors pour tout entiern≥q,ΛⁿM =N^n−q∧(Λ^qM).

2) Si

M =M1⊃M2⊃ · · · ⊃Mi ⊃Mi+1⊃ · · ·

est une une suite d´ecroissante de sous-A-modules deM telle que, pour touti≥1,M_i/M_i+1 soit isomorphe `a un id´eal principal deA, alors pour tout entier q≥1

Λ^qM =M1∧M2∧ · · · ∧Mq.

D´emonstration. D’abord 2) est une cons´equence de 1). Pour d´emontrer 1), en utilisant la m´ethode de r´ecurrence enn, il suffit de le d´emontrer pour le cas o`u n=q+ 1. CommeM/N est engendr´e par q ´el´ements, on a Λ^q+1(M/N) = 0 (cf. [16] chap. III,§7 n^◦3 proposition 3).

Comme le noyau de l’homomorphisme canonique ΛM −→Λ(M/N) est l’id´eal engendr´e parN (loc. cit.), on obtient

Λ^q+1(M)⊂N∧(Λ^qM).

2 Proposition 1.7.11 Soientkun corps muni d’une valeur absolue | · |qui est localement com-pact,E etF deux espace vectoriel de rang fini surk etϕ:E →F un homomorphisme. Pour tout entier1≤i≤rg_kE, soit

λi= inf

V⊂E codimV=i−1

kϕ|Vk.

Soitλi = 0pour touti >dimkE. Alors pour tout entierq >0, on a kΛ^qϕk ≤

q

Y

i=1

λ_i.

D´emonstration. Soitmle rang de E surk. D’apr`es le lemme pr´ec´edent, il suffit de montrer qu’il existe une suite d´ecroissante de sous-espaces deE :

E=E1)E2)· · ·)Em (1.18) telle quekϕ|E_ik=λi. Comme k est localement compact, la sph`ere unit´e de E est compacte, donc il existe un vecteurxm de norme 1 tel que

kϕ(xm)k=λm. Supposons queEi+1)· · ·)Emaient ´et´e choisis de sorte que

kϕ|E_jk=λj

pour tout i+ 1 ≤ j ≤ m. Encore par la compacit´e locale de k, il existe un vecteur xi ∈ E de norme 1 tel que kϕ(xi)k =λi. Comme tous ces vecteurs ne sont pas contenus dans Ei+1

(d’apr`es la d´efinition deλi), on obtient l’existence de Ei. Par r´ecurrence on d´emontre

l’exis-tence de la suite (1.18) et donc la proposition. 2

Corollaire 1.7.12 Soientkun corps muni d’une valeur absolue|·|qui est localement compact, E etF deux espaces vectoriels de rang fini sur k,ϕ:E→F un homomorphisme, et

E=E0⊃E1⊃ · · · ⊃En⊃En+1⊃ · · ·

une suite d´ecroissante de sous-espaces deE. Pour tout entiern≥0, soit⁷ λn =kϕ|E_nk. Alors⁸ logkΛ^rgEϕk ≤X

n≥1

rg(En/En+1) log(λn).

En particulier,

logkΛ^rgEϕk ≤rgElogkϕk.

Proposition 1.7.13 Avec les notations ci-dessus, si ϕest injectif, alors µbmax(E)≤µbmax(F) +h(ϕ).

D´emonstration. En rempla¸cant E par son plus grand sous-fibr´e vectoriel hermitien ayant la pente maximale, on peux supposer que µ(E) =b µbmax(E). Soit G un sous-OK-module de F tel que GK s’identifie `a l’image de EK dans FK par ϕ. On d´esigne par r le rang de E.

L’isomorhpismeϕ:EK→GK induit un isomorphisme d’espaces vectoriels de rang 1 surK : Λ^rϕ: Λ^rEK−→Λ^rGK.

SoitL= (Λ^rE)^∨⊗Λ^rG. L’application Λ^rϕpeut ˆetre consid´er´ee comme un ´el´ement dans LK. D’apr`es la d´efinition de degr´es d’Arakelov, on a l’´egalit´e

ddeg_n(G)−degd_n(E) =degd_nL=−h(Λ^rϕ)≥ −rh(ϕ), o`u la derni`ere in´egalit´e provient du corollaire 1.7.12. Par cons´equent, on a

µ(E)b ≤µ(G) +b h(ϕ)≤µb_max(F) +h(ϕ).

2

7SiEn= 0, alorskϕ|E_nk= 0.

8Par convention log 0 =−∞et 0·(−∞) = 0.

Plus petite norme d’une section non-nulle

Soient E un OK-fibr´e vectoriel hermitien, W(E) l’espace vectoriel sur C somme directe orthogonale desE_σ. LeO_K-module E peut ˆetre consid´er´e comme un r´eseau dans W(E) par l’inclusion

E−→ M

σ∈Σ∞

E⊗_OK,σC.

Si on d´esigne parπ : SpecOK → SpecZ le morphisme structural, alors π_∗E est leZ-module associ´e auOX-moduleE. Il est canoniquement muni d’une structure hermitienne, compatible

`

a la conjugaison complexe, en identifiant E⊗_ZC`a W(E). On note π∗E le Z-fibr´e vectoriel hermitien leZ-moduleπ∗E muni de la structure hermitienne comme ci-dessus.

D´efinition 1.7.14 On note ε(E) = min{kek |e∈π_∗E\ {0}}. SiEest nul, on d´efinitε(E) = +∞.

Proposition 1.7.15 (cf. [14]) Si E est un fibr´e vectoriel hermitien non-nul sur SpecO_K, alors

ddegπ_∗E=ddegE−rg_OKE

2 log|∆K|.

SoientE un fibr´e vectoriel hermitien non-nul sur SpecO_K,eun vecteur dansE tel que kek=ε(E).

SoitF le sous-OK-module engendr´e pare, muni de la structure hermitienne induite. On a degFd =degπd _∗F+1

2log|∆K|=−logε(E) +1

2log|∆K|.

Donc on a l’in´egalit´e suivante :

bµ_max(E)≥ 1

2log[K:Q]−logε(E). (1.19)

Proposition 1.7.16 (cf. [14]) On a l’in´egalit´e suivante :

bµmax(E)≤ −logε(E) +1

2log(rg_Z(E)) +log|∆K|

2[K:Q]. (1.20)

M´etriques sur l’espace des sections globales, comparaison des m´etriques

SoitX un sch´ema propre et plat sur SpecOKtel queXKsoit lisse sur SpecKet ´equidimensionnel de dimension d. Si E est un fibr´e vectoriel hermitien sur X, alors E = H⁰(X,E) est un OK-module projectif de rang fini (autrement dit, un fibr´e vectoriel sur SpecOK). Pour tout plongementσ:K→Con choisit une forme volume de typeC^∞, partout strictement positive, d´efinissant une mesure de probabilit´eλσ surXσ(C). On suppose que la donn´ee (λσ)_σ∈Σ∞ soit invariante par l’action deF_∞. On peut donc d´efinir une famille de normesk·kσ,L^p(1≤p <+∞) etk · kσ,sup surEσ:=E⊗O_K,σCtelles que pour toute∈Eσ∼=H⁰(Xσ(C),Eσ),

kekσ,L^p = Z

Xσ(C)

kexk^p_σdλσ(x)

!¹_p

pour 1≤p <+∞, kek_σ,sup= sup

x∈Xσ(C)

ke_xk_σ.

Pour abr´eger on note k · kσ =k · k_σ,L2. On d´esigne park · k la norme hermitienne surW(E).

Pour touts∈EK, on a

ksk²= X

σ∈Σ∞

ksk²_σ.

La proposition suivant est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme 1.6.6.

Proposition 1.7.17 Pour tout fibr´e vectoriel hermitien E et tout fibr´e inversible hermitien L sur X, il existe une constante positive C >0 (qui d´epend de X,(λσ)_σ∈Σ∞,E etL) telle que pour toute sections∈H⁰(X,E ⊗L^⊗D)K et tout plongement σ:K→C,

kskσ,sup≤CD^dkskσ, o`udest la dimension de XK.

Corollaire 1.7.18 Soient L1 et L2 deux fibr´es inversibles hermitiens sur X et E un fibr´e vectoriel hermitien surX. Pour tous les entiers D1, D2 ≥1, on note ED₁ =H⁰(X, L^⊗D₁ ¹), FD₂ =H⁰(X, L^⊗D₂ ²⊗E)etGD₁,D₂ =H⁰(X, L^⊗D₁ ¹⊗L^⊗D₂ ²⊗E). Si on munit cesOK-modules de m´etriquesL², alors il existe une constanteC tel que, pour tout (D1, D2)∈Z²>0,

ε(GD₁,D₂)≤C²D₁^dD^d₂ε(ED₁)ε(FD₂).

D´emonstration. D’apr`es la proposition 1.7.17, il existe une constant C telle que pour tout plongement σ : K → C, tout entier D ≥1 et tout ´el´ement s ∈ ED∪FD on ait kskσ,sup ≤ CD^dkskσ. Par cons´equent, pour tout (s1, s2)∈ED₁×FD₂,

ks1⊗s2kσ≤ ks1⊗s2kσ,sup≤ ks1kσ,supks2kσ,sup≤C²D^d₁D^d₂ks1kσks2kσ. Donc on a

ks1⊗s₂k²= X

σ∈Σ∞

ks1⊗s₂k²_σ≤ X

σ∈Σ∞

C⁴D₁^2dD^2d₂ ks1k²_σks2k²_σ≤C⁴D^2d₁ D₂^2dks1k²ks2k²,

i.e.ks1⊗s2k ≤C²D₁^dD₂^dks1k · ks2k. Ceci implique la proposition. 2

Lemme 1.7.19 SoitL un fibr´e inversible hermitien surX et soitC >0 v´erifiant la conclu-sion de la proposition 1.7.17 avec E = O_X. Pour tout entier D ≥1 soit ED = H⁰(X,L), muni de m´etriqueL². SoientD1,· · ·, Dn des entiers strictement poisitifs. SiD=D1+· · ·+Dn, alors

ε(ED)≤Cⁿ(D1· · ·Dn)^dε(ED₁)· · ·ε(ED_n). (1.21) D´emonstration. Si pour tout 1 ≤i ≤n, s_i est une section dansH⁰(X,L^⊗Di), alors pour toutσ∈Σ_∞,

ks1⊗ · · · ⊗snkσ≤ ks1⊗ · · · ⊗snkσ,sup

≤ ks1kσ,sup· · · ksnkσ,sup≤Cⁿ(D1· · ·Dn)^dks1kσ· · · ksnkσ. (1.22) ks1⊗ · · · ⊗snk²= X

σ∈Σ∞

ks1⊗ · · · ⊗snk²_σ

≤ X

σ∈Σ∞

C²ⁿ(D₁· · ·D_n)^2dks₁k²_σ· · · ks_nk²_σ

≤C²ⁿ(D1· · ·Dn)^2d

n

Y

i=1

X

σ∈Σ∞

ksik²_σ

! .

Par cons´equent, on a

ε(E_D)≤Cⁿ(D₁· · ·D_n)^dε(E_D1)· · ·ε(E_Dn).

2

Corollaire 1.7.20 SoitL un fibr´e inversible hermitien surX. Pour tout entier D ≥1 soit ED = H⁰(X,L^⊗D), muni de la m´etrique L². Soient n = (ni)_1≤i≤r une famille d’entiers positifs, N =n1+· · ·+nr. On d´esigne par ϕ l’homomorphisme naturel de En₁ ⊗ · · · ⊗En_r

versEN qui envoies1⊗ · · · ⊗sr en s1· · ·sr. Alors on a l’in´egalit´e h(ϕ_K)≤rlogC+

r

X

i=1

dlogn_i+1

2log(rgE_ni)

, (1.23)

o`u C est la constante (qui ne d´epend que deX,(λ_σ)_σ∈Σ∞ etL) dont l’existence est assur´ee par la proposition 1.7.17 en prenantE =O_X trivial.

D´emonstration. CommeϕK provient d’un homomorphisme deOK-modules, on akϕKkp≤1 pour toute place finiep. Soitσ:K→Cun plongement. Si

(si)1≤i≤r∈En1,σ× · · · ×Enr,σ, alors

ks1· · ·srk_σ,L2 ≤ ks1· · ·srkσ,sup≤ ks1kσ,sup· · · ksrkσ,sup.

D’apr`es la proposition 1.7.17, on obtient que, pour tout 1 ≤i≤r, ksikσ,sup ≤Cn^d_iksik_σ,L2. Donc

ks1· · ·srkσ,L² ≤C^rn^d₁· · ·n^d_rks1kσ,L²· · · ksrkσ,L²=C^rn^d₁· · ·n^d_rks1⊗ · · · ⊗srkσ,L². CommeE_n1,σ ⊗ · · · ⊗E_nr,σ admet une base orthogonale constitu´ee de rg(E_n1)· · · · ·rg(E_nr)

´el´ements de la formes1⊗ · · · ⊗sr, on d´eduit de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz que kϕKkσ≤C^rn^d₁· · ·n^d_rp

rg(En₁)· · ·rg(En_r).

Par cons´equent,

h(ϕK)≤rlogC+

r

X

i=1

dlogni+1

2log(rgEni) .

2

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