Majoration du degr´ e d’Arakelov d’une droite semi- semi-stable

5.3.1 Application de la th´ eorie classique des invariants dans l’´ etude de la semi-stabilit´ e (au sens de la th´ eorie g´ eom´ etrique des in-variants)

Dans ce sous-paragraphe, le symboleK d´esigne un corps de caract´eristique 0.

Proposition 5.3.1 SoitV un espace vectoriel de rang 0< d <+∞ surK.

1) Pour queP(V^∨)ait un point rationnel semi-stable pour l’action deGL^K(V)relativement `a O(D)⊗π^∗(d´etV)^⊗n, il faut que D=dn.

2) SiM est un point rationnel deP(V^∨)qui est semi-stable pour l’action deGL^K(V) relative-ment `aO(d)⊗π^∗(d´etV), alors il existe un entiern≥1 et une permutationσ∈Snd telle que l’homomorphisme compos´e

M^⊗nd⊗d´etV^∨⊗n //V^⊗nd⊗d´etV^∨⊗n

σ⊗Id

V^⊗nd⊗d´etV^{∨⊗n d´et}

⊗n⊗Id //d´etV^⊗n⊗d´etV^∨⊗n∼=K soit non-nul.

3) Un point rationnel M de P(V^∨) est semi-stable pour l’action de SLK(V) relativement `a O(1) si et seulement s’il est semi-stable pour l’action de GLK(V) relativement `a O(d)⊗ π^∗(d´etV)^∨.

D´emonstration. 1) On suppose que M soit un point rationnel de P(V^∨) semi-stable pour l’action de GLK(V) relativement `a O(D)⊗π^∗(d´etV)^∨⊗n, alors il existe un entier m > 0 et une section non-nullesdans

H⁰(P(V^∨),O(mD)⊗π^∗(d´etV)^⊗nm) =S^mD(V^∨)⊗(d´etV)^⊗nm

qui est invariante par GL_K(V) et telle queM ∈P(V^∨)_s. En tant que GL_K(V)-module,S^mDV^∨ (resp. Λ^dV) est un facteur direct de V^∨⊗md (resp.V^⊗d) (cf. [33] Lecture 6). Par cons´equent, il existe un rel`evementesdesdansV<sup>∨⊗mD</sup>⊗V<sup>⊗nmd</sup> qui est invariant par GL<sub>K</sub>(V). D’apr`es le th´eor`eme 5.2.11 on amD=nmd, doncD=nd.

2) D’apr`es l’argument dans la d´emonstration de 1) on obtient que, si M est un point rationnel (consid´er´e comme sous-espace de rang 1 de V) de P(V<sup>∨</sup>) qui est semi-stable pour l’action deGLK(V) relativement `aO(d)⊗π^∗(d´etV), alors il existe un entiern≥1 et un ´el´ement s∈ S^ndV^∨⊗d´etV^⊗n qui est invariant par l’action de GLK(V) et tel que l’homomorphisme compos´e

M^⊗nd⊗d´etV^∨⊗n //Γ^ndV ⊗d´etV^{∨⊗n s} //K

soit non-nul. D’autre part,sse rel`eve en un ´el´ementes∈V<sup>∨⊗nd</sup>⊗V<sup>⊗nd</sup>qui est aussi invariant par l’action de GL(V). D’apr`es le th´eor`eme 5.2.9, l’´el´ement esest une combinaison lin´eaire de permutations. Par cons´equent, il existe une permutation σ∈Snd telle que l’homomorphisme compos´e

M^⊗nd⊗d´etV^∨⊗n //V^⊗nd⊗d´etV^∨⊗n

σ⊗Id

V^⊗nd⊗d´etV^{∨⊗n d´et}

⊗n⊗Id //d´etV^⊗n⊗d´etV^∨⊗n∼=K soit non-nul.

3) On suppose quen≥1 soit un entier. Si un ´el´ement s∈V^∨⊗n est invariant par l’action de SL_K(V), alors le sous-espaceM engendr´e parsest invariant par l’action de GL_K(V). L’ac-tion de GL_K(V) sur M est un caract`ere, i.e., une puissance tensorielle du d´eterminant. Par cons´equent, il existe un entiermtel que, si on d´esigne parxun g´en´erateur de (d´etV)<sup>⊗m</sup>, alors l’´el´ements⊗x∈V<sup>∨⊗n</sup>⊗(d´etV)<sup>⊗m</sup>soit invariant par l’action de GL<sub>K</sub>(V). On a doncd|net m=n/d. R´eciproquement si un ´el´ement dansV<sup>∨⊗n</sup>⊗(d´etV)<sup>⊗m</sup>est invariant par l’action de GLK(V), alors il est invariant par l’action de SLK(V) si on le consid`ere comme un ´el´ement deV^∨⊗n (l’action de SLK(V) sur d´etV est trivial, donc d´etV ∼=Kcomme SLK(V)-module).

L’assertion 3) s’en d´eduit imm´ediatement. 2

En utilisant la notion de puissance tensorielle rationnelle on peut aussi dire queM ∈X(K) est semi-stable pour l’action deSLK(V) relativement `aO(1) si et seulement siM⊗(d´etV^∨)^⊗d1 (vu comme point rationnel deP(V^∨⊗(d´etV)^⊗1d)) est semi-stable pour l’action deGLK(V).

Il est possible de g´en´eraliser la proposition 5.3.1 au cas d’un produit tensoriel de plusieurs espaces vectoriels de rang fini. Notamment on a la proposition suivante :

Proposition 5.3.2 Soit(V_i)_1≤i≤rune famille d’espaces vectoriels de rang fini et non-nuls sur Ket(a_i)_1≤i≤r une famille d’entiers strictement positifs. Pour tout entier1≤i≤ron d´esigne pardi le rang deVi sur K. Soient W =V₁^⊗a1⊗ · · · ⊗V_r^⊗ar,X =P(W^∨)et π:X →SpecK le morphisme canonique. SoitG=GL(V1)×K· · · ×KGL(Vr).

1) Soitχun caract`ere deG. Pour queX ait un point rationnel semi-stable pour l’action deG relativement `aO_X(D)⊗ O_χ, il faut queO_χ soit de la forme

π^∗((d´etV1)^⊗n1⊗ · · · ⊗(d´etVr)^⊗nr),

o`unidi=Dai pour tout1≤i≤r;

2) Si M est un point rationnel de X qui est semi-stable pour l’action de G relativement `a OX(D)⊗π^∗((d´etV1)^⊗n1⊗ · · · ⊗(d´etVr)^⊗nr), il existe un entier m≥1 et une permutation σ∈SmDa₁× · · · ×SmDa_r tels que l’homomorphisme compos´e

M^⊗m⊗L^∨⊗m //W^⊗mD⊗L^{∨⊗m σ⊗Id} //W^⊗mD⊗L^∨⊗m

d´et_V

1

⊗mn1⊗···⊗d´et

Vr

⊗mnr⊗Id

L^⊗m⊗L^∨⊗m∼=K

(5.7)

soit non-nul, o`u L= (d´etV₁)^⊗n1⊗ · · · ⊗(d´etV_r)^⊗nr.

3) Un point rationnel M de X est semi-stable pour l’action de SL(V₁)× · · · ×SL(V_r) rela-tivement `a O<sub>X</sub>(1) si et seulement s’il est semi-stable pour l’action de G relativement `a O_X(1)⊗π^∗(d´etV^⊗

a1 d1

1 ⊗ · · · ⊗d´etV^⊗

ar

r dr).

D´emonstration. 1) CommeGest le produit des sch´emas en groupesGL^K(Vi) (i= 1,· · · , r), tout caract`ere deGest un produit tensoriel de caract`eres deGLK(Vi). DoncOχest de la forme π^∗((d´etV1)^⊗n1⊗ · · · ⊗(d´etVr)^⊗nr).

On suppose que M soit un point rationnel de X qui est semi-stable pour l’action de G relativement `aOX(D)⊗L, o`uL=π^∗((d´etV1)^⊗n1⊗ · · · ⊗(d´etVr)^⊗nr). Il existe alors un entier m >0 et une section non-nullesde

H⁰(X,O_X(mD)⊗L^⊗m) =S^mD(V₁^∨⊗a1⊗ · · · ⊗V_r^∨⊗ar)⊗(d´etV₁)^⊗mn1⊗ · · · ⊗(d´etV_r)^⊗mnr invariante par l’action de G(K) tels que M ∈ Xs. D’apr`es la semi-simplicit´e de l’alg`ebre de groupeK[G(K)], il existe un rel`evementesdesdans

V₁^∨⊗mDa1⊗ · · · ⊗V_r^∨⊗mDar ⊗V₁^⊗mn1d1⊗ · · · ⊗V_r^⊗mnrdr

qui est invariant par l’action de G(K). D’apr`es le th´eor`eme 5.2.11 on amDai =mnidi (i.e., Dai=nidi) pour tout 1≤i≤r.

2) Si M ∈ X(K) est un point rationnel (consid´er´e comme un sous-espace de rang 1 de W) qui est semi-stable pour l’action de G relativement `a OX(D)⊗π^∗L, alors il existe un entier m > 0 et un ´el´ement s ∈ S^m(W^∨)⊗L^⊗m invariant par l’action de G(K) tels que l’homomorphisme compos´e

M^⊗mD⊗L^∨⊗m //Γ^m(W)⊗L^{∨⊗m s} //K

soit non-nul. D’autre part, on a Dai = nidi pour tout 1 ≤ i ≤ r. L’´el´ement s admet un rel`evement dans

V₁^∨⊗mDa1⊗ · · · ⊗V_r^∨⊗mDar ⊗V₁^⊗mDa1⊗ · · · ⊗V_r^⊗mDar

qui est invariant par l’action de G(K). D’apr`es le th´eor`eme 5.2.11, es est une combinaison lin´eaire de permutations dans SmDa₁ × · · · ×SmDa_r. Par cons´equent, il existe un ´el´ement σ∈SmDa₁× · · · ×SmDa_r tel que l’homomorphisme compos´e (5.7) soit non-nul.

3) Si D ≥ 1 est un entier, et si un ´el´ement s ∈ W^∨⊗D est invariant par l’action de SLK(V1)× · · · ×SLK(Vr), alors le sous-espace M engendr´e par s est invariant par G(K).

L’action deG(K) surM est un carat`ere deG(K). Par cons´equent, il existe une famille d’en-tiers (ni)1≤i≤rtelle que, si on d´esigne parxun g´en´erateur de (d´etV1)^⊗n1⊗ · · · ⊗(d´etVr)^⊗nr,

alors s⊗x ∈ W^∨⊗D⊗(d´etV1)^⊗n1 ⊗ · · · ⊗(d´etVr)^⊗nr soit invariant par l’action de G(K).

D’apr`es 1) on a Dai = nidi pour tout 1 ≤ i ≤ n. R´eciproquement si un ´el´ement dans W^∨D⊗(d´etV₁)

Da1

d1 ⊗ · · · ⊗(d´etV_r)^Dardr est invariant par l’action de G(K), alors il est inva-riant par l’action de SLK(V1)× · · · ×SLK(Vr) si on le consid`ere comme un ´el´ement dansW^∨D car (d´etV₁)^Dad11⊗ · · · ⊗(d´etV_r)^Dardr est trivial comme module sur SL_K(V₁)× · · · ×SLK(V_r). 2

Proposition 5.3.3 Soient(Vi)_1≤i≤r une famille d’espaces vectoriels de rang fini et non-nuls sur K, Ξ une famille finie d’applications de{1,· · ·, r} vers Z>0 et (bi)_1≤i≤r une famille de nombres rationnels strictement positifs. On d´esigne par

i) W l’espace

M

α∈Ξ r

O

i=1

V_i^⊗α(i),

ii) G le groupe alg´ebrique GLK(V₁)×_K· · · ×_KGLK(V_r)qui agit naturellement sur W, iii) L leG(K)-module(d´etV1)^⊗b1⊗ · · · ⊗(d´etVr)^⊗br,

iv) pour tout entier D≥1et tout α= (αj)_1≤j≤D∈Ξ^D,

pr_α:W^⊗D→V₁^{⊗(α1(1)+···+αD(1))}⊗ · · · ⊗V_r^{⊗(α1(r)+···+αD(r))} la projection canonique,

v) pour tout entier1≤i≤r,d_i le rang deV_i sur K.

SiM est un sous-espace de rang1 deW (vu comme point rationnel de P(W^∨)) qui est semi-stable pour l’action de G relativement `a OW<sup>∨</sup>(1)⊗π<sup>∗</sup>L, o`u π : P(W^∨) → SpecK est le morphisme canonique, alors il existe un entierD≥1, et une familleα= (αj)_1≤j≤Dd’´el´ements dansΞtels que, si on note a=α1+· · ·+αD, alorsa(i) =Dbidi. De plus, il existe un ´el´ement σ∈S_a(1)× · · · ×S_a(r) tel que l’homomorphisme compos´e

M^⊗D⊗L^∨⊗D //W^⊗D⊗L^∨⊗D

pr_α⊗Id//V₁^⊗a(1)⊗ · · · ⊗Vr^⊗a(r)⊗L^∨⊗D

σ⊗Id

V₁^⊗a(1)⊗ · · · ⊗Vr^⊗a(r)⊗L^∨⊗D

d´et_V

1

⊗Db1⊗···⊗d´et

Vr⊗Dbr⊗Id

L^⊗D⊗L^∨⊗D∼=K

soit non-nul, o`u la premi`ere fl`eche est induite par l’inclusion canonique deM<sup>⊗D</sup> dansW<sup>⊗D</sup>. D´emonstration. CommeM est semi-stable pour l’action deGrelativement `aOW^∨(1)⊗π^∗L, il existe un entierD≥1 et un ´el´ement non-nuls∈S^D(W^∨)⊗L^⊗D invariant par l’action de G(K) tels que l’homomorphisme compos´e

M^⊗D⊗L^∨⊗D //Γ^D(W)⊗L^{∨⊗D s} //K

soit non-nul. Soits⁰ un rel`evement de s dansW^∨⊗D⊗L^⊗D qui est invariant par l’action de G(K). Il existe doncα= (αj)_1≤j≤D∈Ξ^Dtel que l’homomorphisme compos´e

M^⊗D⊗L^∨⊗D //W^⊗D⊗L^{∨⊗Dprα⊗Id}//V₁^⊗a(1)⊗ · · · ⊗Vr^⊗a(r)⊗L^∨⊗D

s⁰_α

//K

soit non-nul, o`u a = α1+· · ·+αD, et s<sup>0</sup><sub>α</sub> est la composante d’indice α de s<sup>0</sup>. Soit sα un rel`evement des⁰_αdansV₁^∨⊗a(1)⊗ · · · ∨ ⊗Vr^⊗a(r)⊗V₁^⊗Db1d1⊗ · · · ⊗V_r^⊗Dbrdr invariant parG(K).

D’apr`es le th´eor`eme 5.2.11 on obtient quea(i) =Dbidi, et quesαest une combinaison lin´eaire

de permutations. La proposition est donc d´emontr´ee. 2

5.3.2 La majoration

Dans ce sous-paragraphe, on fixe un corps de nombre K. Soient (Ei)1≤i≤r une famille de fibr´es vectoriels hermitiens sur SpecOK, Ξ une famille finie d’applications de{1,· · ·, r} dans Z>0 et

E=M

α∈Ξ

E^⊗α(1)₁ ⊗ · · · ⊗E^⊗α(r)_r .

Pour tout entier 1≤i≤rsoientdi le rang deEi etLi le fibr´e inversible hermitien Λ^diEi. On suppose que (bi)_1≤i≤r soit une famille d’entiers strictement positifs telle que di divisebi pour tout 1≤i≤r. SoitL=L^⊗b₁ ^1/d1⊗ · · · ⊗L^⊗b_r ^r/dr.

Lemme 5.3.4 SoitV un espace vectoriel hermitien de rangm >0. La norme de l’application lin´eaired´et :V^⊗m→Λ^mV est ´egale `a√

m!.

D´emonstration. En effet, d´et peut s’´ecrire comme m! vecteurs orthogonaux et de norme 1 dansV^∨⊗m. Par cons´equent, la norme de d´et est√

m!. 2

Th´eor`eme 5.3.5 Avec les notations ci-dessus, on d´esigne par π :P(E_K^∨)→SpecK le mor-phisme canonique. Sin≥1 est un entier et siM est un sous-OK-module inversible de E tels queMK (vu comme point rationnel de P(E^∨_K)) soit semi-stable pour l’action deGL(E1,K)×K

D´emonstration. D’apr`es la proposition 5.3.3, il existe un entier D ≥ 1, une famille α = (αj)<sub>1≤j≤nD</sub> ∈Ξ<sup>nD</sup> et un ´el´ement σ ∈ S<sub>a(1)</sub>× · · · ×S<sub>a(r)</sub> (o`u a =α1+· · ·+αnD) tels que a(i) =Dbi, et que l’homomorphisme compos´e

M_K^⊗nD⊗L^∨⊗D_K //E_K^⊗nD⊗L^∨⊗D_K ^prα⊗Id//E_1,K^⊗a(1)⊗ · · · ⊗E_r,K^⊗a(r)⊗L^∨⊗D_K soit non-nul. D’apr`es l’in´egalit´e de pentes, ainsi que le lemme 5.3.4, on obtient que

nDdeg(Md )−Dddeg(L) =nDddeg(M)−

Par cons´equent,

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