Pente maximale, semi-stabilit´ e, pente minimale

Proposition 1.3.9 SoitE unOC-module localement libre de rang fini et non-nul.

1) L’ensemble

HE={µ(F)|F est un sous-OC-module quasi-coh´erent non-nul de E}

est born´e sup´erieurement.

2) Il existe un sous-OC-module quasi-coh´erent et non-nul Fdes deE tel queµ(Fdes) = supHE

et tel que, pour tout sous-OC-module quasi-coh´erent et non-nulF deEavecµ(F) = supHE, on aitF ⊂Fdes.

D´emonstration. 1) D’apr`es la proposition 1.3.6, il existe une constanteα >0 telle que pour tout sous-OC-module quasi-coh´erent F de E, on ait deg(F) ≤ α. Par cons´equent, si F est non-nul, on aµ(F)≤α.

2) Les nombres dans HE sont des nombres rationnels de la forme d/r, o`u 1≤r ≤ rgE.

Par cons´equent, HE est un sous-ensemble discret deR. Donc supHE ∈HE. Autrement dit, l’ensemble UE = {F ⊂ E | F 6= 0, µ(F) = supHE} est non-vide. Si F1 et F2 sont deux

´

el´ements dansUE, on a une suite exacte

0 //F1∩F2 //F1⊕F2 //F1+F2 //0.

On noteσ= supH_E. SiF₁∩F₂= 0, on aF₁+F₂∼=F₁⊕F₂, etµ(F₁+F₂) =µ(F₁⊕F₂) =σ, sinon on a

µ(F₁+F₂) =µ(F1⊕F2) rg(F1⊕F2)−µ(F1∩F2) rg(F1∩F2) rg(F₁+F₂)

≥σ rg(F1⊕F2)−rg(F1∩F2) rg(F₁+F₂) =σ.

Par cons´equent, on a toujoursF1+F2∈UE. CommeC est noeth´erien, l’ensembleUE admet

un ´el´ement maximal. 2

D´efinition 1.3.10 Avec les notations de la proposition 1.3.9, le nombre supHE est appel´e la pente maximaledeE, not´eµmax(E). Evidemment on aµmax(E)≥µ(E). Si µmax(E) =µ(E), on dit queEestsemi-stable. Par convention unOC-module nul est semi-stable. SiE n’est pas semi-stable, on aE_des(E, et on dit queE_des est le sous-OC-module deE quid´estabiliseE.

Proposition 1.3.11 Si E est un OC-module localement libre de rang fini et non-nul, alors E_des est un sous-O_C-module satur´e deE. De plus,E_des est semi-stable de penteµ_max(E).

D´emonstration. SoitE⁰la saturation deEdesdansE. Comme deg(Edes)≤deg(E⁰) et comme rg(Edes) = rg(E⁰) (cf. la proposition 1.3.4), on aµ(Edes)≤µ(E⁰) et doncµ(Edes) =µ(E⁰). Or Edesest maximale. DoncEdes=E⁰, i.e.,Edes est satur´e.

Par d´efinitionµ(Edes) =µmax(E). D’autre part, tout sous-OC-module quasi-coh´erentF de E_des est un sous-OC-module quasi-coh´erent de E. Si F est non-nul, on a µ(F)≤µ_max(E) =

µ(E_des). DoncE_desest semi-stable. 2

Proposition 1.3.12 Soient E un O_C-module localement libre de rang fini et non-nul, L un O_C-module inversible. On aµ_max(E⊗L) =µ_max(E) + deg(L).

D´emonstration. CommeEdes⊗Lest un sous-OC-module quasi-coh´erent deE⊗L, on a µ(Edes⊗L) =µ(Edes) + deg(L) =µmax(E) + degL≤µmax(E⊗L). (1.3) Si on applique l’in´egalit´e (1.3) `a E⊗Let `a L^∨, on obtient

µmax(E⊗L) + deg(L^∨)≤µmax(E⊗L⊗L^∨) =µmax(E).

Par cons´equent, on aµmax(E⊗L) =µmax(E) + degL. 2

Lemme 1.3.13 SoitE un OC-module localement libre de rang fini et non-nul. Si H⁰(C, E) est nul, alorsµmax(E)≤g−1.

D´emonstration. CommeH⁰(C, E) = 0, pour tout sous-OC-module quasi-coh´erentF deE on aH⁰(C, F) = 0. D’apr`es le th´eor`eme de Riemann-Roch, on a

dimkH⁰(C, F)−dimkH¹(C, F) = deg(F) + rg(F)(g−1).

SiH⁰(C, F) = 0, alors deg(F) + rg(F)(1−g)≤0, i.e.µ(F)≤g−1. 2

D´efinition 1.3.14 Soit

b(C) = min{deg(H)|H∈Pic(C), H est ample}.

C’est un entier strictement positif, et l’ensemble des valeurs de deg(H) lorsqueH d´ecrit Pic(C) est exactementb(C)Z. Soit en outrea(C) =b(C) +g−1.

Proposition 1.3.15 Pour toutOC-module localement libre de rang fini et non-nulE, il existe un sous-OC-module inversible Ltel quedeg(L)≥µmax(E)−a(C).

D´emonstration. SoitMunOC-module inversible de degr´eb(C). On noter=d(g−µmax(E))/b(C)e.

Ainsi

g−µmax(E)

b(C) ≤r≤g−µmax(E) +b(C)−1

b(C) .

Alors

µmax(E⊗M^⊗r) =µmax(E) +rb(C)≥g.

D’apr`es le lemme 1.3.13 on obtient H⁰(C, E⊗M^⊗r)6= 0. Donc il existe un homomorphisme injectif deO_C versE⊗M^⊗r. SoitL=M^∨⊗r. Il existe alors un homomorphisme injectif deL versE. En outre, on a

deg(L) =−rdeg(M) =−rb(C)≥µ_max(E)−g−b(C) + 1.

Commea(C) =b(C) +g−1, on obtient deg(L)≥µ_max(E)−a(C). 2

Remarque 1.3.16 Si la courbeCadmet unk-point rationnel ou sikest un corps fini,b(C) = 1. On a alorsa(C) =g.

Proposition 1.3.17 Soit E un OC-module localement libre de rang fini et non-nul. Alors l’ensemble

B_E={µ(G)|G6= 0 est un quotient sans torsion deE}

est born´e inf´erieurement, et il existe un quotient localement libre G0 de E tel que µ(G0) = infBE.

D´emonstration. Soitπ:E→Gun homomorphisme surjectif, o`uGest unOC-module loca-lement libre et non-nul. SoitF le noyau deπ. Si F = 0, alors G∼=E, etµ(G) =µ(E), sinon on a

µ(G) = deg(E)−µ(F) rg(F)

rg(G) ≥deg(E)−µ_max(E) rg(F)

rg(G) .

Comme rg(G) = rg(E)−rg(F) ne prend qu’un nombre fini de valeurs possibles, on obtient queBEest born´e inf´erieurement. Enfin, l’ensembleBE⊂Rest discret, donc infBE∈BE. 2

D´efinition 1.3.18 Avec les notations de la proposition 1.3.17, la valeur infBE est appel´ee la pente minimaledeE, not´eeµmin(E). Evidemment on aµmin(E)≤µ(E).

Proposition 1.3.19 Si E est un OC-module localement libre de rang fini et non-nul, on a µ_min(E) =−µmax(E^∨).

D´emonstration. On montre d’abord que pour toutOC-module localement libre et non-nulE, on a

µmin(E)≥ −µmax(E^∨) etµmax(E)≤ −µmin(E^∨).

En effet, si G est un O_C-module localement libre de rang fini et non-nul, et si E → G est un homomorphisme surjectif, on a par dualit´e un homomorphisme injectif de G^∨ vers E^∨. Par cons´equent, −µ(G) = µ(G^∨) ≤ µmax(E^∨). Comme G est arbitraire on a µmin(E) ≥

−µmax(E^∨).

On consid`ere la suite exacte

0 //Edes //E //E/Edes //0. (1.4)

CommeEdes est satur´e,E/Edes est sans torsion, donc localement libre. La suite exacte (1.4) est alors localement scind´ee. Par cons´equent, on a une suite exacte

0 //(E/Edes)^∨ //E^∨ //E_des^∨ //0. Donc

−µmax(E) =−µ(Edes) =µ(E_des^∨ )≥µmin(E^∨).

Enfin, en utilisant les in´egalit´es obtenues, on a

µmin(E)≥ −µmax(E^∨)≥ −(−µmin(E^∨∨)) =µmin(E),

d’o`u l’´egalit´e. 2

Proposition 1.3.20 SoitE unOC-module localement libre de rang fini et non-nul. Les condi-tions suivantes sont ´equivalentes :

1) E est semi-stable ; 2) µmin(E) =µ(E); 3) E^∨ est semi-stable.

D´emonstration. “1)=⇒2)” : On suppose queGsoit un OC-module localement libre de rang fini et non-nul et que π : E → G soit un homomorphisme surjectif. Si le noyau F de π est non-nul, on a

µ(G) = rg(E)µ(E)−rg(F)µ(F)

rg(G) .

CommeE est semi-stable,µ(F)≤µ(E), donc

µ(G)≥ (rg(E)−rg(F))µ(E)

rg(G) =µ(E).

Par cons´equent, on aµmin(E) =µ(E).

“2)=⇒3)” : D’apr`es la proposition 1.3.19, on a

µmax(E^∨) =−µmin(E) =−µ(E) =µ(E^∨),

doncE^∨ est semi-stable.

“3)=⇒1)” : CommeE^∨est semi-stable, on obtientµmin(E^∨) =µ(E^∨). Par cons´equent, µmax(E) =−µmin(E^∨) =µ(E).

2

Proposition 1.3.21 SoientE1 et E2 deux OC-modules localement libres de rang fini et non-nul. Siϕ:E1→E2 est un homomorphisme non-nul, alorsµmin(E1)≤µmax(E2).

D´emonstration. On d´esigne parF l’image de ϕ. Comme ϕ est non-nul, F est un sous-OC -module non-nul deE2. Par cons´equent,µmin(E1)≤µ(F)≤µmax(E2). 2

Proposition 1.3.22 SiE1 etE2 sont deuxOC-modules localement libres de rang fini et non-nuls. On a

1) µ_max(E₁⊗E₂)< µ_max(E₁) +µ_max(E₂) +a(C) + 1; 2) µ_min(E₁⊗E₂)> µ_min(E₁) +µ_min(E₂)−a(C)−1.

D´emonstration. 1) Montrons d’abord que, siµ_max(E₁)+µ_max(E₂)<0, alorsµ_max(E₁⊗E₂)<

g. En effet, siµ_max(E₁⊗E₂)≥g, alorsH⁰(C, E₁⊗E₂)6= 0 (cf. le lemme 1.3.13). Par cons´equent, il existe un homomorphisme non-nul deE₁^∨versE2. D’apr`es la proposition 1.3.21, cela implique que

µmax(E2)≥µmin(E₁^∨) =−µmax(E1),

i.e., µmax(E1) +µmax(E2)≥ 0. Pour d´emontrer 1), on prend un OC-module inversible L tel que−b(C)≤µmax(E1) +µmax(E2) + deg(L)<0. On a alorsµmax(E1⊗L) +µmax(E2)<0, et donc, d’apr`es le r´esultat d´ej`a ´etabli,µmax(E1⊗L⊗E2)< g. Par cons´equent,

µmax(E1⊗E2)< g−deg(L)≤µmax(E1)+µmax(E2)+g+b(C) =µmax(E1)+µmax(E2)+a(C)+1.

2) En effet,

µmin(E1⊗E2) =−µmax((E1⊗E2)^∨) =−µmax(E₁^∨⊗E₂^∨)

>−

µ_max(E₁^∨) +µ_max(E₂^∨) +a(C) + 1

=µ_min(E₁) +µ_min(E₂)−a(C)−1.

2

Remarque 1.3.23 Une cons´equence classique des travaux de Narasimhan-Seshadri [73] sur les fibr´es vectoriels stables sur les courbes complexes est que, si la caract´eristique dekest nulle, alors

µmax(E1⊗E2) =µmax(E1) +µmax(E2), µmin(E1⊗E2) =µmin(E1) +µmin(E2) (voir aussi [77] et [66] 6.4.B). En revanche, ces ´egalit´es ne sont pas vraies en g´en´eral sikest de caract´eristique>0 (cf. [35])