Théorème de Mess pour les espaces-temps Cauchy-compacts avec BTZ

� M₁ � � M2 ��M4∶= (M1∐M2)/∼

montre que M₄ est un E¹₀^,²-espace-temps qui est une extension BTZ de M2. Par suite, M₃ est l’extension BTZ maximale deM₄. Enﬁn,M se plonge dansM₁ donc dansM₄ et donc dansM₃, ainsiM admet une extensionE¹₀^,²-maximale.

Si M₅ est une autre extension E¹₀^,²-maximale de M alors M₀ se plonge dans Reg(M₅) qui est E1,2-maximal d’après la proposition 4.4.1. Par suite Reg(M5) est isomorphe àM2 or M5 est isomorphe à l’extension BTZ maximale de Reg(M5)≃M2donc isomorphe à M3.

4.4.2 Théorème de Mess pour les espaces-temps Cauchy-compacts avec

BTZ

On rappelle avoir construit section 3.4.4, une application

TTeichg,s

dsusp_E1,2

��→Mg,s(E¹^,²)

réciproque de l’application d’holonomie Hol.

Théorème 25. Soientg, s∈Navecs>0 et2g−2+s>0, les applications suivantes sont bijectives

Teichg,s ExtBTZ○susp_E1,2 � �ML g,s(E¹₀^,²) susp⁻1 H2○Reg � � TTeich_g,s ExtBTZ○dsusp_E1,2 � �Mg,s(E¹₀^,²) Hol � �

Démonstration. On se donneΣune surface de genreg etSune partie deΣde cardinals. Il nous faut démontrer d’une part que l’extension BTZ maximale d’un E¹^,²-espace-temps globalement hyperbolique Cauchy-completE¹^,²-maximal homéomorphe à(Σ∖S)×Ret d’holonomie admissible est Cauchy-compact. D’autre part, il nous faut démontrer que si M est un E¹₀^,²-espace-temps globalement Cauchy-compact Cauchy-maximal homéomorphe à Σ×R alors Reg(M) est E¹^,² -maximal et d’holonomie admissible.

• SoitM unE¹^,²-espace-temps globalement hyperbolique Cauchy-complet absolument maxi-mal homéomorphe à(Σ∖S) ×Ret d’holonomieρadmissible.

Comme l’holonomie de M est admissible, à chaque point de S, correspond une classe de conjugaison d’isométries paraboliques de ρ. CommeM estE¹^,²-maximal, le théorème 24 et la proposition 4.3.19 impliquent donc que pour chaque point deScorrespond une composante connexe de Sing₀dans l’extension BTZ maximale deM. Ainsi ExtBTZ(M)est homéomorphe à Σ×Ret est donc Cauchy-compact.

• Soit M unE¹₀^,²-espace-temps globalement hyperbolique Cauchy-compact Cauchy-maximal et homéomorphe à Σ×R. On suppose que Sing₀(M)comporte scomposantes connexes et on noteρson holonomie etΓ∶=ρ(π1(Reg(M)).

4.4. Application : ExtensionE¹₀^,²-maximale et théorème de Mess pour les espaces-temps avec BTZ

Comme M est Cauchy-compact et Cauchy-maximal, d’après le lemme 3.4.12, M est E¹₀^,² -maximal ; la proposition 4.4.1 et le théorème 20, Reg(M) est Cauchy-complet et E1,2 -maximal. Par ailleurs, une surface de Cauchy de Reg(M)est obtenue en prenant une surface de Cauchy deM qui est homéomorphe àΣet en retirantspoints, Reg(M)admet donc une surface de Cauchy homéomorphe à Σ∖S. L’holonomie autour des lignes BTZ est parabo-lique donc l’holonomie d’un lacet simple périphérique d’une surface de Cauchy de Reg(M)

est parabolique. Supposons que l’holonomie d’un lacet ai oubi intérieur deΣn’est pas hy-perbolique, commeΓagit librement sur un domaine régulier, il ne peut contenir d’isométrie elliptique, c’est donc queρ(γ)est parabolique. Par suite, elle correspond à une ligne BTZ, le théorème 24 et la proposition 4.3.19 montrent queM comporterait alors au moinss+1 lignes BTZ. C’est impossible, donc l’holonomie d’un lacet intérieur est hyperbolique et donc

Troisième partie

Paramétrisations d’espaces-temps

plats singuliers munis de surfaces

polyédrales et théorème

d’Alexandrov

Introduction

On peut comparer le monde à un bloc de cristal aux facettes innombrables. Selon sa structure et sa position, chacun de nous voit certaines facettes. Tout ce qui peut nous passionner, c’est de découvrir un nouveau tranchant, un nouvel espace.

Alberto Giacometti

Nous revenons à la problématique principale de ce travail.

Problème. Quelles paramétrisations peut-on avoir des espaces-temps plats singuliers munis d’une surface de Cauchy polyédrale convexe.

Le point de départ de notre réponse à ce problème est le théorème d’Alexandrov-Fillastre.

Théorème ([Fil11]). Soit Σ une surface fermée de genre g≥ 2 localement euclidienne à singu-larités coniques d’angle supérieur à 2π, il existe un polyèdre convexe P dansE¹^,² tel que ∂P est isométrique au revêtement universel Σ̃ de Σ et un représentation ρ ∶ π₁(Σ) → SO₀(1,2) ﬁdèle d’image discrète sous l’action de laquelle P est invariant. De plus, si (P₁,ρ₁) et (P₂,ρ₂) sont deux tels couples polyèdre/représentation, alors il existe une isométrieφdeE1,2telle queφP₁=P₂

etρ₂=φρ₁φ−1.

Nous pouvons l’interpréter comme une bijection entre l’espace de module des espaces-temps plats Cauchy-compactsE¹^,²-maximaux d’holonomie linéaire munis d’une surface de Cauchy poly-édrale convexe, d’une part, et d’autre part l’espace de module desE2

>2π-surfaces.

Théorème. Pourg≥2et s∈N∗, il existe des bijections naturelles : �

g(E¹^,², s)_�_� ^�^�Mg,s(E²_>₂_π) avec

• M�L

g(E¹^,², s) l’espace des classes d’équivalence de E¹^,²-espaces-temps Cauchy-compacts de genreg à holonomie linéaire munis d’une surface de Cauchy polyédrale convexe ayant exac-tement ssommets ;

• Mg,s(E²_>₂_π)l’espace des classes d’équivalence deE²_>₂_π-surfaces de genreg ayant exactement

spoints singuliers.

Nous obtenons ainsi un premier exemple de paramétrisation répondant au problème posé. Par ailleurs, de manière surprenante, un travail de Penner [Pen87] sur une cellulation de l’espace de Teichmüller donne (après reformulation et quelques raﬃnements) un autre théorème du même genre.

Théorème 26([Pen87, Bru16b]). Pourg∈Nets∈N∗ tels que2g−2+s>0, il existe des bijections naturelles : � ML g,s(E¹₀^,²) ^�^�M_g,s(E2 >0) � � avec

INTRODUCTION

• M�L

g,s(E¹₀^,²) l’espace des classes d’équivalence de E¹^,²-espaces-temps Cauchy-compacts de genreg comportant exactement slignes singulières BTZ, à holonomie linéaire munis d’une surface de Cauchy polyédrale convexe dont les sommets sont sur les lignes singulières ; • Mg,s(E²_>₀)l’espace des classes d’équivalence deE²_>₀-surfaces de genre g ayant exactements

points singuliers.

On remarque que dans ce second théorème, les surfaces localement euclidiennes singulières ne sont plus contraintes à avoir des angles singuliers plus grands que 2π. Cela provient du fait que l’on peut aisément construire des cônes de révolution autour d’une singularité BTZ dont l’angle conique est arbitrairement faible voir laﬁgure III.1. Plus important, la contrainte donnée par Gauss-Bonnet est aﬀaiblie : nous ne pouvions pas plonger de sphère plate avec trois angles coniques dans E1,2 mais nous pouvons plonger une telle sphère dans un espace-temps BTZ. Plus généralement, un cône de révolution autour d’une particule massive aura un angle conique supérieur à l’angle de la particule massive III.2.

FigureIII.1 – Cônes convexes autour d’une singularité BTZ.

Dans les coordonnées cylindriques(τ,r,θ), les cônes C₁,C₂ etC₃ respectivement d’angle conique

θ₁,θ₂ etθ₃ sont de la forme C_i ∶ τ=sinh(α_i)r θ_i = 2πexp(α_i); de plus, lim α1→−∞^θ¹⁼0.

Les trois cônes de révolutions dansE¹₀^,²sont représentés avec leur intersection avec la sphère unité

S¹₀^,¹. Le dessin est trompeur car les trois cônes sont convexes y compris C₁. En eﬀet, leur développement dansE1,2 est un cône dont la base est un horocycle.

INTRODUCTION

Figure III.2 – Cônes convexes autour d’une particule massive

Dans les coordonnées cylindriques

(t, r,θ), les cônesC₁,C₂ etC₃ respecti-vement d’angle coniqueθ1,θ2etθ3sont de la forme C_i ∶ t=sinh(αi)r θi = cosh(αi)κ En particulier, lim α3→+∞^θ³^{= +}∞

Nous attirons l’attention sur le fait que les espaces de module M�L

g,s(E¹^,²)et M�L

g,s(E¹₀^,²) sup-posent l’existence d’une surface de Cauchy polyédrale convexe. Ce n’est donc pas clair ) priori que les projections naturelles

� ML g(E¹^,², s)��→ML g(E¹^,²) M�L g,s(E¹₀^,²)��→ML g,s(E¹₀^,²)

soient surjectives. Il est facile de démontrer que la projection de gauche est surjective. Nous démontrons dans la section 5.1 un résultat plus fort que la surjectivité de la projection de droite. En eﬀet, nous démontrons que non seulement un E¹₀^,²-espace-temps Cauchy-compact maximal

M avec au moins une ligne singulière admet une surface de Cauchy polyédrale convexe mais également que l’intersection d’une telle surface de Cauchy avec les lignes singulières est arbitraire. La construction est étonnement simple, étant donné un choix de points sur chacune des lignes BTZ deM, le bord de l’enveloppe convexe fermée est une surface de Cauchy polyédrale convexe intersectant les lignes BTZ aux points choisis, voir théorème 27.

L’objectif du chapitre 5 est de démontrer le théorème 26, cela sera fait à la ﬁn de section 5.2. La construction de la surface de Penner par enveloppe convexe est l’objet de la section 5.1 et nous en proﬁtons pour démontrer que celle-ci fonctionne même pour les E¹₀^,²-espaces-temps Cauchy-compacts maximaux d’holonomie non linéaire.

L’objectif du chapitre 6 est de démontrer la généralisation suivante du théorème d’Alexandrov-Fillastre par une méthode eﬀective.

Théorème. Soit (Σ, S) une E2

>2π-surface marquée de genre g avec #S =s>0 points singuliers. Pour tout ¯κ∈ [0,2π]S, il existe un E¹_[^,²

0,2π]-espace-temps (Σ×R, S×R)-marqué M d’holonomie linéaire et un plongement polyédralι∶Σ→M tels que :

• pour toutσ∈S, siκ(σ) =2π, alors la ligne marquée associée à{σ}×Rest un rayon géodésique régulier ;

• pour tout σ∈ S, si κ(σ) <2π, alors la ligne marquée associée à {σ} ×R est une particule massive d’angle κ(σ).

INTRODUCTION

Nous espérons dans un futur proche généraliser ce dernier théorème pour et démontrer la conjecture suivante.

Conjecture 4.4.3. Soit (Σ, S) une E2

>0-surface marquée de genre g avec #S = s > 0 points singuliers d’angles coniques(θσ)σ∈S.

Pour tout ¯ κ∈ � σ∈S [0,min(2π,θσ)], il existe unE¹^,²

[0,2π]-espace-temps (Σ×R, S×R)-marqué M d’holonomie linéaire et un plongement polyédralι∶Σ→M tels que :

• pour toutσ∈S, siκ(σ) =2π, alors la ligne marquée associée à{σ}×Rest un rayon géodésique régulier ;

• pour tout σ∈ S, si κ(σ) <2π, alors la ligne marquée associée à {σ} ×R est une particule massive d’angle κ(σ).

De plus, un tel couple(M,ι)est unique à équivalence près.

Avant d’aller plus loin, il nous faut lever deux ambiguïtés : par cellulation nous entendons toujours cellulation adaptée et il nous faut préciser le sens de « plongement polyédral » .

Définition (Cellulation adaptée). Soit (Σ, S) un marquage avec Σ une surface de genre g et

#S=s>0 et soit (Σ₁,F1, h1)une E²_>₀-surface(Σ, S)-marquée. Une cellulation adaptée de Σ₁ est un couple (C,A)tel que

• Aest un ensemble de segments géodésiques plongés dans Σ₁ d’extrémités dans h1(S) • C est un ensemble de polygones euclidiens plongés dansΣ₁ de sommets dans h1(S)dont le

bord est une union d’éléments de A. • ⋃C∈CC=Σ₁.

En particulier, l’ensemble des sommets d’une cellulation adaptée est exactement l’ensemble des points marqués.

Un segment géodésique dansAest appelé une arête de la cellulation et un polygone dans Cest appelé une cellule de la cellulation.

Définition (Plongement polyédral). Soit(Σ, S) un marquage avec Σ une surface de genre g et

#S=s>0 et soit (Σ₁,F1, h1)une E²_>₀-surface(Σ, S)-marquée.

Un plongement polyédral de Σ₁ est la donnée d’un E¹≥^,0²-espace-temps (Σ×R, S×R)-marquée (M,F2, h₂)et d’un plongementι∶Σ₁→M tels que

• ∀σ∈S,ι○h₁(σ)∈h₂({σ} ×R);

• il existe une cellulation adaptée (C,A) de Σ₁ telle que la restriction de ι à chaque cellule

C∈C est totalement géodésique ; • ι(Σ₁)est une surface de Cauchy.

Toutes les cellulations et triangulations que nous considérons sont adaptées, nous ne le repré-ciserons donc pas systématiquement.

Chapitre 5

Surface de Penner-Epstein et

espaces temps espaces-temps BTZ

Nous présentons une extension du théorème d’Alexandrov aux cas des espaces-temps plats avec singularités BTZ. Nous nous inspirons principalement de l’article de Penner [Pen87] sur l’espace de Teichmüller décoré. En eﬀet dans ce travail, Penner décrit un espace de module de surfaces hy-perboliques décorées par un choix d’horocycles (possiblement immergés) autour de chaque pointe. Il remarque que chacun de ces horocycles correspond à un point sur le bord du cône lumière de

E¹^,² en identiﬁant le plan hyperbolique au modèle de l’hyperboloïde. Il démontre alors que le bord de l’enveloppe convexe de ces points est une surface polyédrale dont les sommets sont sur le cône lumière. Étant donné le travail que nous avons eﬀectué sur les extensions BTZ, en particu-lier le théorème 24, nous voyons alors qu’en quotientant le futur chronologique de l’origine avec les rayons lumières contenant les sommets de cette surface, on obtient un espace-temps singulier avec BTZ admettant une surface de Cauchy polyédrale convexe. C’est ce que nous démontrons rigoureusement dans la section 5.1.

Si à l’inverse, nous partons d’une surface localement euclidienne singulière fermée(Σ, S), alors on peut réaliser le revêtement universel Σ̃∗ de sa partie régulière comme une surface polyédrale dans le cône futur de l’espace de Minkowski en la découpant le long de sa cellulation de Delaunay puis en plongeant les cellules une à une. La section 5.2 décrit cette construction de manière superﬁcielle car elle ne comporte que des arguments soit classiques soit ﬁgurant dans de très larges détails dans le chapitre suivant ; puis elle se conclut sur une la preuve d’une généralisation du théorème 26 qui est une généralisation du théorème d’Alexandrov pour les espaces-temps BTZ. En corollaire, nous obtenons une paramétrisation de l’espace de Teichmüller décoré par les surfaces localement euclidiennes singulières d’angles quelconques ; ce corollaire n’est sans rappeler un résultat de Troyanov [Tro86].

Dans la section 5.1, nous considérons des espaces-temps plats singuliers d’holonomie quel-conque, les espaces-temps considérés dans la la section 5.2 seront tous d’holonomie linéaire.

Dans le document Surfaces de Cauchy polyédrales des espaces temps plats singuliers (Page 147-154)