Préliminaires

Causalité et extensions BTZ

Proposition 4.1.5. SoitM1 un espace-temps plat singulier et soit φ∶M1→M2 une extension BTZ deM1.

Si M1 est fortement causal, M2 est causal.

Démonstration. SupposonsM₂ non causal, prenons une courbe c future causale dans M₂ pério-dique. D’après le lemme 3.2.4,cse décompose en une partie BTZ Δconnexe dans le passé de c0 la partie non BTZ dec. Commec est périodique, ou bienΔ=c ou bienc0=c.

1. Sic0=c, alorsc⊂M1 et doncM1 contient une courbe causale fermée. M1 n’est donc pas causal.

2. SiΔ=c, considérons un voisinage decrecouvert par une union d’ouverts de carte modelés surE¹₀^,2voisinages des points de c. Ce voisinage est doté d’une(E¹₀^,2,Isom(E¹₀^,2))-structure naturelle. Quitte à le restreindre, on peut le choisir tubulaire de rayon constant ; ce voisinage est le quotient d’un tube de rayon constant par une rotation translation d’axe et de direction de translation parallèle àc. La géodésique lumière parallèle àcpartant d’un pointp∉creste donc dans le voisinage tubulaire et admet donc un point d’accumulation. La courbecet ses points d’accumulation sont dansM₁ qui n’est donc pas fortement causal.

Contre-exemple 4.1.6. Une extension BTZ d’un espace-temps causal n’est pas nécessairement causale.

Soit M2 ∶=E¹₀^,2/γ avec γ(r,θ,τ) = (r,θ+1,τ+1)et soit M1=Reg(M2). Le premier est bien une extension BTZ du premier. Une courbe causalec dansM1 a une coordonnéercroissante, sic

est fermée, alors cette la coordonnéerdecdoit être constante et doncc est parallèle àSing₀(M₂). Or :

∀s, s′∈R, ∀r₀∈R∗

+, ∀θ∈R/2πZ, ∀n∈Z, γⁿ(s,r₀,θ₀) = (s′_,r

0,θ₀)⇔n=0

Ainsi,M₁ est causal maisM₂ ne l’est pas puisque la ligne BTZ est périodique.

Contre-exemple 4.1.7. Soit M2 une extension BTZ d’un espace-temps M1 fortement causal,

M2 n’est pas nécessairement fortement causal. On se place dansE¹₀^,2 et on considère les surfaces

Σ_±=�(τ,r,θ)∣τ+1 2^rθ

2= ±2,θ∈[−π/3,π/3]�

Les surfacesΣ_± sont localement isométriques àE² et totalement géodésiques. Soitx_n∶= (2⁻n,0,2) pourn∈N une suite de points de Σ₊ ety_n∶= (21−n,0,−2) pourn∈N une suite de points deΣ−. On considère une suite strictement décroissante(ρ_n)∈(R∗

+)N telle que pour toutn∈N,

DΣ₊(xn,ρn)⊂ �(r,θ,τ)∣ r∈ �_2n³₊₂, 5 2n+2�; θ∈ �−₃^π,^π 3�� et DΣ₋(y_n,ρ_n)⊂ �(r,θ,τ)∣ r∈ �_2n³₊₁, 5 2n+1�; θ∈ �−₃^π,^π 3�� On pose : M₂∶= ({−1≤τ≤1}∪(DΣ₊(x_n,ρ_n)+]−2,0]u)∪(DΣ₋(x_n,ρ_n) + [0,2[u)) /∼ avec u= (0,0,1)et ∼une identification deDΣ₊(x_n,ρ_n)avec DΣ₋(y_n,ρ_n)pourn∈N.

On peut vérifier que M₁ ∶=Reg(M₂) est bien fortement causal ; en effet puisque les courbes causales deE¹₀^,2 sont à coordonnée radialercroissante, pour toutp∈M1 et toutU voisinage dep,

Chapitre 4. Théorie des extensions BTZ

on peut choisir un voisinage V de ptel que V ⊂{3/2n0+2<r<5/2n0+2}∩U pour une certain n0. Une courbe causale future deM1 partant deV qui quitteV ne peut espérer y revenir qu’en passant par un des disques de Σ₊ pour n≥n0 et donc revenir à V depuis un disque deΣ− pour n≥n0. Or aucun de ces disques n’est dans le passé de {3/2n0+2<r <5/2n0+2} et donc une telle courbe causale ne peut revenir à V. Un tel voisinage V est donc causalement convexe dans M₁, et donc

M₁ est fortement causal.

Cependant, il existe des courbes causales futures partant de p∶= (0,0,0)passant par l’un des disques deΣ₊et arrivant à(ε,0,0)pourε>0 arbitrairement petit. Le pointpn’admet donc aucun voisinage causalement convexe dans M₂ et doncM₂ n’est pas fortement causal.

Rayons BTZ des espaces-temps globalements hyperboliques

Lemme 4.1.8. Soient M₁ et M₂ deux espaces-temps plats singuliers et soit M₁ ���→^φ M₂ une extension BTZ.

Si M₁ est globalement hyperbolique, alors :

∀p∈M1, J_M⁺₂(φ(p)) =φ�J_M⁺₁(p)�

Démonstration. On identifieM₁à une partie deM₂de sorte queφest l’inclusion naturelle. Soient

p∈M1etq∈M2, supposonsp∈J−1

M2(q). Sip∉Sing₀(M1), le futur depdansM2ne contient aucun point BTZ et le résultat s’ensuit. Sip=q, c’est terminé, nous supposons alorsp≠q.

Comme pest dans le passé deq dans M2, d’après le lemme 3.2.4, pet q sont sur une même ligne BTZ deM2. SoitT un voisinage tubulaire de [p, q]de rayon constant R. Soit q′∈J_T⁺(q), commep≠q,p∈I−

M2(q′₎. Le diamant JM1(p, q′₎est compact.

La partie régulière de T est sans point BTZ, elle est donc dans φ(M1); le diamant ouvert

˚

J(p, q)dans M2 est inclus dans T et donc dansφ(M1); c’est donc le diamant ouvert J˚(p, q) de

φ(M1). De plus, la fermeture de J˚(p, q) dansφ(M1) est le diamant complet J(p, q′₎de φ(M1)

qui est compact donc fermé dans M2. La fermeture de J˚(p, q) dans φ(M1) est donc égale à sa fermeture dans M2, comme le second contient [p, q] il en va de même pour le premier ; donc

[p, q]⊂φ(M1).

Corollaire 4.1.9. SoientM1etM2deux espaces-temps plats singuliers globalement hyperboliques et soitM₁���→^φ M₂ une extension BTZ. Pour toutp, q∈Sing₀(M₁), sipetqsont dans la même composante connexe deSing₀(M₂)alors ils sont dans la même composante connexe deSing₀(M₁). Proposition 4.1.10. SoitM un espace-temps plat singulier Cauchy-maximal et soitp∈Sing₀(M). Alors, le rayon BTZ futur partant depest complet et il existe un voisinage tubulaire de[p,+∞[ de rayon constant.

Démonstration. Considérons Σ une surface de Cauchy de M. La composante connexe Δ de p

dans Sing₀(M) est une courbe causale inextensible qui intersecte donc la surface de Cauchy Σ

exactement une fois en un certainq∈Σ∩Δ. Il existe un voisinage de carte(U,E¹₀^,2,φ,V)deqtel que

V = {τ∈[τ₁,τ₂], r≤R}⊂E¹₀^,2

pour un certainR>0 et certainsτ1,τ2∈R. Prenons ce voisinage assez petit de sorte que la surface

{τ = τ2, r <R} est acausale M. Considérons alors le tube ouvert T = {τ > τ1, r < R} ⊂ E¹₀^,2 et

U =Int(U); nous posons alors

• M₀=M∖J⁺�φ−1({τ=τ₂, r≤R})�;

• M2= (M0∐T ) /∼avecx∼y⇔(x∈U, y∈T etφ(x) =y).

Σest une surface de Cauchy de M₀ et M est une extension de Cauchy deM₀. Pour démontrer queM₂est un espace-temps plat singulier, il nous suffit de démontrer qu’il est séparé. En effet,φ

4.1. Extension BTZ

• M2est séparé

Soit x, y ∈ M2, x ≠ y et soit la projection naturelle π ∶ M0∐T → M2. Si x, y ∈ π(U), considérons x1 = π−1(x)∩U, x2 = π−1(x)∩T, y1 = π−1(y)∩U, y2 = π−1(y)∩T ; puis considérons des voisinages ouverts Vx1 et Vy1 dex₁ et y₁ disjoints. Remarquons que Vx∶=

π−1(π(Vx1)) = Vx1∪φ(Vx1) et que Vy ∶= π−1(π(Vy1)) = Vy1∪φ(Vy1). Par suite Vx et Vy

sont des voisinages ouverts et disjoints dexetyrespectivement. Remarquons également que

π−1(π(U)) = U∪{τ∈]τ₁,τ₂], r<R}de sorte que, sixetysont dansM₂∖π(U), alors ils sont séparés..

Reste à traiter le cas x, y∈∂π(U) =π(∂U))∪π({τ=τ₂}). Supposons alors x, y∈∂π(U) et considéronsx1∈U,y1∈U tel queπ(x1) =xet π(y1) =y. Prenons deux voisinages ouverts dansM0disjointsVx1 etVy1dex1ety1respectivement. On aπ−1(π(Vx1)) = Vx1∪φ(Vx1∩U)

et π−1(π(Vy1)) = Vy1 ∪φ(Vy1 ∩U); donc x et y sont séparés. De la même manière, on peut séparer deux points x, y ∈ π({τ = τ2, r < R}). Supposons à présent x = π(x1) avec

x1 ∈ ∂U et y = π(y1)avec y1 ∈ {τ =τ2, r < R}. Le point x1 n’est pas dansφ−1({τ =τ2})

par définition de M0. Par suite, τ ○φ(x1) ≤ τ2. Prenons un voisinage Vx1 de x1 tel que

φ(Vx1∩U)⊂{τ<τ₂−ε}pour un certainε>0 ; puis, prenons Vy2= {τ>τ₂−ε, r<R}; nous obtenonsπ−1(π(Vx1)) = Vx1∪φ(U∩Vx1)etπ−1(π(Vx2)) = Vx2∪φ−1({τ∈]τ₂−ε,τ₂[}). Ainsi,

π(Vx1)etπ(Vy1)sont ouverts et disjoints. Finalement,M₂ est séparé. • Σest une surface de Cauchy deM₂

Considéronscune courbe causale future inextensible deM₂et posonsΠ= {τ=τ₂, r<R}⊂T. La courbec se décompose en une partiec₀=c∩M₀ et une partie c₁=c∩J⁺(π({τ=τ₂, r<

R})). Ces deux parties sont connexes puisque Π est acausal dansT et φ−1(Π)est acausal dans M. De plus, c1 et c0 sont deux courbes causales inextensibles si non vides. Si c1 est non vide, alors elle intersecte ΠcarD_T⁺(Π) = {τ≥τ2, r<R} et alorsc0 est non vide. On en déduit quec0 est toujours non vide.c1n’intersecte pasΣetc0intersecteΣexactement une fois donccintersecteΣexactement une fois.

Par suite M et M2 sont des extensions de Cauchy de M0 or M est Cauchy-maximal donc, d’après le théorème 13,M₂ se plonge dansM et on obtient le résultat.

Un lemme de recollement

Lemme 4.1.11. SoitM₀ un espace-temps plat singulier. Soienti∶M₀→M₁ une extension BTZ de M₀ et j ∶ M₀ → M₂ un E¹≥^,0²-plongement avec M₂ un espace-temps plat singulier. On pose

M3∶= (M1∐M2)/M0 de sorte à obtenir le diagramme suivant :

M0 ⁱ �� j � � M1 π1 � � M2 π2 � �M3

Si M2 est globalement hyperbolique et siSing₀(M2) =j(Sing₀(M0)), alors M3 est séparé. Démonstration. Soient p∈M₁ et q∈M₂ tels que pour toutU voisinage de pet V voisinage de q

on a :

i−1(U)∩j−1(V)≠ ∅.

On doit montrer queπ₁(p) =π₂(q).

On remarque que pour tout x∈M₁, I⁺(x)⊂i(M₀) car M₁ est une extension BTZ de M₀ et donc en considérant(a_n)∈MN

0 une suite telle que lim

n→+∞^{i(an) =p} et lim

Chapitre 4. Théorie des extensions BTZ j○i−1(I⁺(p)) = j○i−1�Int� � N∈N � n≥N I⁺(an)�� = Int� � N∈N � n≥N j(I⁺(i−1(a_n))� ⊂ Int� � N∈N � n≥N I⁺(j○i−1(a_n)� ⊂ I⁺(q)

Prenons une suite(b_n)n∈N∈MN

0 décroissante telle quei(b_n)���→^n→+∞ p. La suite(j(b_n))_n∈Nest décroissante et dansJ⁺(q)donc elle converge dansJ⁺(q). On noteq′∶= lim

n→+∞^j(bn).

De la même manière que précédemment,j○i−1(I⁺(p))⊂I⁺(q′₎. SoitU �→^φ U^′⊂E¹_α^,2 un ouvert de carte autour deq′avecU^′diamant deE¹_α^,2 et soitV�→^ψ V^′⊂E¹₀^,2un ouvert de carte autour dep

avecV^′diamant deE¹₀^,2. On se donnen∈Ntel quei(b_n)∈Vetj(b_n)∈U. On posef∶=φ○j○i−1○ψ−1 etW∶=I(p, i(b_n))et on a alors :

f ∶W���→E¹_α^,2

etWest la partie régulière d’un voisinage d’un point de Sing(E¹₀^,2). On déduit alors de la propriété 2.2.17 queα=0, doncq′∈Sing₀(M₂) =Sing₀(j(M₀))et doncq′∈j(M₀). Par suite,

i○j−1(q′_{) =} lim n→+∞^{i(bn) =p} doncp∈i(M₀)et donc q= lim n→+∞^{j(an) =} lim n→+∞^j○i−1○i(a_n) =j○i−1(p). Finalement,π₁(p) =π₂(q).

Holonomie des lignes singulières

On rappelle que toutE¹≥^,0²-espace-temps est une variété orientable.

Définition 4.1.12. SoientM unE¹≥^,0²-espace-temps,α∈R₊, etp∈Sing_α(M).

On pose γ(p) ∈ π₁(Reg(M)) la classe d’homotopie d’un lacet simple tournant dans le sens direct autour de la droite singulière portantpdans un voisinage de carte dep.

Lemme 4.1.13. Soient M un E¹≥^,0²-espace-temps, α ∈ R₊, et p ∈ Sing_α(M). On a les points suivants :

(i) γ(p)ne dépend que de la composante connexe deSing(M)contenantp. (ii) SiM est globalement hyperbolique alors

γ∶π₀(Sing(M))→π₁(M)

est d’ordre au plus deux, c’est à dire que pour tout γ₀∈π₁(M),#γ−1(γ₀)≤2. Démonstration.

(i) Soientpetqdeux points appartenant à la même composante connexe de Sing(M). Il existe un voisinage tubulaireU de rayon constant du segment de points singuliers [p, q]. Un lacet simple autour de la ligne singulière portantpdans ce voisinage est alors clairement homotope à un lacet simple autour deqdans ce voisinage.

4.1. Extension BTZ

(ii) Supposons M globalement hyperbolique et prenons Σ une surface de Cauchy de M. Soit

Δ une composante connexe de Sing(M), d’après le lemme 3.2.4,Δ est une courbe causale inextensible qui intersecte donc Σexactement une fois. On considère alors alors γ∆∶=γ(p)

avecp=Δ∩Σetγ∆⊂Σ. On noteΣ∗∶=Reg(Σ)

SiΣ∗ est homéomorphe à une sphère percée zéro, une ou deux fois, alors #π₀(Sing(M))≤2 et donc #γ−1(c)≤2 pour tout lacet[c]∈π₁(Σ).

Sinon Σ∗ est une surface hyperbolique et les classes d’homotopies des lacets périphériques sont disjointes. L’applicationγ est alors injective.