i∈I Ui π ���→M =�� i∈I Ui�/∼
est continue surjective et ouverte (avec∼l’identification naturelle deUi etUj surUi∩Uj). Ainsi, d’une partM est localement connexe, d’autre partπ(U)est ouverte et enfin∐i∈IVi est dense et semi-localement connexe dans∐i∈IUi. Le lemme 1.2.10 permet de conclure.
Corollaire 1.2.13. SoientM, N deux espaces topologiques,f∶M →N un homéomorphisme local etU ⊂N un ouvert.
SiM est localement connexe etU est dense et semi-localement connexe dansN, alors f−1(U) est dense et semi-localement connexe dansM.
Démonstration. SupposonsU dense et semi-localement connexe dansN et montrons que f−1(U)
est semi-localement connexe. Considérons un ouvert connexeW deM. Commef est un homéo-morphisme local, il est existe un recouvrement(Vi)i∈I de M tel que pour tout i∈I, f∣Vi soit un homéomorphisme sur son image etf(Vi)est un ouvert de N. CommeU est un ouvert dense et semi-localement connexe deN,U∩f(Vi)est un ouvert dense semi-localement connexe de f(Vi)
et donc(f∣Vi)−1(U∩f(Vi)) =f−1(U)∩Viest un ouvert dense et semi-localement connexe dansVi. La proposition 1.2.12 permet de conclure.
1.2.2 Préliminaires (II) : nappes
Définition 1.2.14 (Prénappe). Une prénappe sur un espace topologiqueM est un ensemble non vide d’ouverts denses semi-localement connexes deM qui est stable par union quelconque. Définition 1.2.15 (Nappe). Une nappe sur un espace topologique M est un ensemble non vide d’ouverts denses semi-localement connexes de M qui est stable par intersection finie et union quelconque.
Une nappe F prolonge une nappeF′ siF′⊂F.
Lemme 1.2.16. SoitM un espace topologique. Pour toute prénappeF, il existe un unique nappe F contenant F et qui est minimale pour l’inclusion.
Démonstration. On pose F′ ∶= (⋂U∈GU)G⊂Ffini et F ∶= (⋃U∈GU)G⊂F′. On vérifie aisément que
F est stable par union quelconque et intersection finie, c’est donc une nappe contenant F. Par ailleurs, toute nappe contenantF, étant stable par intersectionfinie et union quelconque contient nécessairementF.
Définition 1.2.17 (Nappe engendrée). SoitM un espace topologique et soit une prénappe F sur
M, l’unique nappe F contenant F et minimale pour l’inclusion est appelée nappe engendrée par F.
Chapitre 1. Introduction aux(G, X)-variétés et(G, X)-variétés singulières
1.2.3 (G, X)-brouillard
Définition 1.2.18 ((G, X)-brouillard). Soient (G, X) une structure analytique, M un espace topologique. Un(G, X)-brouillard un couple(F,A), avecF une prénappe surM etA = (AU)U∈F
une famille telle que pour toutU ∈F,AU est un(G, X)-atlas.
Définition 1.2.19(Restriction et prolongement). SoientF,F′deux nappes telles queF′prolonge F. La restriction d’un brouillardBsur F′àF est le brouillardB∣F∶= (BU)U∈F.
Un brouillardB sur F′ est plus épais qu’un brouillardAsur F siA = B∣F et on le note (F,A)≤(F′,B).
Proposition 1.2.20. Soit(G, X)une structure analytique séparée localement connexe, et soitN
un espace topologique. Soit(Bk)k∈K une famille de(G, X)-préatlas telle que : • Pour toutk∈K,supp(Bk)est dense et semi-localement connexe ;
• Pour tout(k, k′)∈K2, il existe un ouvertM ⊂supp(Bk)∩supp(Bk′)dense semi-localement connexe deN et Aun (G, X)-atlas surM tels que Bk∣M etBk′∣M sont plusfins queA. Alors l’union ⋃k∈KBk est un(G, X)-préatlas.
Démonstration. Soient k, k′ ∈K, on note Bk = (Ui,Vi,φi)i∈I(k) et Bk′ = (Ui,Vi,φi)i∈I(k′). Soient
i∈ I(k), j ∈ I(k′) tels que Ui∩Uj ≠ ∅ et soit W�⊂ Ui∩Uj un ouvert connexe non vide. Soient
M ⊂supp(Bk)∩supp(Bk′)un ouvert dense semi-localement connexe etAun(G, X)-atlas surM
tel queBk∣M et Bk′∣M sont plusfins queA.
• Prenons un pointp∈ �W∩M, une carte(U,V,φ)dansAautour depet prenonsW⊂ �W∩U
un ouvert connexe contentantp, un tel ouvert existe carM est localement connexe. Il existe
g, h∈Gtel que
φ∣W =g○φi∣W φ∣W=h○φj∣W,
donc
φj∣W= (h−1g)○φi∣W.
On pose alorsgp,U,W ∶=h−1g.
• Montrons quegp,U,W ne dépend ni deU ni de W ni dep.
Soientp∈ �W∩M,(U,V,φ)et(U′,W′,φ′)sont deux cartes deAau voisinage depetW et
W′ sont deux ouverts connexes contenant pinclus dans W�∩U et W�∩U′ respectivement. Les restrictions de gp,U,W etgp,U′,W′ à φi(W∩W′)sont égales or(G, X)est une structure analytique, donc gp,U,W = gp,U′,W′. Par suite gp ∶= gp,U,W ne dépend que de p, de plus si
q∈W alors, de la même manière,gq,U,W =gp,U,W; l’applicationW∩M →G, p↦gpest donc localement constante. CommeM est une partie semi-localement connexe deN et queW�est connexe, l’intersection W�∩M est connexe ;finalement p↦gp est constante surW�∩M. • On a démontré qu’il existeg∈Gtel que
∀x∈M∩ �W, φj(x) =g○φi(x)
Comme φi,φj et g sont continues, X est séparé et M est dense, l’intersection W�∩M est donc dense dansW�et
φj∣̂W =g○φi∣̂W.
Ainsi,Bk∪Bk′est un(G, X)-préatlas et commek, k′∈Ksont quelconque,⋃k∈KBkest un(G, X) -préatlas.
1.2.(G, X)-variétés singulières
Lemme 1.2.21. Soient (G, X)une structure analytique séparée localement connexe par arc, M
un espace topologique et soientF,F′deux prénappes surM tels queF′prolongeF. Si(F,A0)est un (G, X)-brouillard F alors il existe au plus un(G, X)-brouillard Asur F′plus épais que A0. Démonstration. SoientAetB deux brouillards surF plus épais queA0.
Pour tout U ∈F, si U ⊂U0 alors par définition AU = A0∣U = BU et si U ⊃U0 alors d’après la proposition 1.2.20, l’unionAU∪BU est un(G, X)-atlas et par maximalité deAet deB, on obtient
AU = AU ∪BU = BU.
Proposition 1.2.22(Prolongement d’un(G, X)-brouillard). Soient(G, X)une structure analy-tique séparée localement connexe par arc,M un espace topologique,F une prénappe surM et soit Aun brouillard surF. On note F la nappe engendrée par F.
Il existe un unique(G, X)-brouillard A surF plus épais que(F,A).
Démonstration. L’unicité est donnée par le lemme 1.2.21. Pour U ∈ F, on se donne une famille
(Ui,j)i∈I,j∈J(i) d’ouverts deF tels que
U =�
i∈I �
j∈J(i) Ui,j.
Pour touta∈Iet b∈J(a),Ũ∶=⋃i,jUi,j∈F carF est stable par union quelconque, on pose alors
AU ∶= AŨ∣U. Soit V un ouvert de F contenant U, on se donne de la même manière une famille
(Vi,j)i∈I′,j∈J′(i) telle que
V = �
j∈I′ �
j∈J′(i) Vi,j.
On définit Ṽ de la même manière, on a alors Ṽ ∈ F et Ũ∪ ̃V ∈ F, et donc AŨ∪̃V∣ ̃U = AŨ et
AŨ∪̃V∣̃V= AṼ. Par suiteAṼ∣U = AŨ∪̃V∣U = AŨ. AinsiA∶=�AU�U∈F est un brouillard surF.
Définition 1.2.23 ((G, X)-brouillard opaque). Un (G, X)-brouillard(F,A)sur un espace topo-logique M est opaque si pour tout (G, X)-brouillard (F′,A′) sur M plus épais que (F,A) on a (F,A) = (F′,A′).
Proposition 1.2.24. Soient (G, X)une structure analytique, M un espace topologique, F une nappe surM etAun(G, X)-brouillard surF. Il existe un unique(G, X)-brouillard(F,A)opaque plus épais que(F,A).
Démonstration. Soit (Fk,Ak)k∈K la famille des brouillards prolongeant (F,A). On pose FK la prénappe
FK∶= (�
k∈K
Uk)(Uk)∈∏k∈KFk.
Soit U = ⋃k∈KUk ∈ FK, d’après le lemme 1.2.4, U est dense et semi-localement connexe car il contient un ouvert dense et semi-localement connexe. On se donneU′∈F, d’après le lemme 1.2.5,
U′′∶= U′∩U est un ouvert dense semi-localement connexe, de même que pourU′∩Uk = U′′∩Uk
pour toutk∈K.
Soientk, k′∈K,Mk,k′∶= Uk∩Uk′∩U′est un ouvert dense semi-localement connexe. CommeF⊂ Fk,Fk stable par intersectionfinie et union, et commeAk prolongeA, d’une partAk,Uk∪U′∣Uk est plusfin queAk,Uket d’autre partAk,Uk∪U′∣U′est plusfin queAU′; doncAk,Uk∣Uk∩U′= Ak,Uk∪U′∣Uk∩U′
est plus fin que AU′∣U′∩Uk; ainsi Ak,Uk∣Mk,k′ est plus fin que AU′∣Mk,k′. De la même manière,
Ak′,Uk∣Mk,k′ est plus fin que AU′∣Mk,k′. D’après, la proposition 1.2.20, l’union ⋃k∈KAUk est un brouillard sur l’union des Uk c’est-à-dire sur U. On note AU l’unique (G, X)-atlas maximal sur
U plusfin que ⋃k∈KAUk. De sorte queA∶= (AU)U∈FK est un brouillard sur FK. La proposition 1.2.22 permet de conclure.
Corollaire 1.2.25. Soient (G, X) une structure analytique, M un espace topologique, F une nappe surM,A un(G, X)-brouillard sur F etU ∈F.
Chapitre 1. Introduction aux(G, X)-variétés et(G, X)-variétés singulières