Surface de Cauchy lisse : existence et propriétés

Un résultat classique énonce qu’une partie acausale d’une variété lorentzienne est une sous-variété de classe C0 (et même Lipchitz). En particulier, une surface de Cauchy est une sous-variétéC0. Le problème à présent est l’existence de surface de CauchyCk dans les espaces-temps globalement hyperboliques.

Définition 3.2.12 (Surface de type espace). SoitM une variété lorentzienne. Une surfaceΣde classe C¹ est de type espace si la métrique induite surΣest non-dégénérée et définie positive.

Seifert [Sei77] a été le premier à poser la question suivante :

Problème. SoitM un espace-temps globalement hyperbolique, admet-il une surface de Cauchy de classe Ck pourk≥1? Cette surface peut-elle de plus être choisie de type espace ?

Seifert donna une réponse positive pourM un espace-temps semi-riemannien mais la preuve proposée se révéla incorrecte. De nombreuses tentatives ont été consacrées à la résolution de ce problème, toutes ont été invalidées sauf les deux dernières : une de Bernal et Sanchez [BS03] et une autre de Fathi et Siconolfi[FS12].

Théorème 11([BS03], [FS12] ). SoitM uneE^1,2-variété globalement hyperbolique,M admet une surface de CauchyC∞ de type espace.

L’objet de cette section est d’étendre ce théorème aux espaces-temps plats singuliers.

Définition 3.2.13. SoitM un espace-temps plat singulier globalement hyperbolique et soitΣune surface de Cauchy deM.

• Σest essentiellement lisse (resp. essentiellement lisse par morceaux) siΣ∩Reg(M)estC∞

(resp.C∞ par morceaux) ;

• Σ est essentiellement lisse (resp. essentiellement lisse par morceaux) et de type espace si

Σ∩Reg(M)est lisse (resp. lisse par morceaux, resp. lisse) et de type espace.

Théorème 12. SoitM un espace-temps plat singulier globalement hyperbolique, alorsM admet une surface de Cauchy essentiellement lisse de type espace.

Démonstration. SoitΣ₁ une surface de CauchyC0 deM. • Étape 1 Soit Sing_≥0(M) = � i∈Λ₀ Δ_i � i∈Λ_>0 Δ_i

la décomposition du lieu singulier de M en composantes connexes avec ∀i ∈ Λ₀,Δ_i ⊂

Sing₀(M) et ∀i ∈Λ_>0,Δ_i ⊂ Sing_>0(M). Pour tout i∈ Λ≥0, d’après le lemme 3.2.4, Δ_i est courbe causale inextensible deM et donc intersecteΣ₁ exactement une fois ; on pose alors

p_i=Σ₁∩Δ_i le point d’intersection deΔ_iavecΣ₁. Soiti∈Λ≥0, on se donne

(Ui,E¹_αi^,2,Ti,φ_i) Ti∶= {τ∈[τ−

i,τ_i⁺],r≤R_i}

une carte tubulaire au voisinage depi. Sii∈Λ0, on pose

D−

i =φ−1

i ({τ=τ−

i, r≤R}) D⁺_i ∶= {τ=τ_i⁺, r≤Ri}.

Dans ce cas,I−_(Σ

1∩Ui)est voisinage ouvert du rayon BTZ passéJ−_(p

i)∖{p_i}issu dep_i. Le passé deΣ₁ contient un voisinage deD−

i ∩J−_(p

i)donc quitte à prendre unR_i plus petit, on peut supposerD−

i ⊂I−_(Σ

1); quitte à prendreR_i plus petit encore, nous pouvons supposer

3.2. Espace-temps plat singulier

CommeΛ≥0 est dénombrable, on peut construire par récurrence une famille de cartes tubu-laires(Ui,E¹_αi^,2,Ti,φi)i∈Λ_≥0 telle que pour tout i∈Λ≥0,Ui est disjoint de⋃j≠iJ^±(Uj)et telle que N =� � i∈Λ₀ J⁺(D⁺_i)∪J−_(D− i)� ∪^⎛_{⎝ �} j∈Λ_>0 J⁺(p_j)∪J−_(p j)⎞ ⎠

est fermé. On pose alorsM′₌Reg(M∖N).

Les diamants de M′sont compact et M′ est causal, d’après le théorème 9,M′admet donc une surface de CauchyC0. De plusM′est uneE^1,2-variété donc une variété lorentzienne, le théorème 11 assure l’existence d’une surfaceΣ₂ de Cauchy deM′ lisse et de type espace. • Étape 2a

Il nous faut à présent prolongerΣ₂ en une surface de Cauchy putative deM. Commençons par prolongerΣ₂ aux singularités massives. NotonsD_R le disque compact de rayon Rdans

E² etD∗

R∶=D_R∖{0}le disque épointé. Considérons la particule massiveΔ_j passant par pj

pour un certainj∈Λ≥0 et une carte tubulaire(U,E¹_α^,2,T,φ)avecT = {t∈[t−_{, t}+], r≤R}et

pj ∈U. On peut supposer t(φ(pj)) = 0,t−₌−t⁺ et R=t⁺ de sorte que {t =t^±, r<R} est exactement la base du côneJ^±(φ(pj)dansT.

On considère la projection

π∶ ^φ((Σ2∩U)∪{p_j}) �→ D_R

x �→ (r(x),θ(x)) ^. – D’une part, on remarque queπest continue ;

– d’autre part, pourr₀∈]0, R]et θ₀∈R/2πZ, les courbes causales φ−1({r=r₀,θ=θ₀, t∈ ]−r₀, r₀[})sont inextensibles dansM′. Elles intersectent doncΣ₂exactement une fois, on en déduit donc queπest bijective ;

– enfin, soit (q_n)_n∈Nune suite de points de Σ₂∩U telle quer○φ(q_n)���→^n→+∞ 0. Comme

Σ₂est coincé entreJ⁺(pj)etJ−_(p

j), on a pour toutn∈N,∣t○φ(qn)∣<r○φ(qn); donc

qn→pj. Par suiteπ−1 est continue et doncπest un homéomorphisme. • Étape 2b

Prolongeons à présentΣ₂au singularités BTZ. Soitp_iun point BTZ aveci∈Λ₀, nous avons un voisinage tubulaire(Ui,E¹₀^,2,Ti,φ_i)dep_i. La surfaceφ(Σ₂∩U) est prisonnière entreD⁺_i

et D−

i, De la même manière que précédemment, on montre que la projection

π∶φ(Σ₂∩U)→D∗

R

est un homéomorphisme. Posonsf ∶=τ○π−1∶D∗

R→[τ−_,τ+]de sorte queφ(Σ∩U)s’identifie au graphe de f. Soit (an)n∈N une suite de points de D∗

R tendant vers 0. Par compacité,

(τ(an))n∈Nadmet des valeurs d’adhérence, si elle en admet deux, disonsτaetτbavecτa<τb, alors,(τa,0))appartient à l’ouvertI−_(π−1(an))une infinité den∈N; ainsi il existen, m∈N

tels queπ−1(an)∈I−_(π−1(bm)). OrΣ₂est acausale, c’est absurde et donc τa=τb. Par suite

(τ(a_n))n∈N converge etπ−1 se prolonge continûment en une application

D_R→φ(Σ₂∩U)∪{q_i}

qui est alors un homéomorphisme (pour un certainq_i∈Δ_i). On définit donc la surface essentiellement lisse et de type espace

Chapitre 3. Généralisations de théorèmes classiques aux espaces-temps plats singuliers, un détour par les espaces-temps topologiques

• Étape 3

Montrons queΣest une surface de Cauchy deM. Soitcune courbe causale future inextensible deM. Commençons par remarquer que N se décompose en

N =N⁺∪N− avec N^±= �

i∈Λ₀

J^±(D^±_i) �

j∈Λ_>0

J^±(pj).

Une courbe causale future entrant dans N⁺ ne peut plus quitterN⁺ et une courbe causale quittantN−ne peut plus y revenir. Ainsi, c=c−∪c0∪c⁺, oùc−_{, c}0, c⁺ sont les intersections decavecN−, M∖N et N⁺ respectivement.

– Sic0=∅alorsc⊂N donc

c∩Σ₁⊂N∩Σ₁= {pj∶j∈Λ≥0} =Σ∩N.

cintersecte donc Σexactement une fois à unp_j pour un certainj∈Λ_>0.

– Si c⁰≠ ∅, alors d’après le lemme 3.2.4, c⁰ se décompose en une partie BTZ Δ et une partie non BTZc¹ avecΔ dans le passé dec¹. On a alorsc=c−∪Δ∪c¹∪c⁺.

∗ Sic¹≠ ∅, alorsc¹ est inextensible dansM′et intersecte doncΣ₂ etΣ, exactement une fois. Si qi ∈ Δ pour un certain i ∈ Λ0, alors qi ∈ J−

M(Σ₂)∖Σ₂ = I−_(Σ

2). Cependant,I−_(Σ

2)est ouvert et qi∈Σ2, doncI−_(Σ

2)∩Σ₂≠ ∅ce qui est absurde puisqueΣ₂ est acausal dansM′. Finalement,c∩Σ=c¹∩Σqui est un singleton.

∗ Sic1=∅, alorsΔest une composante connexe de Sing₀(M∖N). Ces composantes connexes contiennent exactement un des(q_i)i∈Λ₀ doncc∩Σ=Δ∩Σest un singleton.

Lemme 3.2.14. SoientM un espace-temps plat singulier globalement hyperbolique etΣune sur-face de Cauchy de M essentiellement lisse par morceaux et de type espace. En notant D_R= {r≤

R}⊂E². Pour toutp∈Σ, il existe une carte(U,E¹_α^,2,T,φ)au voisinage deptelle que • T = {τ∈[τ₁,τ₂],r≤R}siα=0;

• T = {t∈[t1, t2], r≤R} siα>0;

• Σ∩U = {(f(r,θ), r,θ)∶(r,θ)∈D_R} pour une certain fonction f ∶D_R→Rcontinue sur D_R

et lisse par morceaux surD∗

R.

Démonstration. Soit α ≥ 0, dans une carte au voisinage de p localement modelé sur E¹_α^,2, et soit π ∶ E¹_α^,2 → E²_α la projection verticale de E¹_α^,2. Quitte à prendre U plus petit, U peut être supposé causalement convexe dans M, les droites verticales de T pouvant être prolongées en des courbes causales inextensibles de M intersectent alors Σ′ ∶= φ(Σ∩U) exactement une fois et donc π∣D_R

∣Σ′ ∶φ(Σ∩U)→D_R est bijective, continue et est donc un homéomorphisme. On pose

f∶=t○ �π∣D_R

∣Σ′ �⁻¹ siα>0 etf ∶=τ○ �π∣D_R

∣Σ′ �⁻¹ siα=0.

La surfaceΣ′est de type espace donc les plans tangents à Reg(φ(Σ∩U))sont toujours trans-verses à la direction deπqui est de type temps siα>0 et de type lumière siα=0. Par conséquent,

f est lisse par morceaux surD∗

R.

La métrique riemannienne sur Reg(Σ)induit une structure d’espace de longueur sur Reg(Σ)

et une fonction distance sur Reg(Σ) ×Reg(Σ). La proposition suivante prolonge cette structure d’espace de longueur àΣtout entier.

Proposition 3.2.15. Soit M un espace-temps plat singulier et soit Σ une surface de Cauchy essentiellement lisse et de type espace. Alors, la fonction distance sur Reg(Σ) ×Reg(Σ) s’étend continûment à Σ×Σ.