3.4 Théorème de Mess et successeurs
3.4.3 Structures marquées et espaces de modules
Structures marquées et équivalences
SoitΣune surface de genreget soitSune partiefinie de cardinals≥0 telle que 2g−2+s>0.
Σ∗∶=Σ∖S peut être munie d’une métrique hyperbolique d’airefinie etΣadmet alors une unique
(SO0(1,2),H2,H2
0)-structure. C’est un exemple deH2-surface marquée.
Définition 3.4.15 (X-surface marquée). Soit (G, X) une structure analytique telle que X est une surface topologique et soient Σune surface etS une partiefinie.
Une X-surface (Σ, S)-marquée est un triplet (Σ1,F1, h1) tel que (Σ1,F1) est une X-surface singulière,h1 est un homéomorphisme Σ→Σ1 tel queSing(Σ1))⊂h1(S).
Exemple 3.4.16. Quelques exemples de surfaces marquées.
• Une H2-structure singulière à singularités coniques et pointes sur une surface de genre 2. • Une E2-surface à singularités coniques sur la sphère.
Plus généralement nous aurons besoin d’une notion de X-variété marquée pour définir des espaces de modules lorentziens.
Définition 3.4.17 (X-variété marquée). Soit (G, X) une structure analytique et soient M un espace topologique séparé à base dénombrable et Δ une partie de complémentaire dense et semi-localement connexe.
Une X-variété (M,Δ)-marquée est un triplet(M1,F1, h1)tel que(M1,F1)est une X-variété singulière eth1 est un homéomorphismeM →M1 tel queSing(M1)⊂h1(Δ).
Définition 3.4.18 (XA-variété marquée). Soit(G, X, XA)une structure analytique singulière et soient M un espace topologique séparé à base dénombrable et Δ une partie de complémentaire dense et semi-localement connexe.
UneXA-variété(M,Δ)-marquée est un triplet(M1,F1, h1)tel que(M1,F1)est uneX-variété singulière eth1 est un homéomorphismeM →M1 tel queSing(M1)⊂h1(Δ).
Définition 3.4.19 (Équivalence de structures marquées). Soit (G, X) une structure analytique telle et soientM un espace topologique séparé à base dénombrable etΔune partie de complémen-taire dense et semi-localement connexe. Un tel couple(M,Δ)est appelé un marquage.
Deux X-variétés (M,Δ)-marquée (M1,F1, h1)et (M2,F2, h2)sont équivalentes s’il existe un (G, X)-isomorphisme p.pφ∶M1→M2 tel queh−1
2 ○φ○h1est un homéomorphisme deM homotope à l’identité induisant une bijectionΔ→Δet dont la restriction àΔ est homotope à l’identité.
(M1,F1, h1)∼(M2,F2, h2) ⇔ (M1,F1) ∃ϕ � � (M,Δ) h1 � � h2 � � (M2,F2)
Chapitre 3. Généralisations de théorèmes classiques aux espaces-temps plats singuliers, un détour par les espaces-temps topologiques
Exemple 3.4.20. Soit Σ1 la E2-surface singulière obtenue en collant les bords opposés d’un octogone régulier deE2; on noteF sonE2-brouillard naturel. C’est une surface de genre 2 admet-tant une unique singularité conique p. On peut voir cette surface comme marquée par elle-même (Σ1,{p}) avec h1 l’identité sur Σ1. Si φ∶Σ1→Σ1 est un homéomorphisme homotope à l’identité envoyantpsur p, alors φdéfini une équivalence entre(Σ1,F1, h1)et(Σ1,φ∗F,φ
1○h1). Espace de Teichmüller
Le premier espace de module que nous définissons est l’espace de Teichmüller. Historiquement, cet espace est défini comme l’espace des structures conformes c’est-à-dire des C-structures mar-quées. Cependant dans notre contexte, il est plus naturel de le considérer comme l’espace des
H2-structures marquées.
Définition 3.4.21. SoitΣune surface de genregetS⊂Σune partie deΣde cardinals. On note
Teichg,s l’ensemble des classes d’équivalence de H20-surfaces (Σ, S)-marquées (Σ1,F1, h1) telles queSing(Σ) =h1(S).
Soit (Σ, S) un marquage avec #S = s, on note Σ∗ ∶= Σ∖S et Γ ∶= π1(Σ∗); chaque point
[Σ1] de Teichg,s est donc une classe de H20-variété et à ce titre, tout représentant admet une application développante et une holonomieρ∶π1(Reg(Σ1))→SO0(1,2)bien définie à conjugaison près. Quitte à composer parω1 ∶= (h1∣Σ∗)∗ ∶ Γ→ π1(Reg(Σ1)), on peut voir l’holonomie de Σ1
comme un élément de
[ρ○ω]∈Hom(π1(Γ,SO0(1,2))/SO0(1,2)
Il est aisé de vérifier que deux représentants d’une même classe induisent la même représentation d’holonomie :
(Σ1,F1, h1)∼(Σ2,F2, h2)⇒[ρ1○ω1] = [ρ2○ω1].
Une propriété plus forte est en vérité satisfaite, si l’on dote le groupe fondamental de Σ∗ d’une famille génératrice de lacetsγ1,⋯,γn , l’image de cesγk parh1donne alors une famille de généra-teurs deπ1(Reg(Σ1)); de plus, siϕ∶Σ1→Σ2 est une équivalence deH2-surface (Σ, S)-marquée alors h−1
2 ○ϕ○h1 induit un automorphisme de π1(Σ∗) envoyant[γk] sur lui-même. Ainsi, si on notẽΓle groupe fondamental de Σ∗ muni d’une famille génératrice,
[ρ1○ω1]∈Hom(̃Γ,SO0(1,2))/SO0(1,2)
est unereprésentation marquée qui ne dépend que de la classe d’équivalence deΣ1.
Si Σest une surface fermée de genreg, le groupe fondamental deΣ∗ admet une présentation de la forme �a1, b1,⋯, ag, bg, c1,⋯, cs���������� � g � i=1 [ai, bi] s � j=1 cj=1�.
oùc1,⋯, cs sont des lacets simples autours des points deS. On définit alors l’application d’holo-nomie.
Définition 3.4.22. Soit(Σ, S)un marquage avecΣ une surface fermée, on définit l’application d’holonomie
Hol∶ Teichg,s �→ Hom(̃Γ,SO0(1,2))/SO0(1,2) [(Σ1,F1, h1] �→ [ρ○ω]
où̃Γest le groupe fondamental de Σ∗ muni d’une présentation �a1, b1,⋯, ag, bg, c1,⋯, cs���������� � g � i=1 [ai, bi] s � j=1 cj=1�.
Il y a deux ambiguïtés, l’une provenant du choix du marquage (Σ, S) et l’autre provenant du choix d’une présentation de Γ. Elles se lèvent toutes deux de la même manière. Pour deux tels jeux de générateurs(ai, bj, cj)i∈⟦1,g⟧;j∈⟦1,s⟧du groupe fondamentalΓd’un marquage (Σ, S)et
3.4. Théorème de Mess et successeurs
(a′
i, b′
j, c′
j)i∈⟦1,g⟧;j∈⟦1,s⟧ du groupe fondamentalΓ′d’un marquage(Σ′, S′), il existe un homéomor-phismeh∶Σ→Σ′envoyantS surS′tel queh∣Σ′∗
∣Σ∗ envoieaisura′
i,bi surb′
ietcj surc′
j. Cet homéo-morphisme induit une équivalence de catégorie de la catégorie des H20-surfaces (Σ, S)-marquées vers la catégorie desH20-surfaces(Σ′, S′)-marquées en associant(Σ1,F1, h1○h)à(Σ1,F1, h1). On obtient donc une bijection « naturelle »
[h]∶Teichg,s(Σ, S)→Teichg,s(Σ′, S′)
On obtient également un morphisme de groupes marqués h∗ ∶ ̃Γ → ̃Γ′. On vérifie aisément que Hol○[h] = h∗○Hol, l’application d’holonomie ne dépend donc essentiellement ni du choix du marquage(Σ, S)du moment qu’il sont « isomorphes » ni du choix d’une telle présentation deΓ; l’ambiguïté est levée.
L’image de Hol est connue, on sait d’une part que l’holonomie d’une surface hyperbolique complète estfidèle et discrète, d’autre part si la surface est de volumefinie, la classification des groupes fuchsiens permet de montrer que l’holonomie est de plus admissible.
Définition 3.4.23 (Représentation linéaires admissibles). Soit ̃Γ =�a1, b1,⋯, ag, bg, c1,⋯, cs�∏g
i=1[ai, bi]∏s
j=1cj=1� un groupe de surface marqué. Une re-présentation marquéeρ∶Γ→SO0(1,2)est admissible si
• ρestfidèle et discrète ;
• pour toutj∈{1,⋯, s},ρ(cj)est parabolique ;
• pour touti∈{1,⋯, g},ρ(ai)etρ(bi)sont hyperboliques.
Remarque 3.4.24. On remarque qu’une représentation marquée est admissible si et seulement si son image est un réseau deSO0(1,2).
Fibré tangent de Teichmüller
Nous donnons à présent une description du fibré tangent de l’espace de Teichmüller Teichg,s
en suivant Goldman [Gol84] ; on se donne(Σ, S)un marquage et̃Γle groupe fondamental marqué deΣ∗. Soit [ρ]∈Teichg,s, l’espace tangent à Hom(Γ,SO0(1,2)) enρ est l’espace desρ-cocycles, i.e. l’espace desτ∶Γ→so(1,2)tels que
∀γ1,γ2,τ(γ1γ2) =τ(γ1) +Ad(ρ(γ1))τ(γ2).
De plus, l’action de SO0(1,2)par conjugaison induit une relation d’équivalence entre les cocycles : deux cocyclesτ1,τ2 sont équivalents s’ils diffèrent d’un cobord, c’est-à-dire s’il existeu∈so(1,2)
tel que
τ1−τ2∶γ↦Ad(ρ(γ))⋅u−u.
Alors, pourρ∶ ̃Γ→SO0(1,2) admissible, l’espace tangentTH2/ρTeichg,s s’identifie naturellement à un sous-espace deH1
Ad○ρ(Γ,so(1,2)).
Prenons j ∈ ⟦1, s⟧ et une famille à 1-paramètre (ρs)s∈R de représentations admissibles avec
ρ0=ρ. L’image ρs(cj) est parabolique pour touts∈ Rdonc il existe une famille à 1-paramètre
(φs) d’éléments de SO0(1,2) telle que pour tout s ∈ R, ρs(cj) = φsρ(cj)φ−1
s . Un calcul simple montre qu’il existeutel que
dρs
ds�
s=0
(cj) =Ad(ρ(cj))u−u
Donc, siτ est un vecteur tangent en[ρ], pour j∈ ⟦1, s⟧,τ(cj)est orthogonal à la ligne de points
fixes de Ad(ρ(cj)); l’orthogonal étant pris pour la forme de Killing de so(1,2). Lorsque s >0,
Γ est un groupe libre et un simple argument dimensionnel permet de conclure que les vecteurs tangents en [ρ] sont exactement les cocycles satisaisant cette propriété à cobord près. Ceci est toujours vrai lorsques=0 [Gol84].
Chapitre 3. Généralisations de théorèmes classiques aux espaces-temps plats singuliers, un détour par les espaces-temps topologiques
Nous avons été un brin mystérieux à propos de so(1,2), comme SO0(1,2) est une R-variété de dimension 3,so(1,2)est unR-espace vectoriel de dimension 3 ; de plus, la forme de Killing est non-dégénérée de signature(1,2). Ainsi,so(1,2)est un avatar de l’espace de MinkowskiE1,2.
De plus, l’action adjointe deφ∈SO0(1,2)surso(1,2)est hyperbolique (resp. parabolique, resp. elliptique) si et seulement si φest hyperbolique (resp. parabolique, resp. elliptique). Un point de
TTeichg,s peut alors être vu comme une représentation marquée ̃Γ→ Isom(E1,2) à conjugaison près.
Définition 3.4.25. En notantL la projection Isom(E1,2)→SO0(1,2). Soit ρ∶ ̃Γ →Isom(E1,2) une représentation marquée ;
• la partie linéaire de ρestρL∶=L○ρ,
• la partie de translation de ρ, estτρ∶=ρ−ρL.
Pour φ∈Isom(E1,2), on écrira également φL=φL etτφ∶=φ−φL.
Définition 3.4.26. Pourφ∈Isom(E1,2),Fix(φ) = {p∈E1,2 ∣φx=x} est lefixateur de φ. Définition 3.4.27. Soitφ∈Isom(E1,2),τφ est tangent si τφ∈Fix(ρ(cj))⊥.
Lefibré tangent de Teichg,sest alors l’ensemble des représentations admissibles au sens suivant.
Définition 3.4.28 (Représentation admissible affine). Soit Γ =�a1, b1,⋯, ag, bg, c1,⋯, cs�∏g
i=1[ai, bi]∏s
j=1cj=1� un groupe de surface marqué. Une re-présentation ρ∶Γ→Isom(E1,2)est admissible si
• ρL est admissible ;
• τρ(cj)est tangent pour tout j.
Proposition 3.4.29. Le fibré tangent de l’espace de TeichmüllerTTeichg,s s’identifie naturelle-ment à l’ensemble des classes de conjugaisons de représentations admissibles marquées dẽΓ dans
Isom(E1,2).
Espaces de module lorentziens
De la même manière que précédemment, on définit les espaces de modules lorentziens.
Définition 3.4.30(Espace de module desE1,2-variétés marquées linéaires). SoientΣune surface fermée de genreg etS une partie deΣde cardinal s>0.
L’espace de module ML
g,s(E1,2) est l’espace des classes d’équivalence de E1,2-variétés (Σ∗×
R,∅)-marquées globalement hyperboliques Cauchy-complètes et Cauchy-maximales dont l’holono-mie est linéaire admissible.
Définition 3.4.31 (Espace de module desE1,2-variétés marquées). SoientΣune surface fermée de genre get S une partie deΣde cardinal s>0.
L’espace de module Mg,s(E1,2) est l’espace des classes d’équivalence de E1,2-variétés (Σ∗×
R,∅)-marquées globalement hyperboliques Cauchy-complètesE1,2-maximales dont l’holonomie est affine admissible.
Définition 3.4.32(Espace de module desE10,2-variétés linéaires marquées). SoientΣune surface fermée de genreg etS une partie deΣde cardinal s>0.
L’espace de moduleML
g,s(E10,2)est l’espace des classes d’équivalence deE10,2-variétés(Σ×R, S×
R)-marquées(M,F, h)globalement hyperboliques Cauchy-compactes Cauchy-maximales telles que
Sing(M) =h(S×R).
Définition 3.4.33 (Espace de module desE10,2-variétés marquées). SoientΣune surface fermée de genre get S une partie deΣde cardinal s>0.
L’espace de moduleMg,s(E10,2)est l’espace des classes d’équivalence deE10,2-variétés(Σ×R, S×
R)-marquées (M,F, h)globalement hyperboliques Cauchy-compactes Cauchy-maximales et telles queSing(M) =h(S×R)..
3.4. Théorème de Mess et successeurs