6.2 Triangulation de Delaunay pondérée et domaine des temps admissibles
6.2.3 Convexité du domaine des temps admissibles
Arrêt de l’algorithme d’inversion
Nous commençons par démontrer que l’algorithme d’inversion s’arrête nécessairement.
Proposition 6.2.19. Soient (Σ1,F1, h1)une E2>0-surface (Σ, S)-marquée, τ∶S→R+ et T0 une triangulation. Soit(Ti)i∈I la suite des triangulations considérées par l’algorithme d’inversion pour
τ et en partant de T0 avec I=⟦0, n⟧ouN.
Alors, la suite de fonction(̃ττ,Ti)i∈I est décroissante strictement c’est-à-dire : • pour touti, j∈I, sii≤j alors ̃ττ,Ti≥ ̃ττ,Tj;
• pour touti, j∈I, sii<j alors il existex∈Σ1 tel que ̃
ττ,Ti(x) >̃ττ,Tj(x).
Chapitre 6. Un théorème d’Alexandrov pour les espaces-temps plats singuliers radiants
Démonstration. Soit i ∈ I tel que i+1 ∈ I. La triangulation Ti+1 est obtenue à partir de la triangulationTien inversion une charnièreQdeTi. On poseι∶Q→Σ1le plongement isométrique naturel deQdansΣ1. On a alors :
• ∀x∈Σ1∖ι(Q), ̃ττ,Ti(x) =̃ττ,Ti+1(x). En effet, pourx∉ι(Q), le triangle contenantxest le même pour Ti et pourTi+1.
• ∀x∈ι(Q), ̃ττ,Ti(x) >̃ττ,Ti+1(x). En effet,̃ττ,Ti(x)et̃ττ,Ti+1(x)sont égales sur les segments
[AB],[BC],[CD] et [DA]mais d’après la propriété 6.2.17, Qest Q-concave et Q′ est Q-convexe, en appliquant le lemme 6.1.15 à des segments géodésiques allant de côté à côté de
[ABCD]on montre que pour toutx∈Q˚,̃ττ,Ti(ι(x)) >̃ττ,Ti+1(ι(x)). L’injectivité est alors immédiate.
En particulier, cette dernière proposition implique que les fonctions̃ττ,Ti sont toutes majorées par la première fonctioñττ,T0.
Lemme 6.2.20. Soienta, b∈R,a<b et soit
f∶ [a, bx] �→�→ −Rx2+αx+β
pour certainsα,β∈Ret telle quef(a)≥0 etg(b)≥0. Alors,
max
[a,b]f ≥(b−4a)2
Démonstration. On pose u∶[a, b]→Rl’unique fonction affine telle que u(a) =f(a)et u(b) =b. Commef(a)etf(b)sont positifs,uest positive. Pour toutx∈[a, b],f(x) =u(x)−(x−a)(x−b), or minx∈[a,b](x−a)(x−b) =−(b−a)2
4 donc max
[a,b]f ≥(b−4a)2.
Proposition 6.2.21. Soit C ∈R∗
+, l’ensemble des triangulationsT de (Σ, S)telles qu’il existe
τ∶S→R+ avec ̃ττ,T ≤C est fini.
Démonstration. Soit (T,A) une triangulation et soit τ ∶ S → R+ tel que ̃ττ,T ≤C. Pour toute arête e∈A, la restriction de ̃ττ,T à e est une fonction de type distance et donc sic∶ [0, L]→e
est une paramétrisation géodésique dee par longueur d’arc, alors ̃ττ,T ○c∶ [0, L]→ R+ est une fonction positive de la formex↦ −x2+αx+β. D’après le lemme 6.2.20,
L2 4 ≤max
[a,b]̃ττ,T ≤C
doncL≤2√
C. Par suite la triangulationT ne comporte que des arêtes de longueur plus petite que 2√
C. Or Σ est compacte, il existe donc seulement un nombre fini d’arêtes géodésiques de longueur bornée allant d’un point deS à un point de S, et donc un nombrefini de triangulations composées uniquement d’arêtes de longueur plus petite que 2√
C.
Proposition 6.2.22. Soit τ ∶ S → R+. Quelque soit la triangulation T0 choisie, l’algorithme d’inversion pourτ partant de T0 s’arrête sur une triangulation T telle que l’une des propriétés suivantes est satisfaite :
6.2. Triangulation de Delaunay pondérée et domaine des temps admissibles
(B) toutes les charnières inversibles de T sont τ-légales et il existe une charnière τ-illégale de
T qui n’est pas inversible.
Démonstration. On note(Ti)i∈I la suite des triangulations considérées par l’algorithme d’inver-sion avecI = ⟦0, n⟧ ouI = N. D’après la proposition 6.2.19, la suite des fonctions (̃ττ,Ti)i∈I est strictement décroissante donc pour touti∈I,
̃
ττ,Ti≤max
Σ1 ̃ττ,T0.
Ainsi, d’après la proposition 6.2.21, il n’existe qu’un nombrefini de triangulationsT satisfaisant cette propriété, la suite(Ti)i∈I est donc à valeur dans un ensemblefini de triangulations. D’après la proposition 6.2.19, la suite(Ti)i∈I est injective. Finalement,Iestfini donc l’algorithme s’arrête. Lorsque l’algorithme s’arrête disons au bout den itérations, la liste des charnières inversibles illégales deTn est vide. L’alternative est alors immédiate.
Convexité dePΣ
Soitτ ∶S→R+. Si l’on suppose que toute charnière immergée dans(Σ, S)non inversible est
τ-légale ; alors, quelque soit la triangulation de départ, l’algorithme d’inversion s’arrête sur une triangulation dont toutes les charnières sont légales. Nous avons donc là une condition suffisante pour que τ ∈ PΣ. L’objectif du reste de cette sous-section est de démontrer que non seulement cette condition est également nécessaire si la surface ne comporte que des angles coniques plus grands que π/2, mais que ces conditions sont des inégalités affines sur RS+ et donc que PΣ est convexe.
Lemme 6.2.23. Soit Q= ([ABCD],[AC]) une charnière non convexe ou convexe mais pas en position générique et soitτ une pondération surQ. S’il existe une fonction distance par morceaux Q-convexe f sur [ABCD]telle quef∣{A,B,C,D}=τ alors ̃τQ,τ est Q-convexe.
Démonstration. Quitte à permuter A et C, on suppose que C est dans l’enveloppe convexe de
[ABCD]. On posegle prolongement distance par morceaux deτ induit par la charnièreQ, ethle prolongement distance deτ∣{A,B,D}au triangle[ABD]. Les deux fonctionsf etgsont définies sur
[ABCD]⊂[ABD]et la fonctionhest définie sur[ABD]. Enfin, remarquons que, par définition,
g=̃τQ,τ.
hest de type distance sur[ABD]etf est de type distance par morceaux Q-convexe surQ. En appliquant le Lemme 6.1.15 sur les arêtes[AB],[AC]et[AD]puis sur des arêtes[xy]⊂[ABCD]
avecx∈[AB] et y∈[AD] on montre quef ≤h. De la même manière, on montre que l’on a les faits suivants pourg
• g est Q-convexe si et seulement sig≤h; • hest Q-concave si et seulement sig≥h.
De plus,g−hétant affine sur les triangles [ACB] et [ACD] et nulle aux trois points distincts
A, Bet D, alorsg−hest négative si et seulement sig(C)−h(C) =0.
Or,g(C) =f(C)et f(C)≤h(C), doncg(C)≤h(C). Ainsi,g≤hetg est Q-convexe. C’est-à-dirẽτQ,τ est Q-convexe.
Proposition 6.2.24. On note C l’ensemble des charnières immergées dans(Σ, S)et on noteC∗ l’ensemble des charnières immergées(Q,ι)inversibles.
Si (Σ, S)ne comporte que des singularités coniques d’angle plus grand queπ/2, on a alors :
PΣ= �
Q∈C∖C∗
(Q∗)−1(R−)
Chapitre 6. Un théorème d’Alexandrov pour les espaces-temps plats singuliers radiants
Par ailleurs, pour tout τ ∈ PΣ, en notant ̃τ l’unique prolongement distance par morceaux Q-convexe deτ on a :
̃
τ=min
T′ ̃τT′,τ
oùT′ parcourt toutes les triangulations deΣ.
Démonstration. Commençons par convenir que siC∖C∗=∅alors l’intersection est RS
+ entier. • Montrons l’inclusion ⊃. Soit τ ∈ ⋂Q∈C∖C∗(Q∗)−1(R−), d’après la remarque 6.2.12,τ est tel
que toute charnière non inversible est τ-légale. Appliquons l’algorithme d’inversion pour τ
en partant d’une triangulation quelconqueT0, d’après la proposition 6.2.22, cet algorithme s’arrête sur une triangulationT. Comme toutes les charnières non-inversibles deT sontτ -légales par hypothèses,T satisfait la propriété(A)de l’alternative donnée par la proposition 6.2.22 et donc toutes les charnières deT sontτ-légales ; ainsi,τ∈PΣ.
• Montrons l’inclusion⊂. Soitτ∈PΣ, il existe une triangulationT dont toutes les charnières sont τ-légales. On se donne une telle triangulation et on notẽτ∶=̃ττ,T. Soit(Q,ι)∈C une charnière non inversible. Comme aucun angle conique de la surface Σn’est plus petit que
π/2, si la charnièreQest dégénérée, elle comporte un angle strictement plus grand queπet est donc non convexe ; par suite, dégénérée ou non,Qn’est pas convexe en position générique. Or̃τ○ιest une fonction distance par morceaux et Q-convexe donc, d’après le lemme 6.2.23,
̃
ττ,Qest Q-convexe. Par suite Qest τ-légale et doncQ∗(τ)∈R−. Finalement,τ∈ ⋂Q∈C∖C∗(Q∗)−1(R−)
Proposition 6.2.25. En notant1 la fonction caractéristique deS, le rayonR+1est dans l’inté-rieur dePΣ.
Démonstration. Premièrement, la cellulation de Delaunay (C,A) est 0-légale donc R+1 ⊂ PΣ. Deuxièmement, chaque cellule de la cellulation de Delaunay est un polygone cocyclique plongé et est maximale en ce sens que siT est une sous-triangulation de la cellulation de Delaunay eteune arête de lacellulationde Delaunay alors la charnière immergée deT d’axeen’est pas 0-critique. Pour toute sous-triangulationT de la cellulaiton de Delaunay et toute arêteede la cellulation de Delaunay, on poseQ∗
T,e la fonctionQ∗ associée à la charnière deT d’axee. On pose alors
U ∶=� T � e Q∗ T,e(R∗ −)
oùT parcourt les sous-triangulations de la cellulation de Delaunay eteparcourt les arêtes de la cellulation de Delaunay. Comme aucune des charnières considérées n’est 0-critique mais qu’elles sont toute 0-légales, R+1 est dans chacun des Q∗
T,e(R∗
−). De plus l’intersection est finie car il n’y qu’un nombrefini de sous-triangulations de la cellulation de Delaunay. AinsiU est un ouvert contenantR+1.
Montrons à présent queU est inclus dansPΣ. Appliquons l’algorithme d’inversion à unτdans
U en partant d’une sous-triangulation de la triangulation de Delaunay. Les conditionsQ∗
e,T(τ) <0 assurent que les arêtesebordant les cellules de la cellulation de Delaunay sont toujoursτ-légales, ainsi l’algorithme d’inversion ne cherche jamais à les inverser et donc ne parcourt que des sous-triangulations de la cellulation de Delaunay. Celles-ci sont en nombre fini, l’algorithme s’arrête donc. D’après la proposition 6.2.22, ou bien l’algorithme s’arrête sur une triangulationτ-Delaunay, ou bien il existe une arête non inversibleτ-illégale. Or les arêtes non inversibles de la cellulation de Delaunay ne sont pas 0-critiques et délimitent une cellule, par construction deU, une telle arête estτ-légale. Cela montre que l’algorithme s’arrête bien sur une triangulation τ-Delaunay et donc queτ∈PΣ
6.2. Triangulation de Delaunay pondérée et domaine des temps admissibles