Cauchy-complétude et extensions BTZ

Nous souhaitons à présent démontrer l’implication(i)⇒(iii)du théorème 20. On se donneM₀

un espace-temps plat singulier sans BTZ globalement hyperbolique complet et Cauchy-maximal. On poseM₁ l’extension BTZ-extension maximale de M₀ et M₂ l’extension de Cauchy maximale deM₁. On suppose M₀⊂M₁⊂M₂ et on prend Σ₀ une surface de Cauchy deM₀. On souhaite donc démontrer.

Proposition 4.2.8. M1 est Cauchy-complet et Cauchy-maximal.

Il y a une difficulté supplémentaire par rapport à l’étape précédente, avant de pouvoir appliquer un lemme de chirurgie, nous avons besoin de démontrer que les lignes BTZ sont complètes dans le futur. En effet, lorsque l’on souhaite prolonger une courbe c ∶= {(τ_c(θ), R,θ) ∶ θ ∈ R/2πZ}

en une surface de Cauchy à l’intérieur du tube de rayonR, si la fonctionτ_c estα-lipschitzienne, notre méthode ne nous permet pas de construire des surfaces incluses avec certitude dans une tranche de tube{(τ,r,θ) ∶ θ∈R/2π,τ∈[τ∗,τ∗_]Z}pourτ∗ arbitrairement proche de max(τ_c). La proposition 4.1.10 donne la complétion future d’un rayon BTZ uniquement pour un espace-temps globalement Cauchy-maximal, c’est vrai par hypothèse dans la preuve(iii)⇒(i), c’est justement ce que l’on cherche à démontrer dans l’étape (i)⇒ (iii). Le lemme suivant nous permettra de surmonter cette difficulté.

Lemme 4.2.9. SoitΔ une composante connexe de Sing₀(M₂). PourR>0, on pose D_R= {τ=

0, r≤R} dansE¹₀^,2.

Pour toutp∈Δ∩(M₁∖M₀), il existeU un voisinage de]p,+∞[tel que

Chapitre 4. Théorie des extensions BTZ

• on a une fonction lisseτΣ₀ ∶D∗

R→R₊ telle que

D(Σ₀∩U) =Graph(τΣ₀) et{τ≤τΣ₀}⊂M₀.

Démonstration. D’après la proposition 4.1.10, la ligneΔest complète dans le futur dansM₂et il existe une carte tubulaire autour de[p,+∞[de rayon constant. Considérons une telle carte de rayon

Rautour de[p,∞[pour un certainp∈Δ∩(M₁∖M₀). On peut supposer quepa pour coordonnée

τ=0, queU = {−τ∗_<τ<τ∗_{, r}≤R}⊂M1 pour un certainτ∗_>0 et queV = {−τ∗_{<τ, r}≤R}⊂M2. Considérons les courbes causales futures géodésiques brisées définies surR∗

+ de la forme

cθ0(s) =� ^{(s/2, s,θ}0) if s≤R

(s/2, R,θ0) if s>R

avecθ0∈R/2πZ. Ces courbes paramétrisent le bord deJ⁺(p)∩V. Ces courbes sont dans la partie régulière de M2 et commencent dans M0. Chaque composante connexe de l’intersection de ces courbes avec M0 est une courbe causale inextensible. Prenons la première composante connexe, elle intersecte Σ₀ exactement une fois. Soit B la composante connexe de p dans la frontière de

J⁺(p)∩V∩M1. Soitb∶R/2πZ→Σ₀∩B la fonctionb∶θ↦(τ(θ), r(θ))qui paramétriseΣ∩B. On remarque queB etΣ₀sont transverses et commeB est laminé par des courbes causales et comme

Σ₀est de type espace, B∩Σ₀est une 1-sous-variété etb est continue et bijective. Par suiteb est un homéomorphisme et la coordonnéersurB∩Σ₀atteint un minimum en un certainR′_>0. Dans le tube{r≤R′_,τ>−τ∗_}, considérons la courbe causale future définie surR∗

+,

cr0,θ0(s) =� ^{(s/2, s,θ}0) if s≤r0

(s/2, r0,θ0) if s>r0

pourr0∈]0, R′_[etθ∈R/2πZ. Le point d’intersection avecΣ₀ne peut être sur l’intervalles∈]0, r0]

car cet intervalle est sur la courbe causalecθ0 et quer0<R′. Donc,Σ₀intersecte toutes les courbes sur l’intervalle s>r0 et la projectionπ∶V →D∗ restreinte à Σ∩V est continue et bijective. On obtient une paramétrisation deΣ₀comme le graphe d’une fonctionτΣ∶(r,θ)↦τΣ₀ dans la carte tubulaire de rayonR′.

Σ₀=Graph(τΣ₀) τΣ₀(r,θ) > 1 2^r>0

Commeπest la projection le long d’une direction de type lumière et commeΣ₀est de type espace,

τΣ₀ est lisse. Enfin, par définition des courbescr0,θ0 la portion de courbe avant l’intersection de

Σ₀est dansM0 et donc on obtient un domaine

{r∈]0, R′_],θ∈R/2πZ,τ∈]−τ∗_,τ

Σ₀(r,θ)]}

inclus dansM₀.

Proposition 4.2.10. M1 est Cauchy-complet et Cauchy-maximal.

Démonstration. La preuve est divisée en 3 étapes. Premièrement, on démontre que les lignes BTZ de M1 sont complètes dans le futur et que les rayons BTZ futurs de M1 sont contenus dans un voisinage tubulaire de rayon constant. Deuxièmement, nous modifions une surface de Cauchy essentiellement lisse de type espaceΣ₀deM0 pour obtenir une surface de Cauchy essentiellement lisse de type espace et complète deM1. Troisièmement, on montre que(M₂∖Sing₀(M₂)est une extension de Cauchy deM₀et nous concluons.

• Étape 1

Considérons une ligne BTZΔin M₂. Considérons T un voisinage tubulaire de rayonR>0 autour de]p,+∞[pour un certainp∈Δ∩(M1∖M0)donné par le lemme 4.2.9 et posonsτΣ₀

4.2. Cauchy-complétude et extension BTZ

la paramétrisation de Σ₀ parD_R et T^′=Reg(T ) = T ∖Δ. Considérons le complémentaire deM0 dans le demi-tubeT^′, retirons son futur àM0et ajoutons le demi-tube pour obtenir

M, c’est-à-dire :

M = T^′∪(M0∖(J⁺(T^′∖M0))).

CommeΣ₀∩T =Graph(τΣ₀)etJ−

T′(Σ₀)⊂M0, alorsJ+(T^′∖M₀)⊂J+(Σ₀)et doncΣ₀⊂M. Soitcune courbe causale future inextensible dansM. On remarque que par construction de

M, la courbecne peut s’échapper deT^′∖M₀. Ainsi, commec est connexe,cse décompose en deux parties consécutives : une partie dansM₀et une partie dansT^′∖M₀.

– Supposons c∩(T′∖M0) ≠ ∅. Comme Σ₀ est de type espace et complète d’après le lemme 4.2.3 lim(r,θ)→0τΣ₀(t,θ) = +∞. Par continuité ; c intersecte Σ₀∩T^′. De plus, une fois dans T′∖M₀, la courbe c reste dans T′∖M₀ donc c∩M₀ est une courbe causale inextensible deM₀ intersectantΣ₀ exactement une fois. Par suite,cintersecte

Σ₀exactement une fois.

– Supposons c∩(T′∖M₀) = ∅. La courbe c est alors dans M₀ et tout prolongement inextensible de c dans M0 intersecte Σ₀ exactement une fois. Un tel prolongement inextensible ne peut quitterJ⁺(T^′∖M0)une fois entré dedans, par suite son intersection avecΣ₀est surc.

On en déduit donc que Σ₀ est une surface de Cauchy de M, que M est une extension de Cauchy d’un voisinage deΣ₀ dansM₀ et donc d’après le Théoreme 13,M est une partie de

M₀. Finalement, M₀ contientT^′et doncM₁ contientT. • Étape 2

Considérons une ligne BTZΔdeM2et un voisinage tubulaireT∆deΔdonné par le lemme 4.2.9 et soitτΣ₀ la parametrisation de Σ₀ dans T∆. D’après la première étape, T∆ est dans

M1 donc d’après la proposition 4.2.1, on peut prolonger Σ₀∩∂T∆ une surface de Cauchy complète essentiellement lisse et de type espace Graph(τ∆) dans T∆ parametrisée par D_R

pour un certainR. Le nombre de ligne BTZ étant dénombrable, on peut choisir des voisinages

T autour de chaque ligne BTZ de telle sorte qu’ils soient disjoints. Cette procédure peut donc être faite simultanément autour de toute les lignes BTZ simultanément. Une discussion causale telle que dans la proposition 4.2.6 montre que la surface

Σ₁∶= (Σ₀∖ �

∆

T∆)∪ �

∆

Graph(τ∆)

une surface de Cauchy deM1 et donc queM1 estCauchy-complet. • Étape 3

Considérons à présent M = (M₂∖Sing₀(M₂)) et c une courbe causale future inextensible dansM. La courbec peut être prolongée en une certaine courbe causale inextensiblec′ de

M₂. D’après le lemme 3.2.4,c′ se décompose en deux parties connexes consécutives :Δ sa partie BTZ puisc0 sa partie non-BTZ. Par définition deM,Δ=c′∖c etc0=c. CommeM₂

est une extension de Cauchy de M₁, la courbe c′ intersecteΣ₁ exactement une fois. D’une part,Σ₁ et Σ₀ coïncide en dehors des tubes T∆. D’autre part, on remarque qu’une courbe causale inextensible dans l’un des T∆ intersecte Σ₀∩T si et seulement si elle intersecte Graph(τ∆). Donc c′ intersecte Σ₀ exactement une fois et donc c intersecteΣ₀ exactement une fois. On en déduit queM est une extension de Cauchy deM0et, par Cauchy-maximalité deM0; on a alorsM =M0. Finalement,M2=M1 etM1est Cauchy-maximal.

Chapitre 4. Théorie des extensions BTZ