Fonctions temps sur un domaine régulier augmenté

SoitGun sous-groupe de Isom(E^1,2)discret et sans torsion et soitΩun domaine régulierG -invariant. On noteΩ̃=Ω̃(G)le domaine régulier augmenté associé à(Ω, G),Sing�₀=Sing�₀(Ω, G)

son lieu singulier et Sing₀ ∶= Sing�/G. Soit M ∶= Ω/G et M ∶= Ω̃/G. Dans cette section, on suppose queM est un espace-temps de type (iv).Le but de cette section est de construire une fonction temps deM.

Tout espace-temps lorentzien admet une fonction temps particulière appelée fonction temps cosmologique, celle-ci sera notre point de départ.

Définition 4.3.7 (Fonction temps cosmologique). SoitM un espace-temps lorentzien, le temps cosmologique de M est l’application qui à un pointxde M associe la longueur (positive possible-ment infinie) de la plus longue géodésique passée partant dex.

Théorème 23([AGH98] théorème 1.2). SoitM un espace-temps lorentzien dont le temps cosmo-logique estfini et tend vers0 en parcourant vers le passé les courbes causales inextensibles. Alors le temps cosmologique est une fonction temps continue.

Corollaire 4.3.8. SoitM un espace-temps plat globalement hyperbolique complet Cauchy-maximal de type (v) futur complet.

Alors, le temps cosmologique est une fonction temps de Cauchycontinue.

Démonstration. Il suffit de remarquer d’une part que le temps cosmologique satisfait les hypothèses du théorème dans ce cas et de remarquer que le temps cosmologique tend vers l’infini lorsque l’on parcourt une courbe causale future inextensible.

Soit alors T∶Ω→R∗

+le relevé de la fonction temps cosmologique deM.

Lemme 4.3.9. La fonction tempsT se prolonge continûment à Ω̃ en ̃

T ∶ ^̃

Ω �→ R₊

p �→ � ^T₀^{(p) if}_if ^p_p^∈_{∈ �}^Ω_Sing

0

Démonstration. Soitp∈ �Sing₀ et soitΠ₁ le plan d’appui lumière deΩen p. Comme Ω/G est de type (iv), Ω est dans le futur d’un certain plan de type espace Π2. Pour tout q ∈ Ω, T(q) est la longueur de la plus longue géodésique causale passée partant deq. Lorsque qtends versp, les segments géodésiques passés partant deq sont piégés dans le domaineJ⁺(Π₁)∩J⁺(Π₂)∩J−_(q)

et convergent donc uniformément (pour la métrique euclidienne usuelle deR³) vers un segment géodésique lumière.

4.3. Extension BTZ explicite des espaces-temps plats Cauchy-complets

Problème. T̃ est croissante pour l’ordre causal de Ω̃ mais pas strictement croissante sur les droites BTZ.T̃n’est donc pas une fonction temps.

La solution à ce problème est suggérée par l’étude des passés/futurs continûment atteignables autours des singularités BTZ. En effet, celle-ci sont fortement tarentines dans le futur mais pas dans le passé :K+=I+ mais pourppoint BTZ,K−_{(p) =J}−_(p)∖{p}. Il faut donc « ajouter du poids » aux lignes BTZ.

Définition 4.3.10 (Fonction temps cosmologique tordue). Soit une mesure G-invariante α sup-portée parSing�₀ et un nombre réel a∈R, On pose :

Tα,a∶ ^{Ω̃ �→ R∗}+∪{+∞}

p �→ α(J−_{(p)) +a}T̃(p)

Pour une mesureαG-invariante,T_α,aestG-invariante et induit une fonction surM. De plus si

αest absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue surSing�₀etT_α,a< +∞alorsT_α,a

est strictement croissante et est donc une fonction temps. Si de plus,α(Δ) = +∞ sur toute ligne BTZ Δ alorsTα,a sera une fonction temps de Cauchy. On pourrait penser à prendre la mesure de Lebesgue sur une ligne BTZ Δ et ensuite sommer ses itérés par G/Stab(Δ), nous obtenons cependant une fonction Tα,a infinie en général. Nous considérons donc des mesures absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue mais coupées en deça d’un point donné de la ligne BTZ support puis nous sommons ses itérés. Les lemmes 4.3.15 et 4.3.12 assurent ce procédé induit une fonctionT_α,a bien définie et finie.

Définition 4.3.11 (Stabilisateur d’une ligne BTZ). SoitΔ une ligne BTZ deE^1,2, on pose G∆

l’ensemble des éléments de GfixantΔ point par point.

G∆∶= �

p∈∆

StabG(p)

Lemme 4.3.12. Soit Δ une droite lumière telle que G∆ ≠{1}. Alors G∆ ne contient que des isométries paraboliques et tout élément deGstabilisantΔ est dansG∆.

Démonstration. Pour commencer, comme Ω/G est type(iv), alors d’après le théorème 14,G et

L(G)sont discrets etL∣G est injective. Une isométrie qui stabiliseΔpoint par point est conjuguée à une isométrie linéairefixant point par point une droite de type lumière. Il est donc conjugué à une isométrie parabolique. Ainsi,G∆est un sous-groupe discret non trivial de⋂p∈∆Stab_Isom(E1,2)(p)≃

R, d’oùG∆est monogène. Soitφ∆un générateur de G∆.

Soitφ∈G∖G∆tel queφ⋅Δ=Δ. SoitP ≤QinΔtel queφP=Q. Quitte à conjuguer par une une translation, on peut supposerP =O l’origine deE1,2 de sorte queφ_LP =P, τ_φ=�→_{P Q et φ}

∆

est linéaire. CommeφΔ=Δ, φL�→_{Δ =}�→_{Δ et donc} �→_{Δ est un espace-propre de type lumière de}

φL. Donc φ est parabolique ou hyperbolique. Le groupe engendré parφL et φ∆ est un sous-groupe discret de SO0(1,2) fixant un point du bord de H², il est donc monogène et on se donne ψ un générateur. Il existep, q∈Ztel queψ^p=φ∆ et ψ^q =φL. Commeφ∆ est parabolique, il en est de même pourψet donc il en va de même pour φL. On aφ^q_∆φ^p=τφ alorsτφ∈G. Comme L○ρest

fidèle etL(τφ) =0 on aτφ=0, alorsφ=φL et doncφ∈G∆.

Corollaire 4.3.13. Soit Δ une ligne BTZ de Ω̃ et soit ψ ∈G. S’il existep∈Δ tel que ψp∈Δ

alors ψ∈G∆.

Démonstration. Soitq∈Δ, ψq=ψ(q−p+p) =ψ_L(q−p) +ψp. Commeψpet ψqsont dansSing�₀, ou bienψp−ψqest de type espace ou bienp, q appartiennent à la même composante connexe de Sing₀. Le premier est impossible carq−pest de type lumière, doncψq∈Δet doncψstabiliseΔ;

finalement d’après le lemme 4.3.12,ψ∈G∆.

Lemme 4.3.14. SoitΔ une ligne BTZ deΩ̃. Pour toutp∈Δ, il existeλ>0 tel que ∀q∈ ̃Ω, #(Gp∩J−_(q))≤(1+λT̃(q))2

Chapitre 4. Théorie des extensions BTZ

Démonstration. Soitq∈ ̃Ω, si q∈ �Sing₀ d’après le lemme 4.3.12, #(Gp∩J−_(q))≤1.

Soitp∈Δ, soitp∗⁼inf(Δ)et soit u=p−p∗. Le vecteur uest futur de type lumière vecteur et Δ = p∗⁺R∗

+u. Pour v de type lumière, posons hv =J⁺(v)∩H². L’ensemble {htv ∶ t >0} est exactement l’ensemble des horocycles centrés en v. Comme L(G)est discret, H²/L(G) est une

H²-variété complète et il existe un horocycle plongé autour de la pointe associée à u. Soit λ>0 tel queh_λu est plongé. Soit�→_{n le vecteur unitaire futur de type temps. Soitφ∈G}

φp∈J−_(q) ⇔ φp∗⁺φLu∈J−_(q)

⇔ φLu∈J−_(q−φp∗⁾

⇒ �⟨φ_Lu∣�→n⟩� ≤ �⟨q−φp∗∣�→n⟩� ⇒ �⟨φ_Lu∣�→n⟩� ≤T(q)

D’une part, pour v de type lumière, la projection stéréographique de H² sur le disque de Poincaré le long de �→_n⊥ envoie un horocycle J⁺(v)∩H² sur un cercle euclidien de rayon (1+ ∣⟨v∣�→n⟩∣)⁻1. D’autre part, les horocyclesh_λφLusont disjoints pourφ_L∈L(G)/L(G∆). Siφp∈J−_(q), alors le rayon de h_λφLu est plus grand que (1+λT(q))⁻1. Comme l’aire totale de l’union des horoboules disjointes est plus petite queπ, il existe au plus(1+λT(q))2 tels φ_L∈L(G)/L(G∆). CommeΩ/Gest type(iv), alorsL∣G est injective et le résultat s’ensuit.

Corollaire 4.3.15. Soitφ∈Gparabolique. Alors pour tout p∈Δ_φ, Gp est discret. Proposition 4.3.16. Il existe a mesureαSing�₀ telle que pour touta∈R∗

+, • T_α,a estC1 surΩetC0 sur Ω̃;

• Tα,a estG-invariant.

• Tα,a est une fonction temps de Cauchy surΩ̃

Démonstration. Choisissons un ensemble de représentants (Δ_i)i∈I des G-orbites de Sing�₀. L’en-sembleI est dénombrable on peut donc supposerI⊂Net pour chaquei∈I, choisissons une suite décroissante (p⁽nⁱ⁾)n∈N ∈ ΔN

i telle que limn→+∞p⁽nⁱ⁾ = min(Δ_i). Soit N(i, n) le nombre de triplet

(j, k,ψ) avecj ≤i et k≤ n et ψ ∈ G/G∆_j tels que ψp⁽_k^j) ∈ J−_(p

n). On peut choisir une famille

(ϕ⁽nⁱ⁾)n∈N,i∈I telle que pour toutn∈Neti∈I, 1. ϕ⁽nⁱ⁾ estC¹(Δ_i,R₊),

2. ∥ϕ⁽nⁱ⁾∥C0 ≤1 3. limx→+∞ϕ⁽nⁱ⁾(x) =1

4. ∀x∈Δ_i,ϕ⁽nⁱ⁾(x) =0⇔x≤p⁽nⁱ⁾

Choisissons une paramétrisation géodésique de Δ_i pour chaquei∈I, on pose alorsλ_i l’image de la mesure de Lebesgue surR∗

+ par cette paramétrisation. D’après le lemme 4.3.14, pourn∈N

eti∈I, on se donneµ⁽nⁱ⁾≥1 tel que

∀q∈Ω, #�φ∈G/G∆ ∣φp⁽_nⁱ⁾∈J−_(q)� ≤(1+µ⁽_nⁱ⁾T(q))2 Soit α=� i∈I � ψ∈G/G∆i � n∈N ω_n⁽ⁱ⁾ψ#(ϕ⁽_nⁱ⁾λ_i) avec ω⁽_nⁱ⁾= 2⁻i−n λi�J−�p⁽₀ⁱ⁾��µ⁽nⁱ⁾ .

4.3. Extension BTZ explicite des espaces-temps plats Cauchy-complets

Pouri∈I etn∈N, on pose

α⁽_nⁱ⁾∶ ^̃Ωp ^�→�→ ^R+�

ψ∈G/G∆

ϕ⁽_nⁱ⁾λi(J−_(ψp))

La somme est localementfinie doncα⁽_nⁱ⁾ estC0 etfinie. De plus, pour tout q∈ ̃Ω:

�α_n⁽ⁱ⁾�C1(J−(q))≤λ_i�J−�p⁽₀ⁱ⁾�� �1+µ⁽_nⁱ⁾T(q)�2

.

donc, pour toutq∈ ̃Ω:

� i∈I � n∈N �ω_n⁽ⁱ⁾α⁽_nⁱ⁾�C1(J−(q))≤ � i∈I � n∈N 2⁻i−n(1+T(q))2=4(1+T(q))2.

Et donc, la série ∑i∈I∑n∈Nωn⁽ⁱ⁾α⁽nⁱ⁾ est normalement convergente sur tout compact de Ω̃ pour la normeC0.

Il reste à démontrer queTα,a est de Cauchy, c’est-à-dire queTα,a est surjective et strictement croissante sur les courbes futures causales inextensibles. Soitc∶R→ ̃Ωune courbe causale future inextensible, posonsΔ=c∩ �Sing₀ et c0=c∩Ω. Les deux parties Δ etc0 sont connexes etΔ est dans le passé dec0.

• La fonction T est strictement croissante surc0, ainsi T_α,a est croissante surc0. Comme α

est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue surSing�₀,Tα,aest strictement croissante surΔ.

• Quand t → −∞, T̃(c(t)) et α(J−_(c(t))) tendent vers 0 donc Tα,a(c(t)) tend vers −∞. Si

c⁰=∅, alors⋃t>0J−_(c(t)) est la composante connexe deSing�₀ et d’après la condition(iii),

α(J−_(c′_t))tend vers+∞. Sic⁰≠ ∅, alors pourc⁰est a une courbe future causale inextensible deΩet donc limt→+∞T(c(t)) = +∞. Dans tous les cas, limt→+∞T_α,a(c(t)) = +∞.

Finalement,T_α,aest a une fonction temps de Cauchy surΩ̃.