Causalité engendrée et causalité des espaces temps-plats singuliers

3.1 Espaces-temps topologiques et théorème de Geroch

3.1.2 Causalité engendrée et causalité des espaces temps-plats singuliers

Nous souhaitons construire des causalités sur des espaces topologiques munis d’atlas dont les espaces modèles sont des espaces-temps comme c’est par exemple le cas pour lesE¹≥^,0²-variété. Nous avons besoin pour cela de déﬁnitions « techniques » de précausalité et de causalité absolument minimale. L’objectif principal de cette sous-section est la démonstration du théorème 7 permettant de construire une causalité à partir d’une donnée locale. Comme corollaire, nous construisons une causalité sur lesE¹≥^,0²-variétés.

3.1. Espaces-temps topologiques et théorème de Geroch

Causalité engendrée

Définition 3.1.11(Précausalité). SoitM un espace topologique, un faisceau(≤,≪)de couple re-lations binaires transitives est une précausalité s’il satisfait les hypothèses(a)et(b)de la déﬁnition 3.1.1.

Lemme 3.1.12. Soient M un espace topologique et (Ui)i∈I un recouvrement ouvert de M. On suppose :

(A) chacun des Ui est muni d’une précausalité ;

(B) pour touti, j∈I, les restrictions de≪i et≪j (resp. de≤i et≤j) à Ui∩Uj sont égales ; alors il existe une précausalité minimale (≤,≪)prolongeant la famille (≤i,≪i)i∈I, celle-ci est de plus unique.

Démonstration. Pourx∈M etU ouvert deM, on pose 1. I_U⁺^,⁽⁰⁾(x)∶=⋃i∈II_U⁺∩Ui(x);

2. I_U⁺^,⁽ⁿ⁺¹⁾(x)∶=I_U⁺^,⁽ⁿ⁾(x)∪ ⋃i∈II_U⁺∩Ui�I_U⁺^,⁽ⁿ⁾(x)�

3. I_U⁺(x)∶=⋃n∈NI_U⁺^,⁽ⁿ⁾(x)

I∗⁺⁽∗) déﬁnit un faisceau de relations binaires transitives sur M que l’on note ≪. On déﬁnit de mêmeJ+

∗⁽∗)de sorte à obtenir un faisceau de couple de relations binaires transitives(≤,≪)sur

M. La propriété(B)assure que ce faisceau prolonge la famille(Ui,≤i,≪i)i∈I.

Enﬁn, le faisceau est caractérisé par la propriété pour tout U ouvert, p≪U q (resp.p≤U q)

si et seulement s’il existe une suite (p_k)k∈⟦0,n⟧ telle quep₀=p, p_n =q et pour toutk∈ ⟦0, n−1⟧,

(pk, pk+1)∈U2

i et pk≪ipk+1 (resp.pk≤ipk+1) pour un certaini∈I. Il est clair que tout faisceau satisfaisant le(b)de la déﬁnition 3.1.1 et prolongeant la famille(≤i,≪i)i∈I satisfait cette propriété :

(≤,≪)est donc minimal.

Définition 3.1.13. On reprend les notations du lemme 3.1.12,(≤,≪)est la précausalité engendrée par la famille (U_i,≤i,≪i)_i_∈_I.

La notion de précausalité absolument minimale ainsi que les deux lemmes suivants permettent d’assurer que le choix du recouvrement n’a pas d’importance dans les cas que nous considérons. En particulier, nous pourrons considérer des précausalités engendrées par des raﬃnements d’un recouvrement donné.

Définition 3.1.14. SoitM un espace topologique. Une précausalité(≤,≪)sur M est absolument minimale si pour tout recouvrement ouvert(Ui)i∈I, la précausalité engendrée par(Ui,≤Ui,≪Ui)i∈I

est égale à (≤,≪).

Lemme 3.1.15. Soit M un espace topologique et soit (≤,≪)une précausalité sur M. Si (≤,≪) est absolument minimale, alors il en va de même de sa restriction àU pour tout ouvertU de M. Lemme 3.1.16. Soit M un espace topologique et soit (≤,≪) la précausalité engendrée par une famille(Ui,≤i,≪i)i∈I.

Si les précausalités(≤i,≪i)sont absolument minimales, alors(≤,≪)est absolument minimale.

Nous démontrons à présent le résultat principal de cette sous-section.

Théorème 7. Soient M un espace topologique et (Ui)i∈I un recouvrement ouvert de M. On suppose :

(A) chacun des Ui est muni d’une causalité (≤i,≪i)absolument minimale ;

Chapitre 3. Généralisations de théorèmes classiques aux espaces-temps plats singuliers, un détour par les espaces-temps topologiques

alors la précausalité engendrée par la famille(Ui,≤i,≪i)est une causalité absolument minimale. Démonstration. Considérons la précausalité (≪,≤) engendrée par la famille (≤i,≪i)i∈I; celle-ci existe d’après le lemme 3.1.12. D’après le lemme 3.1.16, celle-ci est absolument minimale. Comme

M est à base dénombrable, on peut supposer I dénombrable. Les propriétés (a),(b),(c)et (e)

sont claires au vu de la construction donnée dans le lemme 3.1.12.

Montrons à présent la propriété (d). SoitU un ouvert deM et soitA⊂U, on commence par remarquer que la construction donnée au lemme 3.1.12 donne

J_U⁺(A) = �

i∈I,n∈I

J_U⁺_i(Ai,n)

pour une certaine famille(A_i,n)i∈I,n∈Nde parties deU; en particulier nous avons donc :

J_U⁺(A)⊂ �

i∈I,n∈I

Int�J_U⁺_i(Ai,n)� ∪ �

i∈I,n∈N

∂J_U⁺_i(Ai,n).

Par ailleurs, les(≤i,≪i)étant des causalités, on a pour touti∈I et toute partieB⊂Ui J_U⁺_i(B)⊂

I+ Ui(B), donc : � i∈I,n∈I Int�J+ Ui(A_i,n)� ⊂ � i∈I,n∈N I+ Ui(A_i,n) = � i∈I,n∈N I+ Ui(Ai,n) = I+ U(A).

Soit x ∈ Int(J_U⁺(A)), nous souhaitons montrer que x ∈ I+

U(A). Soit V voisinage de x et soit U

un voisinage dexinclus dans Int(J_U⁺(A)), l’intersection V∩U est un voisinage de xinclus dans Int(J_U⁺(A)). Comme⋃i∈I,n∈N∂J_U⁺_i(A_i,n)est une union dénombrable de fermés d’intérieur vide et commeM est un espace de Baire,⋃i∈I,n∈N∂J_U⁺_i(A_i,n)est d’intérieur vide. Ainsi

U∩V⊄ � i∈I,n∈N ∂J_U⁺_i(Ai,n) donc U∩V∩ � i∈I,n∈N Int�J_U⁺_i(A_i,n)� ≠ ∅

On en déduit donc que

x∈ �

i∈I,n∈N

Int�J+

Ui(Ai,n)�

et doncx∈I_U⁺(A).

Connexité causale par arc et causalité des espaces-temps plats singuliers

Pour commencer, nous avons les deux corollaires immédiats du théorème 7.

Proposition 3.1.17. Soient(G, X)une structure analytique et(M,A)une (G, X)-variété. SiX est un espace-temps topologique de Baire absolument minimal sur lequelGagit par mor-phismes d’espaces-temps topologiques, alors M admet une unique structure d’espace-temps topo-logique telle que pour toute carte (U,V,φ)∈A, φ∶ U → V est un isomorphisme d’espaces-temps topologiques.

Proposition 3.1.18. Soit (G, X, X_A) une structure singulière analytique et soit (M,A) une (G, X, XA)-variété. Si de plus :

3.1. Espaces-temps topologiques et théorème de Geroch

(a) X est un espace-temps topologique de Baire absolument minimal sur lequelGagit par mor-phismes d’espaces-temps topologiques ;

(b) pour tout α∈ A, l’espace modèle Xα est un espace-temps topologique muni d’une causalité absolument minimale prolongeant la causalité naturelle deReg(Xα)donnée par sa structure de (G, X)-variété ;

alors M admet une unique structure d’espace-temps topologique telle que quelque soit la carte (U, Y,V,φ)de A, l’homéomorphismeφ∶U→V est un isomorphisme d’espaces-temps topologiques. Remarque 3.1.19. Sous les hypothèses de la proposition 3.1.18, tout(G, X)-morphisme p.p. est un morphisme d’espaces-temps topologiques.

Nous souhaitons à présent utiliser ces propriétés pour construire une causalité sur les E¹≥^,0² -variétés. Pour ce faire, nous devons démontrer que les causalités sur les espaces modèlesE1,2

κ pour

κ≥0 sont absolument minimales. Nous le démontrons en utilisant la notion de connexité causale par arc.

Définition 3.1.20 (Connexité causale par arc). Soit M un espace-temps topologique, M est causalement connexe par arc si pour tout ouvert U et tout p, q∈ U, les propriétés suivantes sont équivalentes,

(i) p≤U q (resp.p≪U q) ;

(ii) il existe une courbe future causale (resp. future chronale) c∶[0,1]→U telle quec(0) =pet

c(1) =q.

Définition 3.1.21 (Connexité causale par arc locale). SoitM un espace-temps topologique, M

est localement causalement connexe par arc si pour toutx∈M et tout voisinageU de x, il existe un voisinage ouvertV de xinclus dansU tel queV est causalement connexe par arc.

Proposition 3.1.22. Soit M un espace-temps topologique localement causalement connexe par arc. Pour tout recouvrement (Ui)i∈I de M par des ouverts causalement connexes par arc, les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) la causalité de M est la causalité engendrée par la famille (Ui,≤i,≪i)i∈I; (ii) M est causalement connexe par arc.

Démonstration.

• Montrons l’implication(i)⇒(ii).

SoientV un ouvert deM etp, q∈V tels quep<Vq, par la construction de la causalité mini-male deMdonnée dans la preuve de la proposition 7, il existe une suitep₀=p, p₁, p₂,⋯, p_n=q

et une suite (i_k)k∈⟦0,n−1⟧ telles que pour toutk ∈ ⟦0, n−1⟧, p_k, p_k+1 ∈ Uik et p_k <U_ik p_k+1. Comme chacun desU_i_k est causalement connexe par arc, il existe une courbe causale future reliant pk à pk+1 pour tout k ∈ ⟦0, n−1⟧ et donc, par concaténation, une courbe causale future reliantpàq. On traite de la même manière le cas p≪Vq.

• Montrons à présent l’implication(ii)⇒(i).

SoientV un ouvert deM etp, q∈V tels quep<Vq. CommeM est causalement connexe par arc, il existe une courbe causale future c∶[0,1]→V reliantpà q. Une telle courbe future causale est également future causale pour la causalité engendrée par(Ui)i∈I et doncp<Vq

pour la causalité engendrée par(Ui)i∈I. On montre de la même manière que sip≪Vqpour la causalité deM alorsp≪Vqpour la causalité engendrée par(Ui)i∈I. Par minimalité de la causalité engendrée par(Ui,≤Ui,≪Ui)i∈I, ces deux causalités sont égales.

Chapitre 3. Généralisations de théorèmes classiques aux espaces-temps plats singuliers, un détour par les espaces-temps topologiques

Corollaire 3.1.23. SoitM un espace-temps topologique, siM est causalement connexe par arc, alors la causalité deM est absolument minimale.

Corollaire 3.1.24. Pour toutκ≥0, la causalité deE¹_κ^,² est absolument minimale.

Corollaire 3.1.25. TouteE¹≥^,0²-variété est dotée d’une causalité absolument minimale naturelle.

Dans le document Surfaces de Cauchy polyédrales des espaces temps plats singuliers (Page 75-79)