Une singularité conique euclidienne peut être construite en quotientant le plan euclidienE2par un groupefini Gde rotations linéaires. Ce quotient est un espace métrique muni d’une métrique riemannienne en dehors de l’origine qui est un point singulier. L’angle conique est alors 2π/koù
kest l’ordre du groupeG.
Une construction plus générale peut se faire comme suit. SoitE2∞ le revêtement universel de
E2∖{O}, il est homéomorphe à R∗
+×R et peut être muni des coordonnées polaire (r,θ) dans laquelle sa métrique riemannienne s’écrit dr2+r2dθ2. Le groupe des isométries de E2∞ est formé des rotationsRω∶= (r,θ)↦(r,θ+ω)et est donc isomorphe àR. Un sous-groupe discretΓest donc monogène, si Γ est engendré par une rotation d’angle α> 0 on note alors Γ=αZ. Le complété métrique deE2
∞/αZ est notéE2
α, le complémentaire deE2
∞/αZdansE2
α est un point notéO. De plus Φ∶ E 2 α �→ R2 (r,θ)∈E2∞/αZ �→ (rcos(2πθ/α), rsin(2πθ/α)) O �→ (0,0)
2.1. Singularités coniques euclidiennes et hyperboliques
est un homéomorphisme. On remarque que pour R>0, l’ensembleCR∶= {(r,θ)∈E2
∞/Γ ∣ r=R}
est le cercle de centre O et de rayonR. Ce cercle a pour périmètreαR et non 2πR comme dans le plan euclidien usuelE2. Nous l’interprétons en disant que l’angle autour du point singulier O
vautα.
Le nom de ces singularités vient du fait qu’un cône C de révolution dans l’espace euclidien de dimension 3E3 est isométrique à E2
α pour un certainα∈]0,2π]. De manière plus générale, si
γ∶R/Z→S2 est une courbe de Jordan de classe C1 sur la sphère S2 de rayon 1 dans E3 et C le cône{rγ(θ)∶r∈R+,θ∈R/Z},Cest isométrique àE2
αavec la longueur de la courbeγ. De plus, la longueur d’une courbe de Jordan convexe surS2 est au plus 2π donc un cône convexe deE3 est isométrique àE2α pour un certainα∈]0,2π].
2.1.1 (SO(2),S1)-variétés et RP1-variétés
Il est clair que (SO(2),S1)et (R,R)sont des structures analytiques. Nous remarquons égale-ment qu’une (SO(2),S1)-variété admet une (R,R)-structure naturelle et que les (R,R) variétés compactes sont caractérisées à isomorphisme près par leur longueur c’est-à-dire leur volume.
Un résultat classique montre que l’action de PSL2R surRP1 est exactement 3-transitive, en particulier(PSL2R,RP1)est une structure analytique.
Corollaire 2.1.1. Pour p∈RP1,(Stab(p),RP1∖{p})est une structure analytique. Corollaire 2.1.2. (SO(2),RP1)est une structure analytique.
Proposition 2.1.3. Soitp∈RP1, la structure analytique (Stab(p),RP1∖{p})est équivalente à la structure analytique(Aff+(R),R).
Démonstration. Prenonsp= [1; 0]∈RP1, la partieRP1∖{p} est paramétré par la carte affine
φ∶ RP1∖[x{; 1p}] �→�→ Rx
le stabilisateur depest
Stab(p) =�Aλ,µ∶=�λ0 λµ−1� , (λ, µ)∈R∗
+×R�
et le groupe des transformations affines directe deRest
Aff+(R) = {τλ,µ∶x↦λx+µ , (λ, µ)∈R∗
+×R}.
En posant
ρ∶ StabA(p) �→ Aff+(R)
λ,µ �→ τλ,µ
ρest un isomorphisme de groupes etφest un homéomorphismeρ-équivariant.
Corollaire 2.1.4. Pour toutp∈RP1, il existe une(SO(2),S1)-structure surRP1∖{p} telle que
Stab(p) agit sur RP1∖{p} par isométries et dilatations (c’est-à-dire par similitudes). De plus, cette(SO(2),S1)-structure est unique à un facteur d’échelle près.
Lemme 2.1.5. Il existe une (SO(2),S1)-structure sur RP1 telle que SO(2) agit sur RP1 par isométries. De plus, cette(SO(2),S1)-structure est unique à un facteur d’échelle près.
Démonstration. L’application
Chapitre 2. Espaces modèles
est SO(2)-équivariante et donc on peut choisir la(SO(2),S1)-structure tirée en arrière parφ. De plus, si on muniRP1 d’une(R,S1)-structure SO(2)-invariante et soitA l’atlas maximal associé. Soit(U,ψ)une carte de A, la carte (RU,ψ○R−1)est également dans A, par suite il existe une rotationR′∈SO(2)telle queψ∣U∩RU =R′○ψ∣U∩R−1U○R−1. Et donc
φ○ψ∣U∩RU○φ−1=R′○φ○ψ∣U∩R−1U○φ−1○R−1
De telles fonctions continuesφ○ψ○φ−1sont de la formeeiθ↦eiλθ+µ. Le paramètreλne dépend pas de la carte choisie et finalement λ−1φ∶ RP1 → λ−1S1 est un isomorphisme de (SO(2),S1) -variétés.
2.1.2 Voûte céleste dans E2 et H2
Définition 2.1.6 (Suspension euclidienne). SoitC une (SO0(1,2),S1)-variété, la suspension eu-clidienne deC est définie comme
suspE2∶=�susp(C), r2dθ2+dr2� muni de saE2-structure naturelle sur{r>0}.
Proposition 2.1.7(Voûte céleste dansE2). Soitp∈E2, notonsXpla voûte céleste enp,Gple sta-bilisateur depdansIsom(E2)etRP�1 le revêtement double deRP1. Alors(Gp, Xp) = (SO(2),RP�1) et il existe une voisinage de pisomorphe à suspE2(S1).
Démonstration. Le stabilisateur de pest le groupe des rotations de centre pqui est isomorphe à SO(2)et l’ensemble des rayons sortant de pest naturellement le quotient de E2∖{p} le groupe des homothéties de centrep.
Il suffit alors pourfinir de remarquer que l’application
ψ∶ suspE2(S1) �→ E2
(x, r) �→ rx
est un homéomorphisme et une isométrie.
Définition 2.1.8 (Suspension hyperbolique). Soit C une (SO(2),S1)-variété, la suspension hy-perbolique deC est définie comme suit :
suspH2(C)∶=�susp(C),sinh(r)ds2C+dr2�
Définition 2.1.9 (Suspension hyperbolique). SoitC une(Stab(1),RP1∖{1})-variété, la suspen-sion hyperbolique deC est définie comme suit :
suspH2(C)∶=�susp(C),dr2+r2ds2
C
r2log(r)2 � oùds2
C est la métrique riemannienne induite par l’une des(SO(2),S1)-structure naturelle donnée par le lemme 2.1.4.
Remarque 2.1.10. La suspension hyperbolique est bien définie en effet une dilatation deCinduit une isométrie de suspH2(C):
(C,ds2 C) ×λ �� ι � � (C,λds2 C) ι � � suspH2(C,ds2 C) (θ,r)↦(λθ,r λ ) � �suspH2(C,λds2 C)
2.1. Singularités coniques euclidiennes et hyperboliques
En effet, le changement de variable (θ, r) = (λα, uλ)donne :
dr2+r2dθ r2log(r)2 = (duλ)2+u2λd(λα)2 u2λlog(uλ) = u 2(λ−1)du+λ2u2λdα2 u2λλ2log(u)2 = du2+u2dα2 u2log(u)2
Proposition 2.1.11. Voute céleste dansH2 Soitp∈H2, notonsXp la voute céleste enpetGp le stabilisateur depdansSO0(1,2).
• Sip∈H2, alors (Gp, Xp) = (SO(2),S1)et pa un voisinage isométrique à suspH2(S1). • Sip∈∂H2, alors (Gp, Xp) = (Stab(1),RP1∖{p})etpa un voisinage isométrique à
suspH2(RP1∖{p}).
Démonstration. Il suffit de remarquer que les suspension suspH2(RP1∖{p}) et suspH2(S1) sont des surfaces simplement connexes riemanniennes de courbure−1 métriquement complètes.
2.1.3 Variétés singulières
2.1.4 H2
≥0-variétés compacte et extension cuspidale
H2≥0-variétés
La proposition 2.1.11 motive la définition suivante.
Définition 2.1.12 (Singularités hyperboliques). On note D le disque de centre 0 et de rayon 1 dansR2. Pour α≥0, on pose
H2α∶= (D,ds2) avec ds2=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ 4dr 2+�α 2π�2 r2dθ2 (1−r2)2 Si α>0 dr2+r2dθ2 r2log(r)2 Si α=0 Remarque 2.1.13.
• Soit C une (SO(2),S1)-variété compacte de longueurα, la suspension hyperbolique deC est isométrique àH2α.
• Soit p∈RP1 et soitC une(Stab(p),RP1∖{p})-variété compacte, la suspension hyperbolique de C est isométrique àH20.
Définition 2.1.14 (Surface hyperbolique singulière). Une surface hyperbolique singulière est est une(SO0(1,2),H2,H2
≥0)-variétéΣ. Par simplicité, on parlera simplement deH2
≥0-variété. Une surface hyperbolique singulière Σest sans pointe siSing0(Σ) =∅.
Remarque 2.1.15. Une (SO0(1,2),H2,H2≥0)-structure sur une surface Σ est également une (SO0(1,2),H2,H2≥0)-structure.
Il suffit de montrer que∂Σ=∅. Un point du bord deΣest localement modelé sur un horodisque et n’est donc pas localement homéomorphe àR2 auquel cas Σne serait pas une surface.
Chapitre 2. Espaces modèles
Extension cuspidale, modèle jouet des extensions BTZ
Nous introduisons la notion d’extension cuspidale qui est d’une part une compactification naturelle des surfaces hyperboliques complètes de volumefinies et d’autre part un modèle jouet des extensions BTZ que nous introduirons un peu plus loin. Les propositions 2.1.18 et 2.1.19, sans être particulièrement difficiles à démontrer, présentent les mêmes schémas de preuve que leurs équivalents BTZ. Les preuves n’en sont pas présentées en détail, d’une part parce que les arguments sont simples et classiques et, d’autre part, parce qu’elles seraient redondantes avec les preuves des théorèmes sembables portants sur les extensions BTZ.
Définition 2.1.16 (Extension cuspidale). Soit Σ une H2≥0-variété, une extension cuspidale de
Σ est un couple (Σ,ι) où Σ est une H20-variété et ι ∶ Σ → Σ un H2≥0-plongement tels que le complémentaire de l’image deιest inclus dans Sing0(Σ).
Lemme 2.1.17. SoitH un horodisque de H2, soit∂H∩∂H2= {p} et soitγ∈Stab(p). Il existe
R>0 et un homéomorphisme
(H∪{p})/⟨γ⟩ φ
����→U⊂H20
avec U ∶= {r < R} tel que φ(H/⟨γ⟩) ⊂ Reg(H20) et tel que sa restriction à H/⟨γ⟩ est un H2 -morphisme.
De plus, siψ est un autre tel homéomorphisme alors il existeω∈Isom(H2
0)tel queψ=ωφ. admis.
Proposition 2.1.18 (Compactification (I)). SoitΣuneH2-variété complète et de volumefini, il existe une extension cuspidale maximale. De plus, cette extension est unique à isomorphisme près et celle-ci est compacte.
Schéma de preuve. Soit (D,ρ) l’application developpante et l’holonomie de Σ, on pose Λ l’en-semble des points de ∂H2 fixés par une isométrie parabolique de Γ ∶= ρ(π1Σ). On pose Σ ∶= (Λ∪H2)/ρet π∶Λ∪H2→Σla projection naturelle. CommeΣest de volumefini,Σest de type
fini,Γest un réseau de SO0(1,2), chaque orbite deΛcorrespond à un lacet simple périphérique de
Σdont l’holonomie est parabolique, et il existe un choix d’horodisque(H[γ])γ pour chacun de ces lacet tel queωH[γ]∩H[γ′]≠ ∅ ⇒γ′=γω. Par suite, le quotient (H2∪Λ)/Γest séparé et chaque pointp∈Λ fixé par un certain γ∈Γ parabolique, H[γ]/⟨γ⟩ ⊂Σest un est un voisinage deπ(p). Or H[γ]/⟨γ⟩ est isométrique à un ouvert deH2
0. On se donne alors unH2-atlasAde H2/Γ et on construit un atlasBdeΣen ajoutant àAles cartes(H[γ],φγ)γ oùγest l’homéomorphisme donné par le lemme 2.1.17. La deuxième partie du lemme 2.1.17 assure que l’atlasB est unH2≥0-atlas et donc(Σ,B)est uneH20-variété. Enfin, π○D estπ1Σ-invariant et donc induit unH2≥0-morphisme injectifι∶Σ→Σ.
Pour démontrer l’unicité, il suffit de remarquer que le développement d’une telle surface Σest toujoursH2∪Λtel que précédemment.
Proposition 2.1.19 (Compactification (II)). SoitΣ une H2 ≥0-variété complète et de volume
fini, il existe une extension cuspidale maximale. De plus, cette extension est unique à isomorphisme près et celle-ci est compacte.
Schéma de preuve. On considère la famille des plongements (Σi,ιi)i∈I où Σi est uneH2
≥0-variété complète et de volumefinie etιiunH2
≥0-plongement dont le complémentaire de l’image ne contient que des pointes. On montre que deux tels extensions deΣpeuvent être collées de sorte à construire une extension commune, on montre ainsi que la famille estfiltrante à droite. Puis sur considère la limite inductive de cette famille, celle-ci sera la variété recherchée et sera unique par construction.