6.2 Triangulation de Delaunay pondérée et domaine des temps admissibles
6.2.4 Compacité transverse du domaine des temps admissibles
La compacité transverse du domaine PΣ repose sur l’existence de contraintes affinesQ∗ ≥0 de la formeτA−τC≤ε(τA+τB+τC+τD) +Kavecε>0 arbitrairement petit etA, C quelconques dansS. Ces relations sont données par des charnières de type (x, L), voir la définition 6.2.26 et le lemme 6.2.27. Il nous faut alors construire suffisamment de telles charnières immergées dans
(Σ, S), c’est l’objet du lemme 6.2.28.
Définition 6.2.26 (Charnière de type(x, L)). Pourx, L>0, une charnière([ABCD],[AC]) de
E2est dite de type(x, L)si elle non inversible avecC∈[ABD]et sid(B,(AC))≤x,d(D,(AC))≤
x,AB>Let AD>L.
Lemme 6.2.27. Soientl>0 etx>0. Pour toute charnièreQ, on pose
Q∗∶τ↦α(Q)τA+β(Q)τB+γ(Q)τC+δ(Q)τD+K
la forme affine associée àQ.
Alors, existe une fonction positive f ∶Q↦f(Q)∈R∗
+ telle que pour toute suite de charnières (Qn)n∈N telle que pour toutn∈N,Qn est de type(x, n)et dont la longueur de l’axe estl on ait :
lim n→+∞ α(Qn) f(Qn) =−1 lim n→+∞ β(Qn) f(Qn)=0 lim n→+∞ γ(Qn) f(Qn)=1 lim n→+∞ δ(Qn) f(Qn)=0
Démonstration. SoitL>0, on se donne une charnièreQ= ([ABCD],[AC])de type(x, L)telle que
AC=l. Quitte à appliquer une isométrie deE2, on peut supposer la charnière dans la configuration
A=Ol’origine deE2,C= (0, l),xB>0 etxD<0.
Le critère (v) de Q-convexité de la proposition 6.2.4 donne alors :
β(Q) = l ∣xB∣ α(Q) = l−yB ∣xB∣ + l−yD ∣xD∣ δ(Q) = l ∣xD∣ γ(Q) = yB ∣xB∣+ yD ∣xD∣
On pose f(Q) =γ(Q) de sorte que γ(Q)/f(Q) =1 et f(Q) >0 car yB >0 et yD > 0. On a
∣xB∣ ≤x,∣xD∣ ≤x, yB≥√L2−x2et yD≥√L2−x2; donc −1≤αf((QQ))≤ −1+√ l L2−x2 0≤β(Q) f(Q)≤ √ l L2−x2 0≤ δ(Q) f(Q) ≤√ l L2−x2 D’où le résultat.
Lemme 6.2.28. Soiteun segment géodésique non trivial de(Σ, S)allant d’un pointP1∈S à un point P2∈S.
Il existe une constante x0 > 0 telle que pour tout L > 0, il existe une charnière immergée
Q= ([ABCD],[AC],ι)de type(x0, L)avec ι(A) =P1 etι(C) =P2.
Démonstration. La fonctionΣ→R+, x↦d(x, S)est 1-lipschitzienne donc bornée, on noteM son maximum surΣ. On note également mla plus petite distance séparant deux points distincts de
S.
On commence par construire des immersions de secteurs angulaires arbitrairement longs dans
Σ. On note�→u le vecteur tangent au segment géodésiqueeenP1etαl’angle conique enP1. Pour
θ ∈ [0,α/2[, considérons cθ l’unique rayon géodésique tel que cθ(0) = P1, ∥c′
Chapitre 6. Un théorème d’Alexandrov pour les espaces-temps plats singuliers radiants
entrec′
θ(0)et�→u est θ. Sicθ ne rencontre jamais de point marqué alors il est défini sur R+, sinon il est défini sur un intervalle[0, sθ]. La géodésiquec0est bien définie pours∈[0, s0]avecs0=l(e)
la longueur du segment géodésique e. On peut la prolonger à gauche, c’est-à-dire en suivant le rayon géodésique sortant faisant un angleπavec le rayon géodésique rentrant du côté gauche. On prolonge de cette manière le rayonc0 de sorte à le définir sur[0,+∞[. On poseβ∶=min(α/2,π/6)
et on définit :
Φ∶ (θ, rD) �→�→ Σc
θ(r) avec D∶= {(θ, r)∶θ∈[0,β[, r∈[0, sθ[}.
Le domaine D est une partie de R+× [0,π/6]/∼ et si on le munit de la métrique dr2+r2dθ2, l’application(r,θ)↦(rcos(θ), rsin(θ))est un plongement isométrique deDdansE2. On identifie alorsD à son plongement dansE2. Enfin, pourθ0∈]0,β[, on pose R(θ0) =min{sθ ∶ θ∈]0,θ0]}; ce minimum est bien défini car l’ensemble des points marqués S est discret. On a alors les faits suivants :
• L’applicationΦest une restriction de l’application exponentielle enP1, commeΣ∖S est une surface riemannienne de courbure nulle, c’est donc une immersion isométrique deD dansΣ. • lim
θ→0+R(θ) = +∞.
La fonction θ ↦R(θ)est croissante par définition. Posons L>0 et construisons θ tel que
R(θ)≥L. Considérons une suite définie par récurrence comme suit :
– θ0∈]0,β]tel que sθ0 =R(θ0)et sin(θ0)≤ m
4L;
– θn+1∈]0,θn/2]tel que sθn+1 =R(θn+1);
Prenonsn∈Ntel queR=R(θn) <L, on considère le triangle isocèle de sommetsP1, cθn/2(R)
et cθn(R). La longueur du côté allant decθn/2(R)à cθn(R)est 2 sin(θn/2)R<m/2 ; ainsi d(cθn(R), S) ≤ d(cθn(R), cθn/2(R)) +d(cθn/2(R), cθn/2(sθn/2)) ≤ m/2+sθn/2−R. Donc sθn/2 ≥ d(cθn(R), S) +R−m/2 ≥ m+R−m/2 ≥ R+m/2 et donc R(θn+1) >R(θn) +m/2. Finalement, R(θ[2L/m]+1) >L. • Pour toutθ∈]0,β[,R(θ)≤ 6Mθ .
En effet, le plongement du domaine]0,θ[×[0, R(θ)]deR+×RdansE2est un secteur d’angleθ
et de rayonR(θ)du planE2. Un tel secteur contient un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sontR(θ)cos(θ), R(θ)sin(θ)etR(θ). Le rayonrdu cercle inscrit à un tel triangle s’écrit alors :
r = R(θ)(cos(θ) +sin(θ)−1)
6.2. Triangulation de Delaunay pondérée et domaine des temps admissibles
L’image de Φ ne contient pas de point singulier dans son intérieur donc l’image par Φdu centre du cercle inscrit est éloigné deS d’au moinsret donc M≥r. On en déduit
R(θ)≤ cos( 2M
θ) +sin(θ)−1 et le résultat en montrant l’inégalité
∀θ∈[0,1], cos(θ) +sin(θ)−1≥θ3.
Montrons à présent le lemme à proprement parler, posonsx0=6M et donnons nous unL>0. On note l =l(e)la longueur du segment géodésique e. Soit θ0 > 0 tel que R(θ0) > L; il existe
θ1∈]0,θ0[tel queR∶=sθ1 =R(θ0), soit donc un telθ1∈]0,θ0[. Le domaine{θ∈[0,θ1] r∈[0, R]}
est un secteur angulaire deE2 d’angle θ1 et de rayon R, ce domaine est en particulier convexe. Pourfixer les idées, on pose P′
1∶(0,0)le centre du secteur,E∶(θ, R)etF ∶(0, R); enfin on pose
P′ 2∶(0, l). De cette manière, Φ(P′ 1) =P1 et Φ(P′ 2) =P2. On considère le triangleT = [P′ 1P′ 2E], la
figure suivante résume la situation.
Ce triangleT est tel que P′
1E=R>L, on majore à présent la distance de E à la droite(P′
1P′ 2). On a donc : d(E,(P′ 1P2)) = sin(θ1)R ≤ 6Msin(θ1) θ1 ≤ 6M = x0
Le triangleT muni de son immersionΦdonne alors la moitié d’une charnière de type(x0, L)d’axe
e. En construisant de la même manière un triangle à droite du segmente, on obtient une charnière immergée de type(x0, L)dansΣd’axeeet dont les sommets sont dansS.
Proposition 6.2.29. Si les angles coniques de la surface (Σ, S) sont tous plus grands que π/2
alors il existe une constanteC>0 telle que pour toutA, B∈S et tout τ∈PΣ, ∣τ(A)−τ(B)∣ ≤C.
Démonstration. D’après le corollaire 6.2.6, il suffit de démontrer qu’il existe une constanteC>0 telle que siτ∈PΣest nul en l’un desP ∈S alorsτ≤C.
• D’après les lemmes 6.2.27 et 6.2.28 et d’après la proposition 6.2.24, pour tout ε>0, pour toutA, B∈S, il existeK>0 telle que pour toutτ∈PΣ,
∣τA−τB∣ ≤ε∣τ∣+K
Chapitre 6. Un théorème d’Alexandrov pour les espaces-temps plats singuliers radiants
• Pour toutA, B∈S, on se donneKA,B>0 tel que pour toutτ∈PΣ,
∣τA−τB∣ ≤ 12∣τ∣+KA,B
et on poseK=maxA,B∈SKA,B.
• Soitτ ∈PΣ et soitA∈S, on suppose queτ(A) =0. On se donneB∈S tel queτ(B) =∣τ∣, on a alors :
∣τ∣=∣τ(A)−τ(B)∣ ≤ 12∣τ∣+K
et donc
∣τ∣ ≤2K
Ainsi, en posantC=2K, on a le résultat.
Corollaire 6.2.30. SoitEl’ensemble des triangulationsT telles qu’il existeτ∈PΣde sorte que
T estτ-Delaunay :
E∶= {T ∣ ∃τ∈PΣ, T τ-Delaunay}.
Si les angles coniques de la surface (Σ, S)sont tous plus grands queπ/2 alorsE estfini. Démonstration. On pose
M ∶=max̃τ0,T0
avecT0 une sous-triangulation de la cellulation de Delaunay. Cette constante M ne dépend que de la surfaceΣ.
SoitT ∈Eet prenonsτ∈PΣtel queT estτ-Delaunay. Quitte à appliquer le corollaire 6.2.6, on peut supposer qu’il existe A ∈ S tel que τ(A) = 0. Soit une constante C > 0 donnée par la proposition 6.2.29 de sorte queτ≤C. D’après la proposition 6.2.24, on a :
̃
ττ,T ≤ ̃ττ,T0≤C+̃τ0,T0≤M+C
l’inégalité̃ττ,T0≤C+̃τ0,T0 s’obtenant en remarquant quẽττ,T0− ̃τ0,T0 est une fonction affine par morceau majorée parC surS et donc surΣ. On peut alors appliquer la proposition 6.2.21.
Corollaire 6.2.31. Si les angles coniques de la surface(Σ, S)sont tous plus grands queπ/2alors
PΣ est une polyèdre convexe.
Démonstration. On reprend les notations du corollaire 6.2.30, et pourT ∈Eon poseCT l’ensemble desτ∈PΣtels queT estτ-Delaunay.
• Pour toutT ∈E,CT est le domaine
�
Q
Q∗(R−)
oùQparcourt les charnières deT or celles-ci sont en nombrefini, doncCT est un polyèdre convexe.
• On peut écrirePΣ sous la forme :
PΣ= �
T∈E
CT.
OrE estfini et chacun desCT est un polyèdre, doncPΣest une unionfinie de polyèdre et comme d’après la proposition 6.2.24 c’est un domaine convexe, c’est un polyèdre convexe.