Cette section a pour objet de définir la notion d’ouvert dense semi-localement connexe et d’en obtenir des propriétés. Le résultat le plus important est la localisation de cette propriété : un ouvert « localement » dense et semi-localement connexe est dense et semi-localement connexe.
Définition 1.2.1 (Connexité semi-locale). SoitM un espace topologique, une partieP de M est semi-localement connexe si pour tout ouvert connexe U de M,U∩P est connexe.
Une application continueM →N est semi-localement connexe si son image est semi-localement connexe.
Remarque 1.2.2. Si ouvert U d’un espace topologique M est semi-localement connexe alors il est « localement connexe dansM » suivant la terminologie de Fox [Fox57].
Exemple 1.2.3. • SoitM un espace topologique, on remarque aisément que ∅etM sont des parties semi-localement connexes deM.
• Soit E un espace vectoriel, le complémentaire d’un sous-espace vectoriel fermé de codimen-sion au moins deux est un ouvert semi-localement connexe.
• Le complémentaire deQ2 dansR2 est semi-localement connexe mais n’est pas un ouvert. Lemme 1.2.4. SoitM un espace topologique et soientU etV deux ouverts deM tels queU ⊂V. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) U est dense et semi-localement connexe dansM
(ii) U est dense et semi-localement connexe dans V etV est dense et semi-localement connexe dansM
Démonstration.
• Montrons d’abord(i)⇒(ii)
SupposonsU dense et semi-localement connexe dans M, alorsU est clairement dense dans
V etV est dense dans M. De plus, soitWun ouvert connexe deV, en particulier,W est un ouvert connexe de M. CommeU est semi-localement connexe dansM, U∩W est connexe. AinsiU est dense et semi-localement connexe dansV.
CommeU⊂V etU dense dansM,V est dense dansM. Enfin, pour tout Wouvert connexe deM, on a V∩M ⊃U∩M. SoientW1,W2 deux ouverts deM tels queV∩W = W1⊔W2, alors(W1∩U)⊔(W2∩U) = U∩W. OrU∩W est connexe doncW1∩U =∅ouW2∩U =∅, de plusU est dense dansM doncWi∩U =∅ ⇔Wi=∅. Par suite,W1=∅ouW2=∅, donc
W∩V est connexe. Finalement, V est dense et semi-localement connexe. • Montrons à présent(ii)⇒(i)]
Réciproquement, supposonsV dense et semi-localement connexe dansM. SiU est dense et semi-localement connexe dansV alors pour toutWouvert connexe deM, d’une partW∩V
est connexe et d’autre partU∩W = U∩(W∩V); et commeU est semi-localement connexe dans V, l’intersection U∩(W∩V)est connexe et donc U∩W est connexe. De plus, V est dense dansM et U est dense dansV doncU est dense dansM. Finalement, U est dense et semi-localement connexe dansM.
Lemme 1.2.5. SoitM un espace topologique, les propriétés suivantes sont vérifiées :
(a) toute union non vide d’ouverts denses semi-localement connexes est dense et semi-localement connexe,
1.2.(G, X)-variétés singulières
(b) toute intersectionfinie d’ouverts denses semi-localement connexes est dense et semi-localement connexe.
Démonstration.
(a) Si (Ui)i∈I est une famille non vide d’ouverts denses et semi-localement connexes dans M, alors on se donnei0∈I de sorte queUi0⊂ ⋃i∈IUi. L’union contient ainsi un ouvert dense et semi-localement connexe, le lemme 1.2.4 permet de conclure.
(b) Il suffit de traiter l’intersection de deux ouverts denses semi-localement connexes. Soient U
et V ouverts denses et semi-localement connexes dans M, alors U ∩V est dense dans M. Enfin, pour tout W ouvert connexe de M, comme U est semi-localement connexe, U ∩W
est un ouvert connexe de M et comme V est semi-localement connexe,V∩(U∩W)est un ouvert connexe deM. Par suiteU∩V est semi-localement connexe dansM.
Lemme 1.2.6. SoitM un espace topologique et soit (Ui)i∈I une famille de parties connexes non vides. On pose∼ la relation d’équivalence sur I engendrée par la relation réflexive et symétrique
iRj⇔Ui∩Uj≠ ∅.
Alors l’union desUi est connexe si et seulement si I/∼ est un singleton. Démonstration. On poseU ∶=⋃i∈IUi.
• Supposons que I/∼ est un singleton et donnons nous W1,W2 deux ouverts de U tels que
U = W1⊔W2. Pour touti∈I, commeUi est connexe, ou bienUi⊂W1 ou bienUi⊂W2. On définit alors la relation S sur I telle que i, j ∈ I sont reliés par S si Ui et Uj sont dans le même ouvertWk, k∈{1,2}. C’est à dire :
iSj⇔(Ui∩W1= Uj∩W1=∅ ou Ui∩W2= Uj∩W2=∅).
S est une relation d’équivalence sur I et on a pour tout i, j ∈ I, iRj ⇒ iSj. Par suite
i∼j⇒iSj.
Or I/∼ est un singleton, on a donc ∀i, j∈ I, i∼j et donc ∀i, j ∈I, iSj c’est-à-dire qu’il existek∈{1,2}tel que tous lesUisont dansWk. Cela implique donc queW1=∅ouW2=∅
et donc l’union desUi est connexe.
• Supposons à présentI/∼ n’est pas un singleton, dans ce cas, pourω∈I/∼, on poseWω∶= ⋃i∈ωUi. Montrons que l’union à droite de l’égalité
�
i∈I
Ui= �
ω∈I/∼Wω
est disjointe. Soientω,ω′∈I/∼tels que Wω∩Wω′≠ ∅. Soitp∈Wω∩Wω′, il existei∈ω et
j∈ω′tels quep∈Ui et p∈Uj, donc tels queUi∩Uj≠ ∅, et donc tels quei∼j, c’est-à-dire
ω=ω′.
Aucun desWω n’est vide c’est donc que l’union desUi n’est pas connexe.
Corollaire 1.2.7. SoitM un espace topologique et soient(Ui)i∈I et(Vi)i∈I deux familles de parties connexes non vides deM.
Si ⋃i∈IUi est connexe et si
∀i, j∈I, Ui∩Uj≠ ∅ ⇒Vi∩Vj≠ ∅ alors ⋃i∈IVi est connexe.
Chapitre 1. Introduction aux(G, X)-variétés et(G, X)-variétés singulières
Démonstration. On reprend les notations du lemme 1.2.6. On considère les relations∼U et ∼V sur
Idonnées respectivement par l’union des(Ui)i∈I et l’union des(Vi)i∈I. Comme l’union des(Ui)i∈I
est connexe et aucun desUin’est vide,I/∼U est un singleton. Or∀i, j∈I, Ui∩Uj≠ ∅ ⇒Vi∩Vj≠ ∅
donc∼V est plus grossière que∼U et doncI/∼V est un singleton. Enfin, aucun des Vi n’est vide donc leur union est connexe.
Lemme 1.2.8. Soient M un espace topologique et B une partie de M. S’il existe une partie connexeA⊂B dense dans B alors B est connexe.
Démonstration. Voir par exemple [Dix81] théorème 10.1.7.
Lemme 1.2.9. Soient M un espace topologique et U un ouvert de M. On pose U = �i∈IUi la décomposition deU en composantes connexes.
Si M est localement connexe, alors chacun des Ui est ouvert.
Démonstration. SupposonsM localement connexe. Soienti∈I etx∈Ui. CommeU est un ouvert contenantx, il existeV un voisinage ouvert connexe dexinclus dansU. CommeV est connexe et contientx, V est inclus dans l’un des Ui et doncUi contient un voisinage dex. Par suite,Ui est ouvert.
Lemme 1.2.10. SoientM, N deux espaces topologiques localement connexes,U un ouvert de M
etπ∶M →N une application continue ouverte et surjective.
Si U est dense et semi-localement connexe dans M alors π(U) est dense et semi-localement connexe dansN.
Démonstration. Soit U un ouvert dense et semi-localement connexe dans M et supposons N
localement connexe. Considérons V un ouvert connexe de N et posons W ∶=π−1V = �i∈IWi la décomposition en composantes connexes deW.
W est ouvert car π est continue ; commeM est localement connexe, d’après le lemme 1.2.9, chacun des Wi est ouvert et connexe ; par continuité et ouverture de π, chacun des π(Wi) est ouvert et connexe ; de plusU∩Wiest ouvert, connexe et dense dansWidoncπ(U∩Wi)est ouvert connexe et dense dansπ(Wi). Ainsi pour touti, j∈I,π(Wi)∩π(Wj)est un ouvert et
π(Wi∩U)∩π(Wj∩U)≠ ∅ ⇔π(Wi)∩π(Wj)≠ ∅.
Or⋃i∈Iπ(Wi) = V est connexe, aucun desπ(Wi)n’est vide, aucun desπ(Wi∩U)n’est vide donc, d’après le lemme 1.2.6, � i∈I π(Wi∩U) est connexe. Par ailleurs, V∩π(U) = � i∈I π(Wi)∩π(U) (1.6) ⊃ � i∈I π(Wi∩U). (1.7) AinsiV∩π(U)est un ouvert contenant une partie dense et connexe ;N étant localement connexe, d’après le lemme 1.2.8,W∩π(U)est connexe.
Lemme 1.2.11. SoientM un espace topologique,U et V deux ouverts de M.
Si U est dense et semi-localement connexe dans M, alorsV∩U est dense et semi-localement connexe dansV
1.2.(G, X)-variétés singulières
Démonstration. SupposonsU dense et semi-localement connexe dans M. SoitW un ouvert non vide deV, alorsWest un ouvert non vide deM et par densité deU dansM,U∩W = (U∩V)∩W
est non vide. Soit à présentW un ouvert connexe dansV, c’est un ouvert connexe de M. Or U
est semi-localement connexe dansM doncW∩U = W∩(U∩V)est connexe.
Proposition 1.2.12.SoientM un espace topologique localement connexe,(Ui)i∈Iun recouvrement ouvert de M et soit (Vi)i∈I une famille d’ouverts deM. On poseV∶=⋃i∈IVi.
Si pour tout i∈I, Vi est inclus dans Ui, dense dans Ui et semi-localement connexe dans Ui; alors V est dense et semi-localement connexe dansM,
Démonstration. C’est une conséquence du lemme 1.2.10. En effet, l’application
� i∈I Ui π ���→M =�� i∈I Ui�/∼
est continue surjective et ouverte (avec∼l’identification naturelle deUi etUj surUi∩Uj). Ainsi, d’une partM est localement connexe, d’autre partπ(U)est ouverte et enfin∐i∈IVi est dense et semi-localement connexe dans∐i∈IUi. Le lemme 1.2.10 permet de conclure.
Corollaire 1.2.13. SoientM, N deux espaces topologiques,f∶M →N un homéomorphisme local etU ⊂N un ouvert.
SiM est localement connexe etU est dense et semi-localement connexe dansN, alors f−1(U) est dense et semi-localement connexe dansM.
Démonstration. SupposonsU dense et semi-localement connexe dansN et montrons que f−1(U)
est semi-localement connexe. Considérons un ouvert connexeW deM. Commef est un homéo-morphisme local, il est existe un recouvrement(Vi)i∈I de M tel que pour tout i∈I, f∣Vi soit un homéomorphisme sur son image etf(Vi)est un ouvert de N. CommeU est un ouvert dense et semi-localement connexe deN,U∩f(Vi)est un ouvert dense semi-localement connexe de f(Vi)
et donc(f∣Vi)−1(U∩f(Vi)) =f−1(U)∩Viest un ouvert dense et semi-localement connexe dansVi. La proposition 1.2.12 permet de conclure.