Synthèse des entretiens avec les 4 femmes

A matemática, por excelência, trabalha com objetos abstratos, inacessíveis à percepção. Portanto, para mobilizar um conhecimento matemático, é necessário o recurso de representações, o que é lembrado por Duval (2009):

[...] a passagem do não-consciente ao consciente corresponde a um processo de objetivação para o sujeito que toma consciência. A objetivação corresponde à descoberta pelo próprio sujeito do que até então ele mesmo não supunha, mesmo se outros lhe houvessem explicado. As representações conscientes são aquelas que apresentam este caráter intencional e que completam uma função de objetivação. (DUVAL, 2009, P. 40-41).

Ainda segundo esse autor, “as representações, por sua vez, podem ser externas ou internas. Entenda-se como externo / interno aquilo que, de um indivíduo, de um organismo ou de um sistema, é diretamente visível e observável e aquilo que, ao contrário, não o é.”

Para Duval (2009, p.42) as representações externas são, por natureza, representações semióticas e são acessíveis a todos os sujeitos que aprenderam o sistema semiótico utilizado. Já as representações internas são aquelas que pertencem a um sujeito e que não são comunicadas a outro, pela produção de uma representação externa. Ademais, em matemática

[...] as representações através de símbolos, signos códigos, tabelas, gráficos, algoritmos, desenhos são bastante significativas, pois permitem a comunicação entre os sujeitos e as atividades cognitivas do pensamento, permitindo registros de representação diferentes de um mesmo objeto matemático. (DAMM, 2002, p. 137, grifo nosso).

Essa citação ajuda a entender o que vem a ser a noção de registro, embora não a defina explicitamente. Já Machado (2003, p. 14) chega a classificar os tipos de registro, mas também não define o que vem a ser registro, preferindo designar por “registro” de representação os diferentes tipos de representações semióticas

utilizados em matemática, tais como os sistemas de numeração, as figuras geométricas, as escritas algébricas e formais, as representações gráficas e a língua natural (Ibidem).

Quem apresenta a definição é Almouloud (2007, p.71), citando Duval: “um

registro de representação é um sistema semiótico que tem as funções cognitivas

fundamentais no funcionamento cognitivo consciente.” Porém, como assinala Damm (2002)

O problema é que esta noção é muito geral e também muito difícil. Precisões importantes são necessárias. [...] a mais recente: ela (a

precisão) acentua ao mesmo tempo o caráter semiótico das

representações e a existência de vários registros de representação semiótica. E é esta que se revela o instrumento mais forte para estudar os problemas de aquisição dos conhecimentos matemáticos. (DAMM, 2002, p. 137).

Para podermos ter acesso ao objeto números complexo, necessariamente teremos de lançar mão de representações semióticas, que são formas sob as quais as informações são descritas. Na obra Semiósis e Pensamento Humano (1995), Duval elaborou a denominada Teoria dos Registros de Representação Semiótica, em que, segundo o autor, os registros de representação podem ser, basicamente, de quatro tipos: língua natural, sistemas de escritas, figurais e gráficos, como exemplificado na Figura 1.

Figura 1. Registros de representação semiótica.

Há que se ressaltar a existência de dois tipos de transformações de registros, a saber, as conversões e os tratamentos. E mais, como lembra Damm (2002):

Convém aqui lembrar que as representações semióticas têm dois aspectos, sua forma (ou representante) e seu conteúdo (o representado). A forma muda segundo o sistema semiótico utilizado: existem vários registros de representação para o mesmo objeto,

Registro da língua

natural Registro algébrico Registro trigonométrico Registro gráfico

correspondendo a cada um deles um tipo diferente de tratamento. (DAMM, 2002, p. 141)

O tratamento de uma representação é a transformação da representação em outra equivalente, mas no mesmo registro, ao passo que a conversão é a transformação da representação em outra equivalente, mas em outro registro. Como exemplo de tratamento, podemos apresentar (a bi i )     2 b ai 2. Nesse caso

a representação (a bi i ) 2 foi transformada na representação   b ai 2, isto é,

mudou-se a representação, mas esta permaneceu no mesmo registro: o registro algébrico.

Agora tomemos como exemplo a sentença “dois números complexos cuja distância, um do outro, é de duas unidades”. Pode-se passar desta representação na língua natural para a representação simbólica, se escrevemos z w 2.

Efetuamos então uma conversão, pois a representação em língua natural foi transformada na representação z w 2, isto é, houve uma mudança de

representações, com troca de registros: do registro em língua natural passou-se para o registro algébrico. Podemos ainda, como mostra a Figura 2, passar da representação z w 2 para a representação figural. Tal procedimento caracteriza

uma conversão, já que há uma mudança de registros, a saber, do algébrico para o geométrico.

Figura 2. Exemplo de conversão de registros.

Almouloud (2007, p. 74) aponta que “existem tratamentos que podem se tornar algoritmos (um conjunto de regras operatórias), como aqueles que o ensino da matemática tende a privilegiar [...] eles (os algoritmos) são comuns tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio.”

Duval (apud Damm, 2002, p. 143), chama de semiósis, a apreensão ou a produção de uma representação semiótica e noésis a apreensão conceitual de um objeto. E o autor (Ibidem, p. 144-146) aponta três atividades cognitivas fundamentais ligadas à semiósis: formação de uma representação identificável; o tratamento da representação; a conversão entre representações. Porém, como indicado pela autora:

No ensino de matemática, o problema se estabelece justamente porque só se levam em consideração as atividades cognitivas de formação de representações e os tratamentos necessários em cada representação. No entanto, o que garante a apreensão do objeto matemático, a conceitualização, não é a determinação de representações ou as várias representações possíveis, mas sim a

coordenação entre estes vários registros de representação. (DAMM,

2002, p.147).

A importância da existência da diversidade de registros de representação para o funcionamento do pensamento humano é apontada por Duval (2009, p.44):

[...] não somente a possibilidade de efetuar tratamentos equivalentes a custos menores, desde que efetuemos uma mudança de registros apropriada, mas também para complementar os tratamentos, para ultrapassar os limites inerentes a cada registro no cumprimento de uma atividade complexa. (Ibidem).

O autor indica ainda a existência de problemas específicos às mudanças de registro. Entre esses, destacaremos a possibilidade de não-congruência numa conversão. Por exemplo, a expressão “o conjunto dos pontos cuja ordenada é superior à abscissa” e sua conversão em escritura algébrica y > x. Segundo Duval (2009, p.64), observa-se uma correspondência termo a termo entre as unidades significantes respectivas e é suficiente para efetuar a conversão. Neste caso, a conversão inversa permite reencontrar a expressão inicial do registro de partida.

Seja agora a expressão “o conjunto dos pontos que têm uma abscissa positiva”; sua escrita algébrica será x > 0. O autor assinala que falta, na escritura algébrica, uma unidade significante que corresponda a “positivo”. É preciso recorrer à perífrase “> 0”, combinação de duas unidades significantes para amenizar essa ausência. Duval (2009, p.65) ainda assinala que a dificuldade para efetuar a conversão da expressão “o conjunto dos pontos que têm abscissa e ordenada de mesmo sinal” para “xy > 0” é ainda maior, pois aqui não existe mais correspondência termo a termo entre as unidades significantes respectivas das duas expressões;

torna-se necessária uma reorganização da expressão dada no registro de partida para se obter a expressão correspondente no registro de chegada. Além disso:

a perífrase “ > 0” traduz tanto “de mesmo sinal” quanto “positivo”. A conversão inversa não permite reencontrar a expressão inicial: “xy > 0” traduz-se naturalmente por “o produto da abscissa e da ordenada é superior a 0 (é positivo)” e não por “o conjunto dos pontos que têm abscissa e ordenada de mesmo sinal”. (DUVAL, 2009, p. 65)

Apesar dessas dificuldades, o autor assinala que recorre-se à atividade cognitiva de conversão das representações como a uma atividade natural adquirida, por todos os alunos; atividade sobre a qual as aprendizagens de tratamentos e as aprendizagens conceituais poderiam se apoiar.

Como assinala Damm (2002):

A apreensão conceitual dos objetos matemáticos somente será possível com a coordenação, pelo sujeito que apreende, de vários registros de representação. Ou seja, quanto maior for a mobilidade com registros de representação diferentes do mesmo objeto matemático, maior será a possibilidade de apreensão deste objeto. (DAMM, 2002, p. 144).

Forma algébrica, pares ordenados, forma trigonométrica e forma matricial são algumas possíveis representações para os números complexos. No entanto, em nossos estudos, constatamos que a representação gráfica de um número complexo, como um vetor, é pouco explorada e, por vezes, sequer é apresentada nos livros didáticos, a não ser de forma apenas introdutória, quando se pretende falar da forma trigonométrica dos complexos. Dentre os registros de representação semiótica, consideramos os registros gráficos como parte indissociável e essencial para compreensão dos números complexos. São esses registros gráficos e suas conversões que pretendemos explorar na sequência didática que aplicaremos.