Plusieurs manuels comportent un «point d'histoire » de longueur variable (de un court paragraphe à une page) ; tous prévoient des activités d'introduction de la notion de limite ; cependant le Terracher traite les exemples issus de l'histoire dans les exercices et problèmes, dans certains chapitres : il n'en figure pas dans le chapitre sur les limites. Les manuels traitent tous le cas des fonctions avant les suites ; celles-ci sont considérées comme un cas particulier des fonctions pour ce qui est des limites, et comme relevant de techniques de calcul spécifiques pour ce qui est des calculs sur les suites arithmétiques et géométriques.
38 Pour une analyse générale des programmes d'analyse de 1985, voir Artigue (1993).
Le cours proprement dit est réduit ; il est suivi et/ou précédé de tests, QCM, ou exercices résolus, puis de travaux pratiques, ou modules ; enfin d'exercices et/ou de problèmes.
Tableau 3. 1:
Manuel Histoire Activités introductives Test/QCM préalable Cours TD,TP, modules Test, point méthode Exercices Problèmes MA 91 x* x • x x x x TR 91 • x • x • x** x TE 95 • x • x x x*** x DS 95 • x x x x x x FR 95 x x • x x x** x BE 95 x x • x x x** x
Légende : x lorsque le contenu est présent, • lorsqu'il est absent.
* : dans le Magnard, on trouve une «étude historique » de 10 pages, avec problèmes de recherche pour les élèves, en début de manuel.
** : sous forme d'exercices résolus. *** : sous forme de vrai/faux.
Par rapport à la génération précédente des manuels (celle des années 80), on peut constater que la structure est modifiée en profondeur : ceux de 90 comportent beaucoup plus de rubriques qu'on pourrait ranger dans la dévolution du problème (activités introductives) et dans les «aides à l'étude » (savoir-faire, tests, travaux pratiques ou dirigés, exercices résolus).
b) Contenu
Les manuels diffèrent au niveau de l'ordre de présentation des notions : la limite d'une fonction en a∈R est associée à la dérivation, mais parfois traitée avant le chapitre sur les limites d'une fonction ; ce dernier est alors considéré comme une étude des branches infinies, ayant lieu une fois que la fonction a été étudiée à l'aide de sa dérivée et de son tableau de variations.
Le chapitre sur les «limites et branches infinies » est traité en premier lieu dans MA91, TR91, TE95 et DS95 ; le chapitre «dérivation » est traité en première place dans FR95 et BE95.
Remarques :
*Le chapitre «Notion de limite. Dérivation » est traité en première place dans le Belin, et le chapitre sur les limites et branches infinies s'intitule : «Limites de fonctions » . De quoi donc étions-nous en train d'étudier la limite au chapitre précédent?
**Le Fractale intitule le deuxième chapitre : «Représentations graphiques. Asymptotes » . Du point de vue de l'organisation du savoir et des déclarations qui s'y réfèrent, aucun manuel ne propose, conformément au programme, de définition de la notion de limite. Ce qui est plus remarquable, et M.Artigue l'avait déjà noté dans son article sur les fonctions de référence (Artigue 1993), c'est que la dénomination «Théorème » a quasi disparu des manuels. on trouve des affirmations, ainsi dans MA 91 : «Les fonctions de référence sont les fonctions (x→x) , (x→x2), etc.. » et des conventions : plus loin, encadré en rouge sur fond jaune : «Nous conviendrons de dire que les fonctions (x→x) , (x→x2), etc... ont pour limite +
∞
en +∞
. »De même dans le TR 91, nulle définition, mais un paragraphe intitulé : « Sens de l'écriture : lim (x→ +
∞
) f(x) = +∞
» . On retrouve du reste ce terme «écriture »135 dans tout le chapitre. Le mot «Théorème » n'apparaît que deux fois, après le titre du paragraphe 4 : «Opérations sur les limites » . Le sous-paragraphe 4.1 s'appelle «Théorèmes sur les limites » et le 4.2 : «Exemples d'utilisation des théorèmes » . Il est dit par ailleurs que les résultats, présentés dans un tableau, sont «intuitifs et faciles à retenir » et nulle mention de démonstration de ces résultats n'est faite, même par allusion. Qu'est-ce donc alors qu'un théorème? un résultat sur lequel on veut insister? un résultat qui fournit un moyen algorithmitisé de calcul? En quoi un théorème se distingue-t-il des affirmations précédentes, et pourquoi lui attribuer un nom différent? Le statut du mot «théorème » ici n'est certes pas celui auquel sont habitués les mathématiciens.
Le manuel TE 95 utilise bien le mot définition, mais, c'est pour définir un mot : le mot asymptote. En fait la définition ne porte pas sur des mathématiques, mais du vocabulaire, puisque la définition est celle-ci : «lorsque lim (x→ +
∞
) f(x) = L , la distance mM tend vers zéro quand x→ +∞
On dit alors que la droite d'équation y = L est asymptote horizontale à la courbe C. » (En gras dans le texte). Plus loin, le mot théorème est utilisé : un paragraphe s'intitule «Théorèmes de comparaison » . De même les énoncés sur la somme, le produit... de limites sont appelés «théorèmes » ; il est dit qu'ils sont admis, et sont qualifiés de raisonnables : «ce sont ceux auxquels on est en droit de s'attendre » .Dans le DS 95, aucun résultat ne porte le nom de définition ou de théorème. Les résultats sont encadrés sur fond jaune, aucune mention de démonstration possible, ici admise, n'est portée. Cependant page 134, au paragraphe 3 «Opérations sur les limites » , il est écrit que «les points d'interrogation figurant dans le tableau désignent les cas où les théorèmes ne permettent pas de conclure » . L'élève doit donc comprendre que les résultats de ce tableau ont le statut de théorème. Ces résultats sont suivis d'une rubrique «Utilisations » , puis de «Travaux pratiques » , puis de «Savoir-faire » , puis de «Tests » ! on peut dire que les auteurs de ce manuel n'ont pas une confiance excessive dans l'utilisation spontanée que fera l'élève des résultats présentés, et qu'ils préfèrent s'entourer de nombreux garde-fous.
Le FR 95 donne les résultats (encadrés sur fond jaune) comme des «Propriétés » , en signalant qu'elles peuvent avoir été rencontrées sur des cas particuliers et qu'elles sont admises dans le cas général.
Enfin, le BE 95 donne également des «propriétés » , sur fond vert clair, et des «définitions » , sur fond bleu clair : mais comme dans le TE, les définitions ne sont que des définitions de vocabulaire, elles ne portent pas de vrai contenu mathématique (ni validation, ni moyen de reconnaissance de propriété). Un seul théorème est énoncé et démontré : celui sur l'équivalence des deux définitions du nombre dérivé d'une fonction en un point, par limite du taux d'accroissement ou par développement limité.
c) Introduction de la problématique, validation
Nous rencontrons donc deux cas de manuels : ceux où la limite est introduite d'abord en a∈ R, comme préalable à la dérivation, et les limites «infinies » ensuite, dans l'étude des branches infinies des courbes (FR, BE) ; et les manuels (TE, DS) où les limites sont introduites en premier lieu, par l'étude des fonctions de référence (limites en zéro, en +
∞ ,
-∞
), et les dérivées traitées ensuite.
i) Limite et dérivée
Dans les manuels qui adoptent cette introduction, le problème des limites en un nombre réel a est traité par des déclarations sur la limite en zéro des fonctions usuelles - fonctions de référence - après «observation 39« de celles-ci (en fait des calculs) ; puis par des
39 Observation est le terme employé par le manuel FR. BE renvoie à l'activité 1: calcul de valeurs de ces fonctions pour des valeurs de x de la forme 10-p
équivalences d'écritures, entre lim f(x) lorsque x tend vers a, et lim f(a+h) lorsque h tend vers zéro. Les théorèmes de l'algèbre des limites sont donnés (admis) ; une fonction est dite dérivable en a si elle admet en a un développement limité ; les manuels BE et FR démontrent l'équivalence avec la définition par limite du taux d'accroissement (FR dans un exercice). Les deux manuels consacrent un paragraphe aux tangentes à une courbe (tangente présente également dans les activités introductives pour les deux manuels). Puis la fonction dérivée est introduite, et les applications au sens de variations d'une fonction sont données, ainsi que les théorèmes sur les extremums (deux intitulés «théorème » dans BE, sur le sens de variations de f et sur l'existence d'un extremum en a si la fonction dérivée s'annule et change de signe en
a).
Remarquons que, pour un seul chapitre, le menu est copieux : limite en zéro, limite en
a, théorèmes sur les limites, développement limité, nombre dérivé, tangentes à la courbe, fonction dérivée, sens de variation de f, extremums : de la page 56 à 74 chez BE, sans compter les exercices mais en incluant les savoir-faire ; de 83 à 98 chez FR, plus la page 155 pour le sens de variation des fonctions, et la page 160 (un TP) pour les extremums.
On pourrait dire que la suppression de la définition en ε et α a créé un vide qu'il faut combler...
Pour les deux manuels concernés par cette approche, la notion de «limite infinie » est reprise ensuite sans qu'il y ait appui sur ce qui a déjà été fait (par exemple on pourrait imaginer que l'on signale la parenté de la nouvelle problématique avec les limites étudiées au chapitre d'introduction de la dérivation : ce serait possible si par exemple les outils de validation donnés étaient communs, mais dans une progression sans outils de validation, effectivement il est difficile de voir la parenté des notions).
ii) Les limites infinies
Pour introduire les limites infinies, tous les manuels s'appuient sur :
1) les grands nombres, les petits nombres, l'intuition sur la croissance des fonctions et l'infini ;
2) les courbes, dont on trouve de nombreux exemples dans le cours.
Le TE propose de plus, dans les activités introductives, un problème fonctionnel posé sous forme géométrique ; mais on demande à la première question de calculer la forme algébrique de la fonction, ce qui décourage toute approche purement géométrique, à supposer qu'elle ait pu exister.
La démarche des manuels est celle qui suit : 1) Pour les nombres et l'infini
• proposer de calculer les fonctions de référence pour des x «grands » . Ce calcul est proposé de différentes façons : tableau de valeurs pour x = 102, x = 105 , x = 108 ...par exemple. On trouve aussi des questions comme : «Comment faut-il choisir x pour que √x > 5 ? pour que √x > 108 ? » Suivent des questions analogues sur l'inverse des fonctions de référence.
• un résultat encadré est donné : «les fonctions de référence √x , x , xn (n>1) tendent vers
+∞
quand x tend vers+∞
« .• cette définition, propriété,... (suivant les manuels) est commentée par une phrase donnant en français la définition du résultat précédent, par exemple dans BE :
«Plus généralement, lorsque f(x) peut être rendu supérieur à tout nombre réel A strictement positif pour x suffisamment grand, on dit que f(x) tend vers
+∞
lorsque x tend vers+∞
et on écrit :lim
x→+∞ f(x)= +∞ ou encore que f a pour limite
+∞
en+∞
ce qu'on écrit : lim+∞ f = +∞ «. Le «plus généralement » est en gras dans le texte, ce qui souligne la fonction qui est attribuée par les auteurs à cette «mise en forme » : permettre de généraliser les résultats
137 pressentis sur les fonctions de référence.
Dans le TE, la généralisation existe, elle suit ce qui s'appelle : «Exemples fondamentaux » (les fonctions de référence) ; dans le FR, on trouve : «Limites en l'infini, limites infinies : fonctions usuelles » , puis : «Limites en l'infini, limites infinies : cas général » . Dans le DS, le cas général est donné avant les fonctions usuelles.
2) L'usage des graphiques
Les résultats précédents sont illustrés par des graphiques, souvent présents d'ailleurs dès les activités introductives, et même le terme «asymptote » . Ainsi que le dit Terracher en remarque après l'activité 4 : «Les courbes représentatives de ces fonctions, en particulier les hyperboles, serviront de point d'appui dans l'interprétation graphique de certaines limites : nous préciserons notamment la notion d'asymptote » .
Certains manuels vont plus loin que d'autres dans l'exploitation des courbes. Certains proposent une «interprétation graphique » (FR) ou «illustration graphique » (TR) des limites données ; le MA donne systématiquement une courbe en regard des résultats écrits en langage symbolique, mais sans commentaire. Le TE donne peu de courbes, malgré l'annonce précédente. Le DS est celui qui va le plus loin dans l’exploitation du graphique, en proposant des fac-similés d'écran de calculatrice graphique dès les activités introductives, avec la consigne : «Reconnaître chacune de ces fonctions à partir de leur comportement » (les expressions algébriques sont données).
Dans les exercices, le manuel franchit un pas supplémentaire avec par exemple l'exercice 3 page 145 : «Chacune des courbes suivantes représente une fonction f. Trouver, par simple lecture graphique, l'ensemble de définition de la fonction f, puis les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. » (6 courbes données par fac-similé de l'écran d'une calculatrice graphique).
d) Connaissances et savoirs
On note que cette approche, comme nous l'avions dit, donne à l'infini un rôle privilégié pour la dévolution des limites. En effet ce qui ressort de l'étude des deux manuels qui «définissent » la limite en 0 et en a avant les «limites infinies » , c'est qu'ils ne le font pas avec une problématique de limite : ils affirment après «observation » (selon le terme de FR) que les fonctions de référence ont une limite nulle en zéro. Cette observation pourrait tout aussi bien se réduire, pour l'élève, à constater que ces fonctions prennent la valeur zéro en zéro : rien, dans le travail proposé à l'élève, ne permet de distinguer cette propriété f(0) = 0 de la propriété d'avoir une limite nulle. La connaissance qui pourrait être véhiculée par le travail demandé, serait que si x se rapproche de zéro, f(x) se rapproche de zéro. Tout en ne constituant pas une base sur laquelle asseoir une définition correcte de la limite, cette connaissance pourrait constituer un point de départ. Mais aucun milieu permettant de mettre cette connaissance à l'épreuve n'est fourni à l'élève.
Ce qui doit, d'après cette analyse, en ressortir pour l'élève, peut s'énoncer ainsi : — les fonctions de référence s'annulent en zéro ;
— on note cette propriété avec des notations nouvelles : lim f (x)
x→0 = 0 ; si on demande la limite en a, on écrit f(a + h) et on «fait » h = 0 puisque lim f (a+ h)
h→0 = lim f (x)
x→a . Dans certains cas (c'est d'ailleurs expliqué dans les manuels) il faut simplifier avant de pouvoir remplacer h par zéro.
En termes de connaissances, il y a des connaissances relatives à l'emploi correct d'un nouveau répertoire de symboles (nouveaux ostensifs formels) ; les autres connaissances en jeu sont de type algébrique : calculer f(a+h) où f n'est en général pas linéaire ; simplifier après avoir mis une puissance de h en facteur. Aucune des connaissances d'analyse que nous signalions au début de ce chapitre n'apparaît dans ce type de travail : même pas la plupart de
celles que nous avions mises dans les connaissances préalables pouvant figurer dans le milieu. La dévolution des limites est donc renvoyée, par tous les manuels, à la charge des «limites infinies » . Voyons la pertinence de ce choix et de la façon dont il est exploité. Nous avions signalé au début de ce chapitre que l'infini pouvait être exploité dans un milieu pour la dévolution ; les problèmes culturels, paradoxes, contre-exemples ... dont il est porteur peuvent contribuer à ce rôle. Les élèves ont certes des connaissances sur l'infini, le continu... En DEA (Bloch 1997) nous avions proposé à des élèves de Seconde trois petits problèmes pouvant mettre en jeu la continuité et l'infini, et constaté que les intuitions (connaissances privées) des élèves n'étaient pas dépourvues d'intérêt.
Mais ces connaissances ont une caractéristique : ce sont des connaissances culturelles, élaborées dans le milieu de la «société civile » , et non pas dans un milieu mathématique (la boîte de Vache qui rit par exemple... exemple bien évidemment quelque peu caricatural ; mais aussi ce que les élèves ont pu lire, voir, entendre, sur l'espace infini, le temps,... dans les émissions scientifiques ou revues de vulgarisation). Ainsi que le dit Chevallard (Chevallard 1988c) :
« La tâche essentielle (du contrat didactique) consiste tout simplement à faire passer l'élève d'une culture «profane » , celle dans laquelle nous évoluons dans nos activités ordinaires, et la seule que l'enfant rencontre spontanément (c'est-à-dire antérieurement au processus d'acculturation scolaire), à une culture que j'appellerai, en un sens large nécessairement, scientifique.
Entre les deux cultures, il y a une discontinuité radicale, que l'on peut schématiser ainsi : dans la culture ordinaire, l'enfant se pose (et pose aux adultes) des questions pour lesquelles il reçoit ou non des réponses ; dans la culture «scientifique-scolaire » , l'enfant va rencontrer des problèmes (qu'il ne se pose pas spontanément, car leur caractère même de problèmes procède d'une façon de voir les choses à laquelle, sauf exception, il n'a pas un accès spontané et autonome) ; et à ces problèmes il va alors apprendre à apporter des solutions. »
Ce passage de l'élève d'une question culturelle à un problème scientifique-scolaire, nécessite une transformation de connaissances, ou une autre affectation de ces connaissances : ce que Brousseau appelle une conversion de connaissances (Brousseau et Centeno, 1991, pages 192-193). Les connaissances étant des instances de contrôle d'une situation,
«Un sujet apprend lorsqu'il change ses instances de contrôle d'une situation. Et un apprentissage va donc se manifester par des changements de connaissances, par des mises en mémoire et par des changements de contrôle dans les décisions. Par exemple : un sujet peut s'adapter à une situation et passer - par rapport au contrôle qu'il de celle-ci — d'une décision prise au hasard à une décision prise par une connaissance ; il peut passer d'un savoir communiqué par la société à une connaissance personnelle formulable et reconnue par l'institution scolaire. Ces transformations ou «conversions » de savoir en connaissances peuvent se faire par une adaptation à une situation a-didactique ou peuvent être produites avec l'aide du maître dans une situation didactique. »
Rouchier a pointé dans sa thèse (Rouchier 1991, pages 36-37) la nécessité de l'institution pour la confrontation de connaissances à une situation ; la situation est elle-même institution, puisque c'est par elle que la connaissance peut se confronter aux objets symboliques ou matériels, et que peut «s'ouvrir la longue chaîne des conversions qui vont conduire au savoir » (Rouchier 1991 p.37).
Or l'enseignement des limites qui est proposé ici ne tente pas d'inscrire la connaissance «infini » dans une situation / institution scientifique - scolaire, ni dans une situation a-didactique, ni directement dans une formalisation de savoirs. On prend au contraire les connaissances d'une institution donnée, la société «naturelle » , et on essaye de les faire fonctionner directement dans le contexte d'une autre institution (les mathématiques, fussent-elles scolaires) sans passer par l'institution de savoirs, ni par des situations où ces
139 connaissances pourraient agir. De plus en important ainsi des connaissances non mathématiques, sans les faire transiter par une situation, il est à craindre que l'on ne récupère aussi d'autres connaissances culturelles sur lesquelles on sera dépourvu de tout moyen de contrôle, qui resteront même complètement ignorées, et qui vont parasiter l'usage qui sera fait des premières.
Revenons à notre classification pour essayer de voir ce que cet enseignement peut récupérer au niveau des connaissances :
— pour les connaissances préalables :
1. Les nombres entiers, en particulier les «grands » nombres entiers : utile.
2. Les ordres de grandeur et les relations entre eux : utile, car tout repose sur l'intuition. 3. Les raisonnements de type arithmétique : peu sollicité (sert surtout à la validation). 4. Les fonctions, les majorations : utilisé dans les activités introductives.
5. Les connaissances graphiques : supposé acquis, en particulier dans DS.
6. Les connaissances relatives à l'emploi de la calculatrice graphique : supposé acquis, en particulier dans DS.
Cependant 5 et 6, qui concernent les graphiques avec ou sans calculatrice, sont fortement sollicitées mais jamais explicitées. Aucun discours n'est fourni sur ce qu'on peut voir (ou non) sur un graphique ; ni sur un graphique fourni par la calculatrice (voir ci-dessous).
— pour les connaissances à construire, faisons une analyse détaillée :
Tableau 3.2:
1. L'inverse d'une suite / fonction qui tend vers l'infini est une suite / fonction qui tend vers zéro, et réciproquement mais il y a un problème de signe
Oui, sur les exemples des fonctions de référence. Le professeur pourra généraliser sur les fonctions quelconques, par exemple après avoir admis les théorèmes sur l'algèbre des limites, mais ces théorèmes ne donnent pas le moyen de valider