Alors que le Cagnac et Thiberge peut être considéré comme un contrat faiblement didactique de type direction d'études (cf. Brousseau 1995, p.21) , le contrat instauré dans Pochard serait plutôt de type dogmatique (idem, p.19).
127
II. 1. 2 Les «maths modernes » dans les années soixante-dix
Le manuel choisi est Aleph 0 (1971) , Terminale CDE, Analyse , éditions Hachette.
a) Structure du manuel
Le manuel présente un exposé de cours, avec quelques exemples, et des exercices (en nombre assez réduit dans le corps du texte, et de nombreux exercices et problèmes récapitulatifs en fin de chapitre). Pas de travaux dirigés ; les exemples sont souvent donnés sous forme de graphiques, ou illustrés par des graphiques. La typographie est nettement plus aérée que dans le manuel précédent.
b) Contenu
Les théorèmes et définitions importants sont en gras, avec une indication en majuscules dans la marge («THEOREME » ). Les démonstrations sont données intégralement. Certaines pages (voir par exemple pages 16-17) ne contiennent que des définitions et théorèmes.
c) Introduction de la problématique, validation
La continuité est introduite avant les limites, par les voisinages. La définition d'une fonction non continue en un point est donnée. Pour les exemples, la démonstration est faite à l'aide de voisinages (intervalles ouverts de R). Les théorèmes sur les fonctions continues sont énoncés et démontrés.
Le manuel définit ensuite les points d'accumulation d'un ensemble, et la limite d'une fonction en un point d'accumulation de son domaine de définition. L'équivalence, pour une fonction numérique, de la définition en εε et αα est donnée, ainsi que de nombreux exemples. Pour les exemples, les démonstrations sont faites en prolongeant la fonction par continuité ; ou, dans le cas de discontinuité, en exhibant un voisinage de f(x0) dont l'image réciproque n'est pas un voisinage de x0. L'unicité de la limite est démontrée.
Les «limites infinies » sont introduites à l'aide de la droite achevée R . A cette occasion les règles d'écriture des symboles +
8
et -8
sont énoncées. On trouve par exemple des formules comme : ∀ x ∈ R* , | x | /0 = +8
Il n'y a pas de milieu pour la dévolution : aucune notion n'est problématisée. Par contre le milieu pour la validation existe bien. Les ostensifs sont peu commentés, le manuel déclarant même «évidentes » à plusieurs reprises des notations d'intervalles et de voisinages, et d'images réciproques de ceux-ci (page 51 par exemple).
d) Connaissances et savoirs
Il s'agit clairement d'un enseignement basé sur le savoir, et où les connaissances ne sont pas identifiées, voire même déclarées inutiles (puisque l'usage des ostensifs et des savoirs est évident). Suivant la classification du I.4.1 :
— pas de connaissances préalables répertoriées ; d'ailleurs une ambition des programmes de 1971 était de bâtir un exposé mathématique rigoureux et autonome par rapport aux apprentissages antérieurs ;
— connaissances à construire : 1,2,4,5 dans le cours ; les sujets du baccalauréat ne font appel qu'à des limites de fonctions (cf. Trouche, 1995, p.103 et suiv. pour les sujets de 1972) et les définitions vues en cours n'ont pas à être utilisées dans les sujets ; ceux-ci se traitent avec les
théorèmes sur les limites et les fonctions connues.
On peut donc dire que du point de vue de l'utilisation des savoirs, les sujets d'examen privilégient l'algèbre des limites et l'utilisation de fonctions étudiées en cours ; et ceci malgré l'ambition formaliste des programmes.
Commentaires
Le rôle du professeur qui pratique cet enseignement risque lui de ne pas être évident : en effet, pour faire faire ensuite aux élèves ce qui est exigé d'eux dans les problèmes et exercices, il va se heurter à des problèmes de choix des bons voisinages, de fonctions non uniformément continues... toutes choses bien évidemment passées sous silence dans l'exposé de cours.
Contrat :
Il s'agit ici d'un contrat dogmatique.
II. 1. 3 La réforme de 1982 - 1985 : approximations et fonctions de
référence
Le manuel étudié est le Gautier et Thiercé de Première Scientifique, 1986, chez Hachette, l'un des plus utilisés concurremment avec les manuels de Nathan. L'allure du manuel et son contenu diffèrent relativement peu de ceux du manuel de 1982 chez le même éditeur. Cependant la rupture avec le style d'enseignement des années soixante-dix est nettement marquée, alors que le Gourion de 1973, Terminale C, chez Nathan, marque encore la continuité de l'enseignement très formel précédent.
On lit dans le préambule : (insérer citation)
On mesure la distance avec les principes des années soixante-dix à la lecture de cette phrase : «Le langage des limites est abordé par l'intermédiaire de règles de comparaison en
liaison directe avec l'intuition. » (C’est nous qui soulignons).
Les suites et les limites sont au programme de Première. Nous nous intéresserons plus particulièrement aux chapitres 5 (Suites usuelles) et 6 (Suites. Langage des limites). Le chapitre consacré aux limites de fonctions reprend pour l'essentiel le schéma que nous mettons en évidence pour les suites.
a) Structure du manuel
Le manuel présente, au début des chapitres exposant des notions nouvelles : — une demi-page de remarques historiques et de présentation de la notion ;
— des activités préliminaires destinées à problématiser la notion introduite (5 activités dans le chapitre 5 intitulé «Suites usuelles » : pâte feuilletée, feuille de papier coupée en deux puis encore en deux... , intérêts simples et composés, nombre de grains de blé sur un échiquier, allusion aux jeux mathématiques où l'on demande de compléter une suite. Trois activités préliminaires sont proposées au chapitre 6 : voir ci-dessous).
Le cours est ensuite présenté de façon très classique : définition, théorèmes, un exercice résolu, quelques exercices d'application. Une «activité » est encore insérée au début du paragraphe «Calcul de la somme des termes » et une autre au début de «l'étude pour les grandes valeurs de n » .
Ensuite figure une rubrique «Travaux pratiques » , qui est fournie : 7 travaux pratiques pour le chapitre 5, à savoir : placements, multiplicateur de crédit, contrats, prix et salaires, croissances diverses, datation, somme des puissances des termes d'une suite
129 arithmétique. Cette rubrique représente trois pages et demie, écrites en italique serrée.
Enfin vient la rubrique exercices (trois pages, plus aérées que les précédentes).
b) Contenu
Le manuel traite les suites, puis les limites de suites, avant les limites de fonctions. Les définitions des notions introduites sont données, ainsi que des théorèmes relatifs à ces notions ; certains sont démontrés, d'autres sont admis et c'est précisé. Des démonstrations sont données dans le corps du texte : par exemple, dans le chapitre 6 («Suites. Langage des limites » ) après avoir admis la convergence vers zéro de la suite de terme général 1/ √n , le manuel propose une «activité » pour démonter que la suite de terme général 1/ 2n converge vers zéro. La différence avec les manuels des années 70 se situe peut-être dans le fait qu'il y a un peu moins de définitions et de théorèmes ; mais ce n'est pas flagrant, au contraire : 10 théorèmes et 2 définitions dans le chapitre sur les limites de suites en 1986, contre 2 définitions - il est vrai ensuite commentées et redonnées sous une autre forme - et 8 théorèmes en 1971. Les travaux pratiques sont détaillés, et toutes les démonstrations sont demandées ou initiées dans le manuel.
Les dérivées sont introduites par la recherche de la meilleure approximation affine d'une fonction donnée. Le chapitre correspondant ne propose, et on le comprend, presque pas d'activités autonomes pour les élèves : tout est guidé par le manuel ou le professeur. La notion devient opérationnelle dans le chapitre suivant sur les fonctions dérivées, où les théorèmes sur dérivée d'une somme, d'un produit, ... sont démontrés, et des tâches classiques de calcul de fonctions dérivées données aux élèves, préludes à d'autres tâches d'étude de fonctions à l'aide du signe de la dérivée.
c) Introduction de la problématique, validation
Par rapport au manuel précédent, une différence importante est que celui-ci propose un milieu pour la dévolution : activités préliminaires posant des problèmes numériques, d'approximation... Si nous analysons ces activités, nous voyons qu'au chapitre 6 elles consistent à faire majorer des suites convergeant vers 0 par 10-p , où p prend la valeur 2, 3 ... 8 ; minorer des suites tendant vers l'infini par 10p , avec p prenant également des valeurs comprises entre 2 et 8 (une valeur demandée pour chaque suite, par exemple, chercher n tel que 2n > 105 ). L'infini prend sa place dans ce milieu (il est dit qu'on se préoccupe du comportement des suites «pour les grandes valeurs de n » ) mais l'accent n'est pas mis de façon insistante sur ce problème.
Ces activités étant introductives, aucune définition n'est donnée ; il n'y a pas, dans le manuel, d'institutionnalisation au plan général des propriétés des suites particulières démontrées dans les activités introductives.
Par contre le cours ne donne aucune définition de la limite d'une suite, et ce qui est donné, sous l'intitulé «Théorème 1 » , c'est la propriété admise : la suite de terme général 1/ √n converge vers zéro. Ensuite vient le «Théorème 2 » : une suite dont la valeur absolue est majorée par une constante multipliée par une suite convergeant vers 0, converge également vers 0.
Remarquons que le cours ne reprend donc pas les éléments de validation qui étaient proposés dans les activités introductives, mais s'oriente vers une validation d'un type complètement différent, à savoir la comparaison avec les suites «connues » convergeant vers zéro.
A la suite de ce théorème 2, le manuel propose trois remarques en italique et en petits caractères, pour signaler : 1) que la suite à laquelle l'on compare sera une suite de référence à termes positifs ; 2) que certaines suites, comme la suite de terme général 1/ √√n , ne pourront
pas être étudiées avec cette méthode ; et 3) que le recours systématique à la suite 1/ √n rendant les raisonnements lourds, il conviendra de réaliser un répertoire de suites de référence pour faire des démonstrations plus simples. Ce répertoire n'est pas réalisé dans le manuel ; on peut supposer que le professeur s'en charge, afin de pouvoir conclure sur les limites dans un nombre de cas suffisant. C'est en effet suggéré dans le Théorème 4, mais tous les cas sont regroupés sous deux étiquettes générales : suites 1/np et suites 1/bn (pour b ≥ 2 ....). 35
Dans les «Travaux pratiques » les propriétés données en cours sont à appliquer. Ces travaux pratiques sont abondants : 6 pages au chapitre 6 sur les limites de suites. Leur contenu : approximations d'un réel, développements décimaux, approximations de √p , le nombre π , résolution d'équations (méthode par dichotomie, par interpolation linéaire, par itération), aires et volumes, Achille et la tortue. C'est donc un champ d'applications riche et varié de la notion de limite ; ceci dit, on peut douter qu'il puisse être traité par le professeur dans un temps compatible avec l'avancement du temps didactique.
d) Connaissances et savoirs
Le langage des limites a remplacé la définition des limites. Effectivement on ne trouve pas de définition d'une limite, ceci est conforme au programme. Les éléments de validation qui étaient introduits dans les activités préliminaires ne sont donc ni institutionnalisés, ni réinvestis, puisqu'on ne les retrouve pas dans les exercices et travaux pratiques : dans ceux-ci comme ceux-là on demande d'utiliser les critères de comparaison avec les suites de référence, construites dans le répertoire suggéré après le théorème 2. Le milieu pour la dévolution contient donc des éléments de validation, éléments du type : étant donné
ε
= 10-p,
chercher n0 tel que, si n > n0 , un < 10-p . Ces éléments sont absents du milieu prévu pour la validation ultérieure. On observe donc une rupture entre le milieu pour la dévolution (comportement d'une suite pour les grandes valeurs de n, et recherche de n tel que u n soit plus petit que 10-p) et le milieu de référence, qui n'est constitué que de problèmes de comparaison aux suites de référence.Ainsi page 129 (exercice résolu) on se propose d'établir la convergence de la suite de terme général :
lim
+∞
f = +∞
; pour ce faire on encadre d'abord u n par (2n - 1)/(n - 1) et(2n + 1)/(n -1). Comme (2n - 1) / (n - 1) - 2 = 1 / (n - 1) , on est ramené à l'étude de cette suite 1 / (n - 1) . A l'aide par exemple des critères donnés dans les activités introductives, on démontrerait sans peine que :
1 / (n - 1) < 10-p pourvu que n > 10p + 1 . Là, le manuel propose une décomposition (non évidente pour un élève de Première!) de 1 / (n - 1) :
lim f ( x )
x→ 0
= 0
. Comme pour tout n ≥4, √n - 1 > 1, on conclut que 1 / (n - 1) < 1 / (√n+ 1) < 1 / √n et d'après le «Théorème 1 » , et le «Théorème 2 » , la suite 1 / (n - 1) converge vers zéro. Remarquons au passage que le manuel ne va même pas jusqu'au bout de sa logique, puisque : (2n + 1)/(n -1) - 2 = 3/(n - 1) , et le manuel conclut que 3 /(n -1). converge vers 0, alors qu'aucun résultat n'a été établi concernant la limite du produit d'une suite convergeant vers zéro par un réel. Lors d'observations de classes, il s'est trouvé des élèves pour effectivement mettre en doute que si la suite de terme général u n converge vers zéro, il en est de même de la suite k u n , où k ∈ R.
35 Dans un autre manuel (Istra, IREM de Strasbourg, 1988, éd. Casteilla, Paris) les suites de référence sont
131 Par ailleurs, le traitement de 1
n −1 est particulier : il semblerait logique, dans la logique tout au moins des connaissances publiques que nous avons signalées plus haut, de mettre sur le même plan 1
n −1 et 1
n +1 : ces deux suites convergent vers zéro, étant toutes deux du même ordre que
1
n ; or ici, la première se trouve majorée par un réel, tandis que la deuxième est majorée par 1
n . On voit que la logique de majoration, poussée jusqu'à ce point, conduit à une absurdité du point de vue des connaissances : traiter de façon complètement différente deux expressions qui, du point de vue de la limite, se comportent exactement de la même façon. Il y a peu de chances que les élèves puissent entrer dans ces subtilités de procédures... et guère de pouvoir rendre publiques des connaissances aussi difficiles à justifier.
Cet exemple met bien en évidence que ce choix des critères de validation est extrêmement coûteux au niveau de l'équilibre savoirs / connaissances. En effet tout ce qui concerne ce que l'on a coutume d'appeler l'algèbre des limites passe du côté des connaissances, c'est dire que la gestion par le professeur en devient peu évidente, voire difficile à négocier. Par ailleurs essayons de regarder quels sont les savoirs récupérés : seules quelques règles de majoration / minoration par des suites de référence font partie des savoirs institutionnalisés. Or ces règles ont un inconvénient majeur : la façon dont elles s'appliquent dépend, à chaque exercice, de la fonction et de son expression particulière. Il en est certes de même de l'application de la définition en ε et α : mais la trame de départ est toujours la même dans la définition de Weierstrass, alors qu'ici se pose un problème de choix des fonctions «encadrantes » , lequel choix ne peut être fait que si l'on sait au départ quelles sont les chances de réussite de l'encadrement. Dans l'exercice présenté ci-dessus, il fallait largement anticiper la résolution globale pour majorer de façon aussi différente les deux termes concernés, alors qu'une résolution de type algorithmique, donc sans mobilisation démesurée de connaissances, donnait facilement la solution.
Suivant notre classification :
— les « connaissances préalables » 1 et 2 deviennent inutiles ; n°3,4 et surtout 5 prennent une grande importance mais ont été peu travaillées dans les classes précédentes, car trop difficiles ; 6 est minime.
— parmi les connaissances à construire que nous avons pointées au I.4.1 , il en est certaines qui deviennent très difficiles à mettre dans le milieu ; ce sont les connaissances du type 4 : si 1/n tend vers zéro, alors aussi 19/(n+3), -2000/(n-5) , etc... De même les connaissances relatives à l'emploi du signe → , qui reposent implicitement sur l'algèbre des limites. Même la connaissance n°1 devient peu opérante ; 2 n'est évoquée que pour mémoire ; 3 n'est que l'aboutissement d'un long et pénible travail de majoration, il y a peu de chances qu'elle puisse trouver une place pour fonctionner ; 5 est du même ordre que 4 ; 6 a été supprimé, et 7 n'apparaîtra qu'en Terminale.
Nous avons vu que ces connaissances font partie des connaissances publiques dans le travail sur l'analyse. Reste donc, au professeur et à l'élève, pour fonctionner, les connaissances privées de l'élève ; et du professeur, sur les majorations et encadrements, mais qu'il aura bien du mal à faire passer dans le travail public de la classe, car il ne dispose pas de milieu adéquat pour le faire.
Ce qui concerne les contre-exemples est également éliminé du milieu, pour cause de validation impossible : l'analyse ne fonctionne, dans un tel environnement, que par condition
suffisante pour qu'une fonction soit continue, admette une limite... Dans ces conditions, le statut des énoncés est flou, malgré les dénominations comme «définition » ou «théorème » . 36
On peut remarquer aussi que ces choix didactiques conduisent à une avancée du temps didactique assez irrégulière : un temps très long sera consacré à la recherche heuristique de départ, pour ce qui est des limites ; et la notion de limite ne devient jamais vraiment opérationnelle dans ce milieu. Du reste c’est un milieu qui est (relativement) efficace pour démontrer qu’un nombre L est limite, mais pas pour déterminer une limite a priori inconnue. De même l'introduction des dérivées passe par une phase très longue où les élèves ne sont pas autonomes (recherche de la meilleure approximation affine) avant que le professeur ne puisse leur donner une tâche réalisable sans aide (calcul de fonctions dérivées).
Or on sait bien que dans ces conditions l'avancée de la classe et du temps didactique est rendue très complexe ; en effet le professeur se trouve contraint d'avancer pendant une longue période sans pouvoir organiser d'évaluation du travail des élèves, puisque ceux-ci ne sont pas en mesure de produire un travail autonome. Ceci rend très difficile la négociation de l'apprentissage de ce savoir non évaluable 37 ; le professeur risque de devoir invoquer continuellement le temps (auquel il doit aspirer lui-même!), où tout ce qu'il est en train d'examiner avec les élèves portera enfin ses fruits. Il peut aussi prendre l'option de ne considérer que comme un prétexte ce travail de départ, et passer rapidement sur les notions non opérationnelles pour arriver plus vite aux savoirs évaluables. C'est peut-être ce qui advient de l'enseignement de ce programme, une fois que les professeurs ont expérimenté la difficulté à le mettre en oeuvre de la façon prévue. Cette négociation dépend aussi probablement du niveau de la classe concernée, une «bonne « classe ayant sans doute droit à l'intégralité des préliminaires, et une «mauvaise » voyant abréger ses souffrances et celles du professeur.
Nous en concluons donc que ce manuel (conforme au programme) propose une introduction des limites où le milieu de référence est extrêmement complexe : peu de savoirs utilisables, nécessité de beaucoup de connaissances difficiles à mettre dans le travail public de la classe ; la négociation du contrat didactique dans ce milieu risque de s'avérer ardue.
Commentaires
L'approche des limites proposée dans ce programme présente par ailleurs deux caractéristiques :
— alors que l'ambition des promoteurs des programmes de 1982 et 1986 était de restaurer l'analyse comme recherche d'approximations, il est assez frappant de constater que tout ce que nous avons appelé «représentation par un voisin » a disparu du milieu pour la validation.
— le milieu didactique s'est considérablement appauvri, en tous cas en ce qui concerne les ostensifs disponibles dans le travail des limites : peu de quantificateurs, pas d'ε et α, pas d'algèbre des limites, pas de signe → ... Le professeur risque d'avoir quelques problèmes au niveau de la validation (les connaissances pour valider ne seront accessibles qu'à lui, et pas aux élèves, en tous cas ces derniers seront dans l'incapacité d'anticiper l'existence ou non d'une limite, et si oui laquelle) et du processus d'institutionnalisation car il disposera de peu d'ostensifs et d'éléments du discours de médiation ; et ceci d'autant plus qu'il ne pourra avoir recours aux éléments présents dans le milieu pour la dévolution. Les possibilités d'action du professeur dans un tel milieu de référence sont aussi entravées par cette incohérence des