a) Les fonctions
III.2.3 Contraintes et possibles ; choix de situations
comme ce qui permet de gagner en anticipant sur le comportement d'une fonction, en trouvant des exemples ou contre-exemples... Le SPA fournit donc les règles du jeu d'un certain niveau de milieu, le milieu de référence, celui où commence le processus de validation.
b) Les limites
Nous avons vu au II de ce chapitre que les curriculums de l'enseignement secondaire, depuis les années 1980, proposaient sous forme «d'activités préparatoires » un milieu pour la dévolution du concept de limite, mais que ce milieu n'était parfois pas cohérent avec le milieu proposé pour l'apprentissage (ainsi les «grands nombres » et l'infini dans le milieu pour la dévolution, et des règles sur les fonctions de référence dans le cours ; ou de la recherche d'un indice n tel qu'un terme d'une suite (un) soit tel que un < 10-8 , dans les activités préparatoires, avec des critères de comparaison aux suites de référence pour la détermination effective d'une limite, dans le cours).
Une situation d’introduction de la notion de limite doit être construite de façon à ce que, d'une part, les critères de validation soient disponibles dans le milieu de référence ; d'autre part, ces critères apparaissent bien en continuité avec le milieu choisi pour la dévolution.
Le SPA, nous l'avons dit, fournit les règles du jeu du milieu de référence 44. Il faut donc là aussi créer un milieu objectif sur lequel on puisse poser des questions et des défis ; on peut imaginer, d'après ce qui a été dit de la situation fondamentale et du milieu pour la dévolution, qu'un tel milieu serait constitué d'une suite et de paris sur sa limite : si A parie avec B que la suite tend vers l'infini, B lui demande un nombre N tel que uN > 10800 ; si A est capable de le donner il gagne, sinon B doit prouver que A pouvait le faire, ou que la suite ne tend pas vers l'infini... Pourquoi choisir 10800 ? si l'on prend 108 ou 1080 , on est encore dans le domaine de calcul d'une calculatrice ordinaire, donc le résultat peut être trouvé par tâtonnements si la suite est suffisamment simple, alors que 10800 est en fait représentatif de 10p , où p est un entier quelconque (d'ailleurs des élèves de Première, nous le verrons, prennent très rapidement la décision de poser le défi avec p quelconque).
Si l'infini est partie prenante du milieu pour la dévolution, par le truchement des suites et de ce que fait une suite quand n « grandit indéfiniment » , ce sont donc les critères du type : chercher N tel que : ∀n > N, |un | < 10-800
,
ou un > 10800 , qui sont cohérents avec cette introduction ; en même temps, cette approche permet de déboucher sur des critères de validité conformes à la théorie, et efficaces pour traiter des exemples simples, préalablement à l'introduction de l'algèbre des limites, ou validant cette algèbre. Ces critères font bien partie de ceux que nous avons identifiés comme éléments du SPA : représentation par un voisin, quantificateurs, majorations, intervalles...Ils permettent de déboucher sur une définition consistante de la limite d'une suite, réutilisable pour démontrer qu'une suite a — ou n'a pas — de limite.
III.2.3 Contraintes et possibles ; choix de situations
44 Bien sûr, on pourrait se dire que les élèves joueront plus tard à ce jeu, qu'ils l'apprendront à l'université. Mais l'enseignement supérieur a bsoin, lorsque les élèves deviennent étudiants, d'un certain milieu pour pouvoir asseoir des savoirs; or cela se révèle impossible si les élèves n'ont pas acquis un minimum de compréhension des règles du jeu théorique. Il se produit la même chose avec la géométrie, si les élèves sont restés sur un contrat spatial au collège, alors que dès la Quatrième on se place entièrement dans un milieu géométrique. Les étudiants qui à l'entrée à l'université sont encore sur un contrat type "fonctions de référence", où par exemple toute fonction définie en un point est continue en ce point, ne peuvent s'adapter à l'enseignement théorique qui leur est alors proposé.
Les considérations qui précèdent font apparaître un certain nombre de conditions et de contraintes, qui vont peser sur les situations qu'il est possible de construire en vue de l'enseignement des notions de fonction et de limite au niveau où nous nous plaçons (enseignement secondaire) ; des choix sont donc nécessaires afin de privilégier les aspects du travail de l'analyse sur lesquels nous souhaitons mettre l'accent.
a) Les fonctions
Pour ce qui est des fonctions, l'objectif est de construire un milieu :
— qui permette des transformations des objets du milieu (fonctions, variables...), des passages d'ostensifs d'un certain registre à d'autres (du même registre ou d'autres) ;
— qui comporte des outils de validation ;
— qui comprend une dimension a-didactique 45, c’est-à-dire qui permet une ouverture du côté des élèves (possibilité de faire construire des éléments nouveaux, objets mathématiques ou questions, par les élèves) et qui prévoit une rétroaction du milieu, ou tout au moins une activité conjointe (en termes de connaissances mathématiques) du professeur et de l’élève. Ces exigences laissent à penser que le milieu algébrique de l'enseignement institutionnel n'est pas suffisant ; et que le milieu graphique qui peut être proposé en appoint dans cet enseignement, est sujet à trop d’ambiguïtés pour être utilisé en l'état (voir II.1.4 ci-dessus). Il faut donc prévoir d'enrichir ces milieux, de leur adjoindre des modes de validation supplémentaire ; on peut aussi faire appel à des registres peu utilisés actuellement dans l'enseignement, comme le registre formel. L'étude des répertoires disponibles pour l'enseignement de la notion de fonction, du point de vue des milieux que ces répertoires permettent, sera faite au chapitre 4.
b) Les limites
En ce qui concerne les limites, notre objectif principal est de rétablir ce que les programmes récents ont supprimé, à savoir des critères de validation permettant à l'élève de contrôler les affirmations sur les limites de suites et de fonctions. Réintroduire le processus de validation au niveau des premiers apprentissages de l'analyse ne peut sans doute pas, nous l'avons vu, se faire dans le cadre d'une situation a-didactique. Une partie du SPA devra être injectée dans le milieu, par le professeur, au début du processus de formulation et de validation.
En réintroduisant le SPA dans l'enseignement de ce niveau, nous serons amenée à donner, de façon formelle ou non, une définition de la limite. Préalablement les élèves devront avoir pu jouer les paris évoqués au III.1.2, sur des suites convenablement choisies : c'est l'exigence minimale qui nous semble devoir être posée pour que le SPA figure bien dans le milieu de référence de l'élève. Une autre exigence est que les élèves disposent d’éléments permettant le travail sur les limites, c’est-à-dire d’ostensifs propres non seulement au « langage des limites », ainsi que le disent les actuels programmes, mais aussi à la validation et la justification des propriétés énoncées.
L’étude d’une situation pour l’enseignement de la notion de limite sera conduite au chapitre 6.
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CONCLUSION
A travers l’étude des éléments présents dans les différents milieux relatifs aux objets de l’analyse, et l’examen de quelques réalisations didactiques pour cet enseignement, nous avons pointé les objets mathématiques spécifiques à la validation en analyse, et certains des ostensifs qui en permettent et en régissent l’usage. Nous avons aussi commencé à définir les types de jeux qui devraient permettre d’établir des situations propres à l’entrée dans l’analyse. La poursuite du projet engagé dans cette thèse suppose que nous nous interrogions sur les éléments disponibles pour construire un milieu destiné à l’enseignement des concepts de fonction et de limite. Parmi ces éléments, nous avons relevé l’importance des ostensifs affectés au travail de l’analyse, et plus particulièrement à la validation.
Certes les ostensifs ne forment qu’une des composantes du milieu, la composante d’instruments sémiotiques pour reprendre le terme d’Y. Chevallard ; à eux seuls, les ostensifs n’assurent pas la production de connaissances. Celle-ci est prise en charge par la situation, c’est-à-dire le jeu, les questions posées dans le milieu objectif.
Avant de nous intéresser aux situations qu’il est possible d’organiser pour l’introduction des concepts de fonction et de limite, il est cependant nécessaire de faire l’inventaire des ostensifs disponibles, de leur utilisation dans le contrat classique, ainsi que des possibilités qu’ils offrent et qui ne sont pas toutes exploitées dans ce contrat ; il faut aussi cerner les limites de leur aptitude à faire partie du milieu que nous souhaitons construire. Le chapitre 4 est consacré à cette étude.
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CHAPITRE 4
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