Spectre attendu d’une fibre uniforme

En pratique, le positionnement de nos filtres étant libre, notre montage expérimental nous donne accès à un relevé de la JSI, soit de la probabilité d’émission de paires, pour n’importe quel couple de fréquences de paires. Par réglage de la fréquence de pompe, il nous serait même possible d’explorer la JSI dans l’espace (ωp, ω, ω0). Toutefois, pour délimiter notre espace de recherche, nous resterons à une

même fréquence de pompe ωp0 dans toutes nos mesures, et nous ne sonderons expérimentalement que les couples {ω, ω0} respectant la conservation de l’énergie avec celle-ci.

Selon que l’on souhaite simuler de manière fidèle la prise de point expérimentaux, au prix de longs temps de calculs, ou au contraire obtenir rapidement la forme générale du spectre attendu, deux méthodes s’offrent à nous.

Simulation des points de mesures expérimentales

Pour retracer expérimentalement le spectre d’émission, chacun de nos points de mesure consiste en un relevé du taux de génération de paires pour un couple de fréquences de paires {ω, ω0} donné (dépendant du réglage de nos filtres de détection), à paramètres de pompe fixés. Nos filtres de mesure n’étant pas infiniment fins, nous relevons des coïncidences entre photons de fréquences comprises dans les intervalleshω − ∆ω₂ , ω + ∆ω₂ i ethω0−∆ω0

2 , ω 0₊∆ω0

2 i

, où ∆ω et ∆ω0 correspondent aux largeurs de nos filtres de détection.

Chaque point de mesure correspond donc à l’intégration, dans l’espace spectral joint, de la JSI sur un carré de côtés ∆ω et ∆ω0, centré en {ω, ω0}. Les centres de ces carrés suivent la ligne de conservation de l’énergie, puisque nous réglons les centres de nos filtres de mesures selon cette condition.

Ainsi, pour simuler précisément nos mesures expérimentales, nous pouvons intégrer la JSI simulée par carrés successifs, comme l’illustre la figure 7.3, la taille des carrés d’intégration correspondant directement à la largeur de nos filtres.

Par ailleurs, en gardant à l’esprit que la JSI constitue la densité de probabilité de génération d’une paire au passage d’une impulsion de pompe, il est nécessaire de multiplier le résultat de chacune de ces intégrations par le taux de répétition (Γ = 80 MHz) de nos impulsions pour obtenir le taux de génération de paires par seconde.

Nous soulignons que puisque les carrés d’intégration suivent la diagonale que G trace dans l’espace spectral joint (cf. figure7.2a), un changement de la durée d’impulsion (et donc de sa largeur spectrale) influera sur le niveau du taux de génération de paires, mais n’aura que peu d’incidence sur la structure du spectre. En effet, une durée T₀ plus grande implique un spectre de pompe, et donc une largeur de la fonction G, plus fins : cette dernière étant normalisée, la JSI se fait plus dense au sein d’un carré d’intégration donné, résultant en un taux de génération de paires plus grand, au point associé. Toutefois, la différence entre deux points successifs reste essentiellement dictée par la fonction F (qui coupe l’axe suivi par les carrés d’intégration), et il en va de même pour la structure globale du spectre résultant de ces intégrations successives.

CHAPITRE 7. ÉTAT DES PAIRES ET PROBABILITÉ DE GÉNÉRATION

Figure 7.3 –Schéma de l’intégration de la JSI sur l’étendue de nos filtres de détection : chaque grand carré vert correspond à la portion de l’espace spectral joint sur lequel est intégré la JSI. En translatant ce carré dans l’espace spectral joint selon la conservation de l’énergie (trait pointillé) nous pouvons simuler le taux de paires collectées à

travers nos filtres en fonction de leurs longueurs d’onde centrales (coordonnées des centres des carrés).

Si l’utilisation de carrés d’intégration se montre visuelle et parlante, elle implique néanmoins que nous modélisions nos filtres par des fonctions porte de largeurs Δω et Δω. Une vision plus réaliste vis-à-vis de notre filtrage expérimental passe par une modélisation par des gaussiennes de largeurs à mi-hauteur équivalentes20.

En effet, nous rappelons qu’avant d’atteindre les fibres de collection, les faisceaux signal et idler sont diffractés sur deux réseaux successifs. Les différentes longueurs d’onde dans le champ signal (ou idler) parviennent donc à l’optique de collection avec des angles légèrement différents et leur couplage dans la fibre est d’autant plus faible que l’angle fait par le faisceau avec l’axe optique est fort. Autrement dit, le couplage est maximal pour la fréquence centrale du filtre et décroît lorsqu’on s’en éloigne21_.

Nous représentons en figure7.4 le spectre ainsi simulé à partir de la JSI exposée en section 7.4

et de son intégration avec des filtres gaussiens. Les pertes de propagation22 _{sur les voies signal et} idler (transmission au pic des filtres de 8% et 10% respectivement) ne sont pas prises en compte dans cette simulation puisque celles-ci seront déduites dans les résultats expérimentaux que nous présenterons plus loin. Nous traçons ainsi, tant au niveau des simulations que de nos résultats de mesures, la spectre émis en sortie de la fibre microstructurée.

Nous obtenons le spectre classique pour l’émission de paires, constitué d’un pic d’émission unique dont la forme est largement conditionné par Funi. Nous noterons cependant que l’intégration sur les filtres gomme complètement les rebonds du sinus cardinal dans le spectre final, ne laissant qu’un pic unique s’étalant sur une plage large d’un nanomètre. De manière générale, nous verrons que l’intégration sur les filtres tend à lisser le spectre et y faire disparaître les oscillations rapides.

20. C’est-à-dire par lesquelles passe la même énergie du spectre, et donc ayant la même valeur d’intégrale que les filtres carrés.

21. Nous pouvons reproduire cet effet en injectant dans une fibre collection un faisceau spectralement fin à la fréquence centrale du filtre associé, puis en désaxant horizontalement le réseau précédant la fibre de collection (cf. figure3.1) : plus l’orientation du réseau s’éloigne de la position initiale, plus la transmission décroît. La courbe de la transmission suit alors une courbe pouvant en première approximation s’identifier à une gaussienne.

22. Nous incluons dans celles-ci les pertes successives sur les différentes optiques entre la sortie de la fibre et les détecteurs ainsi que de l’efficacité de détection de ces derniers à nos longueurs d’onde (35% et 49% pour signal et idler, respectivement).

7.4. SIMULATION DE LA JSI D’UNE FIBRE UNIFORME

Figure 7.4 – Spectre attendu pour une fibre uniforme dans nos conditions expérimentales. Chaque point correspond à une double intégration, selon les fréquences signal et idler, du produit de la JSI par Γ et deux gaussiennes correspondant à nos filtres. Ces deux gaussiennes normalisées (égales à 1 au pic) ont des largeurs à1_{/eégales à 0.6 nm}

(largeur typique de nos filtres). L’abscisse correspond à la fréquence centrale du filtre idler, celle du filtre signal la suivant par conservation de l’énergie à la longueur d’onde centrale de pompe (λp0 = 885.55 nm).

Nous sommes ainsi en mesure de prédire quantitativement le spectre d’émission auquel nous pouvons nous attendre. Toutefois, cette méthode de simulation des points expérimentaux peut demander beaucoup de temps de calcul23, aussi lui préférerons-nous souvent une approximation du spectre par coupe de la JSI.

Coupe de la JSI suivant la conservation de l’énergie

Afin de tracer un spectre comparable à celui obtenu expérimentalement, nous pouvons en première approximation tracer la coupe de la JSI suivant la ligne de conservation de l’énergie à ωp0, soit la ligne dans l’espace joint (cf. figure 7.1a) où G(ω, ω0) est maximum (2ω_p0 = ω + ω0). Cette coupe diagonale est alors projetée sur l’un des axes pour retracer la probabilité de génération (en prenant en compte le facteur Γ ici aussi) d’une paire selon la fréquence d’un de ses photons (signal ou idler selon le côté du spectre où l’on se place).

En suivant la conservation de l’énergie, le terme G est, par définition, toujours égal à 1. Le spectre tracé ne dépend alors plus que de F pour sa forme, A définissant son amplitude globale. Cette dernière ne changeant pratiquement pas sur les plages spectrales que nous considérons24, nous pourrons simplifier nos simulations en ne traçant que le terme F suivant la conservation de l’énergie, i.e. pour

ω0 = 2ωp0 − ω. Le terme F étant toujours compris entre 0 et 1, cette méthode nous permet une comparaison immédiate entre tous les spectres que nous tracerons25.

Nous représentons le spectre résultant pour une fibre uniforme, en figure7.5.

Nous retrouvons sur7.5a la présence du large pic central au niveau duquel l’accord de phase est automatiquement respecté. Nous nous intéressons plutôt aux pics latéraux pour lesquels l’émission de paires se fait à des fréquences éloignées de la pompe.

23. De l’ordre de quelques heures pour le cas uniforme, mais pouvant aller jusqu’à plusieurs jours voire une semaine quand nous introduisons les non-uniformités dans le modèle.

24. Nous rappelons que la dépendance aux fréquences de A est entièrement contenue dans le rapport _ωωω20

p0.

25. Le passage au taux de génération réel peut alors se calculer approximativement en multipliant ce spectre par le taux de génération (Γ = 80 MHz), le carré de la largeur des filtres (∆ωf iltre≈ 7  1011rad/s) et l’amplitude A ≈ 4 10−29

CHAPITRE 7. ÉTAT DES PAIRES ET PROBABILITÉ DE GÉNÉRATION

(a) Spectre sur toute la bande de transmission pour une fibre uniforme.

(b) Zoom sur la plage spectrale associée à l’émission d’un photon idler.

Figure 7.5 – Tracé du terme Funià la conservation de l’énergie, en fonction de la longueur d’onde d’un de ses

photons.

La figure7.5b nous présente un zoom sur l’un de ces pics latéraux. En la comparant au spectre obtenu par intégrations successives de la JSI, présenté en figure 7.4, nous constatons que la même forme est obtenue, à ceci près que nous distinguons clairement le lissage du spectre et le gommage des oscillations du sinus cardinal, du fait de l’intégration sur les filtres. Néanmoins, le tracé de F à la conservation d’énergie, qui correspond à une coupe normalisée de la JSI, reste une bonne première approximation pour évaluer la forme générale du spectre, tant que les filtres utilisés sont fins devant la largeur typique du spectre.

Par nature, la coupe de la JSI ne nous donne qu’une description qualitative du spectre expéri- mental, mais implique un temps de calcul drastiquement plus faible que la méthode par intégrations successives. De telles coupes nous seront particulièrement utiles pour notre étude de la non-uniformité en partieIV, où tous les spectres simulés, sauf mention contraire, seront obtenus par cette méthode. Dès que nous aurons besoin d’une évaluation quantitative de l’émission et comparable aux mesures expérimentales, nous repasserons sur la méthode par intégrations successives.

Dans la suite, nous étudierons de manière qualitative l’influence de la longueur de la fibre ou de la température sur le spectre d’émission, en présentant des spectres obtenus par coupe de la JSI.

7.4. SIMULATION DE LA JSI D’UNE FIBRE UNIFORME