Enfin, pour toute notre étude, nous nous plaçons loin de toute fréquence de résonance du milieu4, et le champ incident sera d’intensité bien inférieure à celle des champs atomiques [62].
L’objectif principal du modèle consiste à déterminer la probabilité, notée Proba (ω, ω0), que, suite à la propagation d’une unique impulsion de pompe dans la fibre5, soit générée une paire de photons de fréquences comprises dans des intervalles dω et dω0, centrés en ω et ω0 respectivement.
Puisque les champs signal et idler présentent un nombre très faible de photons, il est nécessaire pour les décrire d’adopter une approche quantique. Tandis que le champ de pompe, intense, pourra être défini classiquement. Ainsi, dans le formalisme de Dirac6 nous noterons |ψs⊗ii la fonction d’onde dépeignant l’association des champs signal et idler. Ces derniers seront décrits par des états de Fock |nωi caractérisant l’existence de n photons dans le mode spectral7 de fréquence centrale ω et de
largeur dω. En découpant virtuellement ainsi l’espace continu des fréquences en modes distincts, nous pouvons utiliser le formalisme des états de Fock usuellement associé aux variables discrètes (nombre de photons, spins,...).
Une caractéristique importante de notre modèle est qu’il considère les différents champs intervenant dans le phénomène étudié (pompe, signal et idler) comme spectralement disjoints. Nous pouvons donc distinguer l’ensemble des modes signal ωs de ceux idler ωi, de sorte que tout état joint des champs signal et idler puisse se décomposer sur une base |nωs, mωii = |nωsi ⊗ |mωii. Dès lors, la
probabilité qu’existe une paire de photons de fréquences contenues dans les plageshωs−dω2s, ωs+dω2s
i
et hωi− dω2i, ωi+dω2i
i
se note :
Proba(ω, ω0) = |h1ω, 1ω0| ψs⊗ii|2 dω dω0 (4.1) Cette probabilité dépend du temps t puisque l’état |ψs⊗ii dépend de l’instant où l’on se place. Or nous souhaitons établir la probabilité qu’une paire de photon ait été générée après passage de l’impulsion dans la fibre. Nous n’avons a priori connaissance de l’état des champs qu’avant l’arrivée de l’impulsion (vides de tout photon). Il est donc nécessaire de pouvoir décrire l’évolution dans le temps de cet état.
4.2
Évolution temporelle et état final des champs
Afin d’étudier l’évolution temporelle de l’état |ψs⊗i(t)i des champs signal et idler joints, nous nous
placerons dans la représentation d’interaction (cf. annexeF.2concernant les différentes représentations en mécanique quantique), particulièrement adaptée à l’étude d’un système en interaction avec son environnement. Or nous cherchons justement à étudier l’interaction des champs signal-idler avec le milieu que constitue la fibre.
4. Dans le cas où l’on se trouve proche de telles fréquences de résonance, l’amplitude et la dispersion des composantes des tenseurs de susceptibilité électrique varient fortement [62, chapitre 3]. Les effets non linéaires d’ordre supérieur ne peuvent plus être négligés, et l’approche perturbative pour l’énergie d’interaction (cf. annexeF.3) que nous allons utiliser n’est plus valide [106].
5. Comme nous l’avons vu en sous-section3.1, l’intervalle de temps entre le passage d’impulsions successives est de l’ordre de la dizaine de nanosecondes, alors que leur temps de propagation dans la fibre est de l’ordre de la nanoseconde. La réponse du milieu étant invariante dans le temps (homogénéité temporelle), le phénomène de génération d’une paire au passage d’une impulsion est indépendant des autres impulsions.
6. L’annexeFprodigue des rappels du formalisme mathématique de mécanique quantique que nous utilisons dans ce document.
7. Il est à noter que contrairement aux états de Fock |ni usuels qui sont sans dimension et adressent l’ensemble du champ (de pompe, signal ou idler), ceux-ci concernent un mode spectral spécifique de ce dernier. Nous verrons que puisque nous nous plaçons dans une base continue de modes au sein de chaque champ, les |nωi portent la dimension de
CHAPITRE 4. TRAME DU MODÈLE DE LA GÉNÉRATION DE PAIRES
En représentation d’interaction, en prenant pour référence temporelle t0 = 0 l’instant d’entrée de l’impulsion dans la fibre, l’état du système à un instant t ultérieur est entièrement déterminé par (F.5) [105] : |ψs⊗i(t)i = e−~i Rt 0Hbint(t 0) dt0 |ψs⊗i(0)i (4.2)
où Hbint(t) est l’Hamiltonien d’interaction.
Pour déterminerHbint(t), il nous faut souligner que l’approche en représentation d’interaction pose
une distinction sur l’évolution temporelle du système : d’une part la fonction d’onde du système évolue dans le temps comme le ferait un système isolé, ce qui ici correspond à la propagation libre des photons dans le milieu ; d’autre part l’Hamiltonien Hbint traduit l’interaction du système avec
son environnement. Dans toute notre étude, nous intégrerons la dispersion chromatique dans la propagation libre des photons, en désignant sous le terme d’interaction tous les effets susceptibles de modifier les champs par échange d’énergie.
Ainsi est-il nécessaire d’établir l’Hamiltonien total du système afin d’y distinguer Hbint de la part
correspondant à la propagation libre.
Nous verrons en sous-section6.1.3queHbintcorrespond alors à la part non linéaire de l’Hamiltonien
total (Hbint=HbN L). Or les effets non linéaires que nous allons considérer sont très faibles, de sorte
qu’une approche perturbative permet de simplifier (4.2) (cf. annexeF.3) en : |ψs⊗i(t)i ' b 1 − i ~ Z t 0 b Hint(t0) dt0 |ψs⊗i(0)i
Pour tout t6 0, les champs signal et idler sont vides de tout photon8, si bien que l’on peut poser
|ψs⊗i(0)i = |0, 0i et remplacer la borne inférieure d’intégration par −∞.
Enfin en notant Tprop le temps de propagation de l’impulsion dans la fibre, pour t > Tprop plus aucune interaction non linéaire n’a lieu9, et la borne supérieure d’intégration peut être remplacée par +∞. Nous définissons ainsi l’état final |ψs⊗i,f ini de la paire pour un temps t > Tprop :
|ψs⊗i,f ini ≡ |ψs⊗i(t> Tprop)i ' |0, 0i −
i ~ Z t0 b Hint(t0) dt0 |0, 0i (4.3)
L’Hamiltonien d’interaction regroupant tous les phénomènes non linéaires possibles, une simpli- fication est nécessaire pour se centrer sur ceux qui nous intéressent. Pour notre étude, seul l’ordre 3 de non-linéarité est important, l’ordre 2 étant nul de fait de la centrosymétrie du milieu, et les ordres supérieur à 3 restant négligeables. Au sein même des processus d’ordre 3 existants, nous nous concentrerons essentiellement sur le mélange à quatre ondes impliquant l’annihilation de deux photons d’une même pompe (intense et considérée classiquement) pour générer une paire de photons signal et idler (dont les champs font l’objet d’une approche quantique). Par ailleurs, ces trois champs (pompe, signal et idler) seront considérés comme disjoints spectralement, condition qui facilite notre approche théorique mais constitue aussi une nécessité expérimentale si nous voulons pouvoir séparer efficacement les photons des paires produites de ceux de pompe, beaucoup plus nombreux.
8. On peut noter que dans le cas d’une tomographie stimulée [104] l’Hamiltonien d’interaction reste le même mais l’état initial se voit déjà rempli de photons dans l’un des deux champs (le seed), qui peut contenir N photons (|0, N i) ou correspondre à un état cohérent (|0, αi).
9. Cependant, en pratique, les champs interagissent après le passage dans la fibre : les photons passent par une série d’optiques avant d’être détectés. Toutefois l’étude développée dans [107] nous montre que l’effet global en résultant consiste en une atténuation de la proportion de paires détectées. Cette atténuation est essentiellement dépendante du montage de détection, aussi nous intéresserons-nous ici à l’émissivité intrinsèque de la source. Autrement dit à la quantité de paires présentes à la sortie de la fibre. Bien sûr, la comparaison quantitative entre simulation et expérience impliquera de mesurer et prendre en compte les pertes de notre montage, de la sortie de la fibre à la détection.
4.2. ÉVOLUTION TEMPORELLE ET ÉTAT FINAL DES CHAMPS
Les champs en eux-même seront considérés suffisamment fins spectralement pour négliger la dispersion de vitesse de groupe en leur sein. Autrement dit, nous considérons en première approximation que toutes les composantes spectrales d’un champ (pompe, signal ou idler) se déplacent à une même vitesse de groupe. Ce qui, concernant la pompe, implique que les impulsions se propagent dans la fibre sans subir de déformation temporelle. Nous noterons l’indice et la vitesse de groupe de la pompe
ngp0 ≡ ng(ωp0) et vgp0 =c/ngp0, cette dernière correspondant à la vitesse de propagation de l’enveloppe des impulsions.
Dans le même ordre d’idée, nous considérerons un même indice de réfraction pour les composantes spectrales d’un même champ (excepté dans l’accord de phase comme nous le verrons dans la suite). Nous noterons nj0 ≡ n(ωj0), les indices associés aux champs de pompe, signal et idler (j ∈ {p, s, i}), pris à leur fréquences centrales respectives.
Enfin, la dispersion non linéaire, i.e. la dépendance à la fréquence des tenseurs électro-optiques d’ordre n > 1, sera entièrement négligée en se plaçant dans l’approximation d’une réponse instantanée de la non-linéarité du milieu10.
Notre modèle, dont le développement constituera la partieII, nous permettra d’établir l’expression du Hamiltonien non linéaire propre à notre source, et donc l’état final des champs après passage d’une impulsion de pompe : |ψs⊗i,f ini = |0, 0i + iK γpEimpL × Z ωs Z ωi √ ωsωi h e GT0 ∗GeT0 i (ωs+ ωi− 2ωp0) Z L ei∆k x dx |1ωs, 1ωii dωsdωi (4.4)
Où interviennent notamment :
— ωp0 la fréquence centrale du spectre de pompe.
— K un préfacteur restant à déterminer en établissant la forme complète de l’Hamiltonien non linéaire. Sa détermination, dont nous discuterons en section4.4, constituera une grande part de notre étude.
— le coefficient γp et l’indice n2 non linéaires, à la fréquence centrale de pompe :
γp = n2ωp0 c Aef f n2= − 3 4η (3) 0n3p0 2 c = 3 4 χ(3) 0n2p0c
avec η(3) la permittivité diélectrique non linéaire inverse11, χ(3) la susceptibilité non linéaire11 d’ordre 3 et Aef f l’aire effective du mode spatial fondamental de la fibre, de profil gaussien et dans lequel se trouvent tous nos champs.
— Eimp l’énergie de l’impulsion de pompe. — L la longueur effective12 du guide.
— GeT0(ω) le spectre en amplitude de l’impulsion de pompe de durée T0.
— le désaccord de phase généralisé, donné par :
∆k = 2β(ωp0) − β(ωs) − β(ωi) +ωs+ ωi− 2ωp0
vgp0 avec β(ω) la constante de propagation, correspondant à l’impulsion.
10. Le lien direct entre approximation d’une réponse instantanée et le fait de négliger la dispersion est mis en exergue dans l’annexeB.7.
11. Les définitions des tenseurs électro-optique et leurs relations sont présentées en annexeB. En approximation de la réponse instantanée pour l’ordre 3 (cf. annexeB.7), η(3)et χ(3)sont liés par η(3)= −0η(1)χ(3)η(1)η(1)η(1), avec η(1)
la permittivité diélectrique inverse d’ordre 1, elle-même liée par η(1)=
0 1 + χ(1)
−1
à la susceptibilité linéaire χ(1).
12. Notre fibre étant considérée sans pertes dans toute notre étude, nous identifierons la longueur effective à la longueur totale de la fibre.
CHAPITRE 4. TRAME DU MODÈLE DE LA GÉNÉRATION DE PAIRES
Nous pouvons voir que l’état final (4.4) est la combinaison d’un état |0, 0i pour lequel aucune paire de photon n’a été produite, et d’un continuum d’états |1ωs, 1ωii traduisant la génération de
paires dans des fenêtres spectrales précises. Cette superposition, d’un état où toute paire est absente avec des états où une paire a été générée, nous rappelle que les processus non linéaires à leur origine sont des phénomènes intrinsèquement stochastiques, dont le résultat ne peut être décrit que dans le cadre d’une approche probabiliste.