6.3 Hamiltonien non linéaire et champs quantifiés
6.3.1 Mélange à quatre ondes dans un guide 1D isotrope
Nous nous replaçons à présent dans la situation simplifiée introduite dans la sous-section6.2.4, d’un guide d’onde uni-dimensionnel, correspondant à notre fibre. Le repère cartésien est choisi tel que l’axe de propagation soit selon x et le champ de pompe selon z.
6.3. HAMILTONIEN NON LINÉAIRE ET CHAMPS QUANTIFIÉS
Figure 6.4 – Repère cartésien utilisé pour décrire notre fibre : la propagation se fait selon l’axe x, le potentiel-vecteur de la pompe est selon y et le champ ~Dpr selon z.
Par ailleurs, nous rappelons que, l’essentiel du champ se localisant au niveau du liquide, nous assimilons le η(3) du guide à celui du liquide, qui hérite donc de son caractère isotrope22. Par conséquent, les composantes de η(3) avec trois (et seulement trois) indices identiques sont nulles. Les seuls mélanges à quatre ondes susceptibles de survenir se font alors soit dans une configuration de polarisations parallèles entre le champ de pompe et les champ signal et idler (composante ηzzzz(3) ), soit
croisées (composante23 η(3)yyzz). Dans le cadre d’un milieu non linéaire isotrope, on remarquera que
η(3)zzzz = 3 × ηyyzz(3) (cf. annexeB.7.1).
Par économie de notation, on notera de manière générale η(3) la composante du tenseur intervenant dans le calcul, en gardant en tête que sa valeur finale dépend de la configuration considérée.
Nous pouvons maintenant nous intéresser aux développements des termes de (6.64), correspondant au cas de trois champs disjoints. Ceux-ci, donnés en annexe D.2(équations (D.5), (D.6) et (D.7)), ont cependant été établis dans le cas très général de trois champs disjoints ordonnés spectralement, en détaillant tous les processus possibles. Seulement pour notre sujet d’étude, seuls certains sont pertinents.
En premier lieu et comme indiqué en annexe D.2, le mélange à quatre ondes direct qui nous intéresse est incompatible (au sens des écarts spectraux visés) avec tous les phénomènes impliquant la génération ou l’annihilation d’un seul photon. Sont ainsi exclus les conversions paramétriques de troisième ordre (TOSPDC) et les générations de triple harmoniques (THG).
Par ailleurs, nous nous intéressons essentiellement à la génération spontanée de photons dans les champs idler et signal. Le champ de pompe étant le seul à être injecté dans la fibre, les champs idler et signal sont initialement vides de tout photon. Au cours de la propagation dans la fibre non linéaire, seul le phénomène de mélange à quatre ondes direct peut créer des photons dans ces champs. Puisque l’on se place dans un régime de très faible efficacité non linéaire, relativement peu de photons signal et idler seront produits lors d’un passage d’une impulsion de pompe dans la fibre. De sorte qu’on peut considérer tout phénomène non linéaire impliquant la pré-existence de photons signal ou idler
22. Si notre liquide est isotrope, la fibre ne l’est pas : sa structure induit une biréfringence de forme, à un niveau macroscopique, contenant les champs au fil de leurs propagation linéaire (η(1)) dans des polarisations linéaires déterminées.
Le processus non linéaire étant gouverné à un niveau microscopique par la composition moléculaire du liquide, nous prendrons donc des champs à polarisations fixes intervenant dans un processus non linéaire isotrope (η(3)).
23. On rappelle que par symétrie de permutation globale du tenseur de permittivité diélectrique inverse (cf. annexe B.6) η(3)yyzz= η
(3)
zzyy= η
(3)
CHAPITRE 6. ÉTABLISSEMENT DE L’HAMILTONIEN DE NOTRE SYSTÈME
comme négligeable. Sont visés ainsi les phénomènes d’automodulation de phase des champs signal et idler (SPMs & SPMi), tous les termes de Bragg scattering (BS) et le mélange à quatre ondes inverse
(FWMinv) mais pas son terme conjugué24.
D’autre part, cette considération d’une efficacité non linéaire très faible nous permet aussi d’estimer que le processus d’automodulation de phase de la pompe, s’il existe, sera trop faible pour induire un déphasage non linéaire et un élargissement de la pompe notables. Le terme (SPMp) pourra donc aussi
être négligé.
En définitive, en se référant à l’annexeD.2nous donnant tout les termes possibles dans (6.64), seuls les termes (sans leurs conjugués) de mélange à quatre ondes direct (FWMdir) dans (D.6) et (D.7), ainsi que le terme conjugué24 du mélange à quatre ondes inverse (FWM
inv) dans (D.5) seront retenus dans l’Hamiltonien non linéaire final. Les trois sommes de (6.64) se résument alors à la somme de ces trois termes, différant uniquement par leurs préfacteurs (respectivement 3, 3 et 6).
Ce qui, avec le préfacteur 1/4 dans (6.64), nous donne l’Hamiltonien densité non linéaire pour le mélange à quatre ondes spontané dans notre fibre :
HN L= 3 η(3) X {ls,li,lp,l0p} ei ωls+ωli−ωlp−ωl0p t D∗(ωls)D∗(ωli)D(ωlp)D(ωl0 p) (6.65)
en rappelant que les champs complexes intervenant ici peuvent dépendre de l’espace et du temps. Enfin il est à noter que si nous considérons ici le cas d’une fibre, cet Hamiltonien reste valide pour n’importe quel milieu non linéaire isotrope22, et peut se généraliser à des milieux de plus basses symétries en prenant soin de considérer les bonnes composantes de η(3).
On peut noter que dans la décomposition sur une base discrète des champs (6.63), aucune supposition n’a été faite sur la dépendance temporelle des champs D(~r, ωlj) introduits. Notre champ
de pompe impulsionnel, qui sera considéré classique, peut être vu comme l’oscillation d’un seul mode de fréquence ωp0 (la fréquence centrale du champ), modulée par une enveloppe temporelle contenue dans le champ complexe D(~r, ωp0). Le détail de l’enveloppe ne trouvera son utilité que plus tard dans l’expression de l’état final des champs, et sera donc introduite en section 7.1. Pour simplifier l’expression du Hamiltonien dans la suite nous regroupons les termes de pompe sous le champ complexe :
Dp(~r, t) ≡ D(~r, ωp0) e
−iωp0t (6.66)
À partir duquel il est possible d’exprimer le champ de pompe réel d’après (6.63) :
Dpr(~r, t) = Dp(~r, t) + D
∗
p(~r, t) (6.67)
et l’Hamiltonien non linéaire :
HN L= 3 η(3)D2p(~r, t) X {ls,li} ei(ωls+ωli)tD∗(ωl s)D ∗ (ωli) (6.68)
Où les indices de sommation sur les modes de pompe disparaissent et la conservation de l’énergie implique nécessairement un mélange à quatre ondes où deux photons de pompe à ωp0 s’annihilent pour former une paire signal-idler : la somme s’effectue pour tous modes {ls, li} tels que ωls+ ωli− 2ωp0 = 0. Si cette condition de conservation de l’énergie à une fréquence de pompe ωp0 unique semble stricte, comme on le verra plus loin la contrainte sera relâchée du fait que le spectre de pompe n’est pas infiniment fin (propriété contenue dans l’enveloppe).
24. Le terme conjugué de (FWMinv) correspond au phénomène inverse, soit au mélange à quatre ondes direct. En
6.3. HAMILTONIEN NON LINÉAIRE ET CHAMPS QUANTIFIÉS
Pour aller plus loin, il est à présent nécessaire d’expliciter la forme des champs idler et signal que nous traiterons quantiquement. Ce sera également l’occasion d’opérer un passage à la limite continue.