Mesures préliminaires

La référence [52] rapporte l’essentiel des travaux sur notre source ayant précédé la présente thèse. Ceux-ci inclurent notamment des mesures sur la fibre une fois remplie dont les résultats sont nécessaires à notre modèle : d’une part le coefficient non linéaire γp de notre fibre, intervenant dans

l’efficacité du processus de génération de paires de photons ; d’autre part la constante de propagation

β(ω), permettant de déterminer la longueur d’onde du zéro de dispersion de notre fibre mais aussi

l’accord de phase.

Avant de considérer ces deux paramètres, nous nous pencherons sur l’indice de réfraction de notre liquide, intervenant également dans l’efficacité du processus non linéaire.

1. D’après la documentation de la fibre nous avons ∆n > 2 10−4, pour une fibre vide.

2. La méthode de remplissage de la fibre ne sera pas détaillée ici mais peut être retrouvée en annexes de [52]. 3. De formule chimique C3D6O.

CHAPITRE 2. FIBRE À CRISTAL PHOTONIQUE ET DE CŒUR LIQUIDE

Indice de réfraction de l’acétone deutérée

Pour déterminer l’indice de réfraction du liquide emplissant notre fibre (l’acétone deutérée), nous nous basons d’une part sur la référence [92] rapportant l’évolution de l’indice de l’acétone n_A(λ) en fonction de la longueur d’onde selon l’équation de Cauchy :

nA(λ) = A +

B λ2 +

B

λ4 (2.1)

Les coefficients A, B et C sont donnés par [92] pour des températures de 20 et 25◦C.

D’autre part, la référence [93] nous donne la différence d’indice entre l’acétone et l’acétone deutérée pour quatre longueurs d’onde dans le visible (qui est de l’ordre de 2.5 ∼ 2.7_{ 10}−3).

À partir de celles-ci et des valeurs de n_Aaux longueurs d’onde correspondantes, nous disposons donc de quatre points correspondant à l’indice de l’acétone deutérée n_Ad6(λ), sur lesquels nous pouvons ajuster la même loi que (2.1).

Nous traçons les courbes d’indice de l’acétone et de l’acétone deutérée ainsi obtenue en figure2.2, où on peut observer que l’indice de l’acétone deutérée à 20◦C se confond avec celui de l’acétone à 25◦C.

Figure 2.2 –Courbes d’indice de l’acétone (rouge) et de l’acétone deutérée (bleu) à 20◦C (traits pleins) et 25◦C (pointillés).

Nous noterons que pour nos longueurs d’onde de travail (s’étendant sur la plage 850 ∼ 920 nm) l’indice de notre liquide varie très peu. Dans une première approximation, il serait possible d’utiliser un même indice nAd6 ≈ 1.35 pour toutes les fréquences que nous utilisons sans changer notablement

nos résultats, toutefois nos simulations prendront en compte la dépendance de l’indice à la fréquence.

Coefficient et indice non linéaires

Il est possible de déterminer l’indice et le coefficient non linéaires n2et γp de la fibre, à la fréquence

centrale de pompe ωp0, en exploitant le phénomène d’automodulation de phase de la pompe [1,94], décrit formellement dans l’annexe C.2. Pour un champ lumineux suffisamment intense, l’indice du matériau ne peut plus être considéré comme indépendant de l’intensité. L’onde incidente subit un déphasage non linéaire dépendant de la variation temporelle de la puissance instantanée, induisant

2.1. PROPRIÉTÉS DE PROPAGATION DE LA FIBRE

ainsi la génération de nouvelles fréquences5 suivant (C.12). On comprend donc que pour une pompe impulsionnelle ce déphasage non linéaire, accumulé au fil de la propagation, modifie la composition spectrale de l’impulsion tout en laissant son profil temporel inchangé.

Comme indiqué dans l’annexeC.2, la mesure de l’élargissement spectral d’impulsions se propageant dans un matériau permet d’en déduire son γp :

γp=

n2ωp0

c Aef f

avec l’indice non linéaire :

n2= − 3 4η (3) 0n3(ωp0)
2 c = 3 4 χ(3) 0n2(ωp0) c

avec η(3) et χ(3) la perméabilité diélectrique inverse et la susceptibilité électrique d’ordre 3, respecti- vement. L’origine des définitions de γ_p et n₂ peut être retrouvée dans l’annexeC.2.

La valeur de l’indice non linéaire de l’acétone deutérée6 est fournie par [95]7 :

n2= (5.2 ± 0.8) 10−20 m2.W−1

Par ailleurs, la mesure du coefficient non linéaire pour notre source fut également obtenue par automodulation de phase [52]7 _:

γp= (0.012 ± 0.002) m−1.W−1

Mesures de dispersion

Un autre paramètre essentiel dans notre modèle constitue la constante de propagation, correspon- dant au nombre d’onde :

β(ω) ≡ k(ω) = n(ω) ω

c

La mesure de la courbe de la constante de propagation en fonction de la fréquence dans notre milieu fut plus indirecte et passa par une technique d’interférométrie de temps de vol, qui consiste à faire interférer entre eux deux faisceaux issus d’une même source, l’un se propageant dans le milieu mesuré, l’autre sur une voie de référence. Une impulsion de pompe, fine et accordable en fréquence, est séparée en deux, une part se propageant dans la fibre, une autre dans l’espace libre avec une ligne à retard ajustable. Les deux faisceaux sont ensuite recombinés sur une caméra permettant de mesurer le contraste des interférences entre les deux impulsions, celui-ci étant maximum lorsqu’elles se recouvrent parfaitement. En relevant pour chaque fréquence la longueur relative de la ligne à

5. Si cette description suit l’approche classique du phénomène d’automodulation de phase tel qu’il est décrit dans l’annexeC.2, il est aussi possible de le voir comme un mélange à quatre ondes interne à la bande de fréquence de la pompe. Les termes associés sont spontanément apparus dans notre modèle de la non-linéarité d’ordre 3 (cf. annexeD). 6. On peut noter que celui-ci est plus légèrement plus fort que pour la silice (2.7 10−20m2.W−1) mais plus faible que pour des matériaux usuellement utilisés en optique non linéaire, tant solides (par exemple le silicium avec

n2= 3 10−18m2.W−1) que liquides (pour le CS2: n2∼ 10−18m2.W−1). Cependant, puisque nous cherchons à travailler

à faible efficacité non linéaire, ce choix de liquide n’est pas préjudiciable.

7. Nous pouvons noter que la mesure du n2 fut faite sur la plage spectrale 920 ∼ 960 nm, et celle de γpà 882 nm,

alors que notre longueur d’onde de pompe typique est de 885.55 nm. Cependant les variations de l’indice et du coefficient avec la longueur d’onde sont très faibles, même sur 100 nm de décalage. L’écart rentre dans les incertitudes de mesure, de sorte que nous pouvons considérer n2 et γpcomme constants dans toute la suite.

CHAPITRE 2. FIBRE À CRISTAL PHOTONIQUE ET DE CŒUR LIQUIDE

retard C(ω) satisfaisant cette condition, on peut déduire les expressions de β(ω) et ses deux premières dérivées [52] : β(ω) = cst1+ cst2 ω + 2 c LD(ω) β(1)(ω) = cst2+ 2 c LC(ω) β(2)(ω) = 2 c L d C(ω) dω (2.2)

avec L la longueur de notre fibre, la fonction D(ω) =R

ω

C(ω) dω, et la notation compacte β(k) = _∂ω∂kβk(ω).

On peut immédiatement constater que de telles mesures permettent d’avoir accès de manière exacte à la dispersion de vitesse de groupe β(2)(ω).

Les mesures brutes de temps de vol initiales [52] ont été opérées sur la plage spectrale qui nous intéresse (entre 790 et 910 nm), mais sur un autre morceau de fibre que celui que nous utilisons dans notre expérience (provenant toutefois de la même bobine et remplie du même liquide). Comme nous le verrons plus loin quand nous discuterons de la non-uniformité de notre fibre (section 13.2), cet état de fait peut induire des différences de positionnement de la courbe de dispersion pouvant aller de 1 à 3 nm. Par ailleurs, les mesures de dispersion rapportées par [52] sont entachées d’une incertitude inhérente à l’absence d’information sur la température à laquelle elles ont été effectuées. Or même une variation de quelques degrés suffit à décaler les courbes de β et ses dérivées de plusieurs nanomètres, effet dont nous discuterons plus en détails dans la sous-section 2.3.4.

Nous notons que la courbe de la constante de propagation peut aussi être simulée à partir de la connaissance des indices linéaires des matériaux et de mesures de photos MEB. Les résultats de ces simulations étant également entachés d’une imprécision non négligeable8, nous préférerons les résultats de mesures directes.

Au final, nous avons opéré un décalage a posteriori du résultat des mesures brutes de temps de vol, de façon à ce que les longueurs d’onde de pic d’émission des paires, prédites par respect de la conservation d’énergie et de l’accord de phase, correspondent au maximum d’émission observé expérimentalement. Ainsi, après un décalage de +3.5 nm des longueurs d’onde de mesure9, nous ajustons un polynôme d’ordre 9 en ω pour β(2)(ω). Les coefficients ainsi obtenus sont donnés dans le tableau2.1, et le profil de β(2)_{(ω) est tracé en figure 2.3sur la bande de transmission de notre fibre.}

On peut déduire directement de ce profil la longueur d’onde pour laquelle la dispersion est nulle10:

λZDW ≈ 899.5 nm

Si les mesures d’interférométrie de temps de vol nous donnent tous les coefficients du polynôme décrivant β(2)(ω), la vitesse de groupe β(1)(ω) n’est déterminée qu’à une constante près, et l’expression de la constante de propagation β(ω) dépend de deux constantes indéterminées. Cependant dans notre modèle, la constante de propagation n’apparaîtra qu’au sein du désaccord de phase ∆k, dont l’expression développée est exempte des constantes inconnues, comme le verrons dans la suite.

8. Ces simulations, de type Finite Difference Frequency Domain (FDFD) considèrent une fibre géométriquement parfaite. Elles prédisent une longueur d’onde de dispersion nulle à 918 nm, soit encore plus éloignée de la réalité que ne le sont les mesures directes. On peut attribuer cette erreur aux incertitudes de mesure sur photo MEB des tailles de la structure (cœur, trous, pas), aux incertitudes sur les indices et aux imperfections de fabrication de la fibre [60].

9. Dans une représentation de β(2)(λ) (cf. figure 2.3), nous décalons ici l’axe des abscisses et non pas la courbe. Comme nous le verrons en section2.2, ce sont effectivement les longueurs d’onde caractéristiques qui se décalent, soit le cadre de référence de la courbe de β(λ) et ses dérivées.

2.1. PROPRIÉTÉS DE PROPAGATION DE LA FIBRE

Longueur de la fibre L = 1.05 m

Diamètre de la fibre ∼ 120 µm

Aire effective du mode fondamental Aef f = 30 µm2

Indice de réfraction linéaire du liquide nAd6 = 1.34728

Indice de réfraction non linéaire

du liquide n2= (5.2 ± 0.8) 10−20 m2.W-1

Coefficient non linéaire de la fibre γp = 0.012 ± 0, 002 m-1.W-1

Dispersion de la vitesse de groupe

β(2)(ω) = 8 P n=0 = Knωn K0= −6.96810532751652 10−17 s2.m−1 K1= +1.79517235860928 10−31 s2.m−1.(rad/s)−1 K2= −1.70561214836445 10−46 s2.m−1.(rad/s)−2 K3= +5.27838715192325 10−62 s2.m−1.(rad/s)−3 K4= +2.67836648865228 10−77 s2.m−1.rad/s)−4 K5= −2.98912150087742 10−92 s2.m−1.(rad/s)−5 K6= +1.12594896132151 10−107 s2.m−1.(rad/s)−6 K7= −2.02728071729561 10−123 s2.m−1.(rad/s)−7 K8= +1.46426945447578 10−139 s2.m−1.(rad/s)−8

Table 2.1 – Valeurs caractéristiques de notre fibre HC-1550-PM (NKT Photonics) remplie d’acétone deutérée (Ad6).

Figure 2.3 –Profil de la dispersion de vitesse de groupe sur la bande de transmission de notre fibre. Le trait rouge marque la position de la longueur d’onde de dispersion nulle.

CHAPITRE 2. FIBRE À CRISTAL PHOTONIQUE ET DE CŒUR LIQUIDE

Ces mesures d’interférométrie de temps de vol suffisent donc à nous apporter toute l’information nécessaire pour déterminer l’accord de phase pour la génération de paire.