7.3
Amplitude et intensité spectrale jointe appliquées au cas d’une
fibre uniforme
Avant d’utiliser de manière effective notre modèle dans nos simulations, encore faut-il nous assurer que tout les paramètres intervenants dans la probabilité de génération nous soient connus. Ceux-ci ont soit déjà été mesurés, soit sont ajustés et fixés dans notre expérience, de sorte que nous sommes en mesure de simuler l’émission de notre source sans aucun recours à un paramètre libre.
Nous observons qu’interviennent dans l’expression de l’amplitude a/A : le coefficient non linéaire γp,
l’énergie d’une impulsion Eimp, la longueur L de la fibre, et les indices de réfraction (np0, ns0 et ni0).
7. Nous noterons toutefois que si pour une fibre uniforme, le maximum de F est toujours égal à 1, il n’en sera pas de même pour des fibres non uniformes (qui feront l’objet de la partieIV), où la forme du spectre peut dépendre de la longueur. Dès lors, la probabilité de génération ne croît plus nécessairement avec le carré de la longueur.
7.3. AMPLITUDE ET INTENSITÉ SPECTRALE JOINTE APPLIQUÉES AU CAS D’UNE FIBRE UNIFORME
Le coefficient non linéaire de notre fibre a déjà été mesuré (cf. sous-section 2.1.1). Tandis que l’énergie d’impulsion peut être directement déduite de la puissance moyenne que nous injectons dans la fibre et du taux de répétition Γ des impulsions8. La connaissance de L ne tient qu’à une mesure triviale9. Enfin l’essentiel du champ se concentre dans le liquide, de sorte que l’indice effectif du mode spatial fondamental de la fibre est très proche de l’indice de réfraction du liquide, que nous avons déjà déterminé en sous-section 2.1.1.
Le terme g/G ne dépend pour sa part que du profil spatial de l’impulsion dont tous les paramètres (T0 et ωp0) sont réglés et connus. Nous nous intéresserons en sous-section7.3.1à sa forme spécifique pour nos impulsions de pompe.
Enfin intervient dans f/F le désaccord de phase, qui dépend lui-même de la constante de propagation
β(ω), et de sa dérivée première donnant la vitesse de groupe10. Or la constante de propagation a déjà fait l’objet de mesures préliminaires (cf. sous-section 2.1.1). Dans la sous-section7.3.2 nous décrirons la forme attendue de F pour une fibre uniforme.
7.3.1 Profil de notre impulsion de pompe
Dans notre expérience, les impulsions de pompe présentent un profil temporel en amplitude de forme sécante hyperbolique11, de durée T012:
GT0(t) = √ 2π 2T0 !1 2 sech t T0 (7.14)
qui est normalisé d’après nos définitions (cf. annexe A.6) : 1 √ 2π Z t |GT0(t)| 2 dt = 1 (7.15)
Nous noterons, du fait d’une définition différente de la normalisation dans [52], une différence d’un facteur (2π)14 entre notre définition (7.14) de GT
0(t) et celle de [52, équation (2.2.1)]. Cependant, notre formulation de G comporte un facteur 2π1 , absent dans celle de [52, équation (2.5.3b)], de sorte que les termes de pompe G sont équivalents entre les deux modèles.
Le spectre de pompe en amplitude s’obtient directement par :
e GT0(ω) = 1 √ 2π Z t GT0(t) e iωt dt =π 2 3 4p T0 sech π T 0 2 ω (7.16)
8. L’énergie d’une impulsion Eimpcorrespond au rapport de la puissance moyenne par le taux de répétition, et nous
permet notamment de déduire la puissance crête de nos impulsions, qui adoptent une forme temporelle en sécante hyperbolique. Nous avons d’après [52, équation (2.4.18)] : Pcrête=
Eimp
2 T0.
9. En se rappelant que nous considérons la longueur effective d’interaction égale à celle de la fibre (absence de pertes). D’autre part, puisque nous négligeons la dispersion de vitesse de groupe au sein du spectre de pompe au cours de la propagation, deux fréquences prises dans son spectre ne subissent aucun walk-off notable entre elles, qui impliquerait que le mélange à quatre ondes ne s’effectue que sur une portion de fibre (et donc réduise la longueur effective). Ce dernier point n’est plus vrai en présence de deux pompes distinctes entre lesquelles la dispersion n’est plus négligeable. 10. Contrairement au terme a faisant office de constante d’échelle, le terme f doit nous permettre de déterminer les couples de fréquences auxquels la génération est permise. Aussi n’approximerons-nous pas la vitesse de groupe à une constante ici, et la calculerons-nous directement à partir de la constante de propagation.
11. Forme typique des impulsions de lasers à blocage de mode tel que notre Titane-Saphir qui fut vérifié pour notre fibre par ajustement du spectre expérimental en régime d’automodulation de phase de la pompe [94].
12. Il est à noter que pour un profil proportionnel à sech Tt
0
, la largeur à mi-hauteur en intensité (donc pris au module carré) est TF W HM = 2ln(1 +
√
2)T0 tandis que la durée mesurée expérimentalement est la largeur à mi-hauteur
CHAPITRE 7. ÉTAT DES PAIRES ET PROBABILITÉ DE GÉNÉRATION
De ce spectre nous déduisons son autoconvolution :
h e GT0 ∗GeT0 i (ω) =√2π π T0 2 ω sinhπ T0 2 ω Soit : g(ω, ω0) = π T0 2 (ω + ω 0− 2ω p0) sinhπ T0 2 (ω + ω0− 2ωp0)
Nous soulignons ici que g est purement réel du fait que notre impulsion de pompe est dénuée de chirp. D’autre part, g (et donc G) est maximum et égal à 1 quand ω + ω0− 2ωp0 = 0, soit à la conservation de l’énergie. Le sinus hyperbolique croissant plus rapidement qu’une pente linéaire, plus le terme
π T0
2 (ω + ω 0− 2ω
p0) est grand, plus g est petit. De ce fait, plus la durée d’impulsion T0 sera grande (et donc plus son spectre sera fin), plus g tendra rapidement vers 0. Nous verrons alors un affinement
de la courbe G(ω, ω0) dans l’espace spectral joint lorsque la durée d’impulsion augmente.
Concernant la part spatiale du faisceau de pompe, nous considérons qu’il se propage dans le mode spatial fondamental de la fibre, que l’on approximera par une gaussienne [94] de rayon effectif wef f :
G⊥(~r⊥) = 2 wef f e −|~r⊥|2 w2 ef f (7.17)
L’aire effective du mode est alors Aef f = π w2
ef f. Nous rappelons par ailleurs que les profils temporel,
spectral et spatial transverse sont normalisés selon les conventions présentées en annexeA.6.
En supposant une efficacité non linéaire de la fibre très faible et une puissance injectée modérée13, des impulsions telles que les nôtres (qui sont par ailleurs dénuées de chirp14) se propagent sans déformation temporelle ou spectrale dans la fibre, de sorte que nous disposons de toutes les informations pour décrire la pompe.
7.3.2 Terme de profil transverse pour une fibre uniforme
Afin d’illustrer l’utilisation de notre modèle théorique pour simuler la génération de paires de photons dans notre fibre, nous présentons le cas classique (et simple) d’une fibre purement uniforme. Celui-ci sera appliqué pour des valeurs typiques de notre expérience, ce qui nous permettra d’effectuer une comparaison avec nos résultats expérimentaux présentés au chapitre 10.
Dans le cas d’une fibre uniforme, c’est-à-dire identique à elle-même tout son long, les dimensions transverses de la fibre et donc la taille du cœur et de la structure ne changent pas. Le désaccord de phase est le même dans toute la fibre : ∆k(x) = cste. L’intégration de (7.12) devient très simple et nous permet de retrouver le sinus cardinal usuel :
funi(ω, ω0) = 1 L Z L 0 ei∆k x dx = ei∆k L2 sinc ∆kL 2 (7.18)
13. Lors de mesures d’automodulation de phase sur notre fibre [94], le plus petit déphasage non linéaire ΦN Lmesurable
est de l’ordre de 0.1π, ce qui correspond dans notre cas à une puissance moyenne de 6 mW. La puissance moyenne typique dans la fibre durant nos expérience est de l’ordre de 3 mW, de sorte que l’automodulation de phase est négligeable.
14. En absence de phase supplémentaire, la transformée de Fourier du profil temporel de l’impulsion, mesuré en
intensité, nous permet de retrouver son spectre : les impulsions sont dites Fourier Transform. Dans le cas contraire, la
seule mesure temporelle ne suffit pas pour récupérer l’information sur la phase, et une mesure spectrale simultanée est nécessaire.
7.3. AMPLITUDE ET INTENSITÉ SPECTRALE JOINTE APPLIQUÉES AU CAS D’UNE FIBRE UNIFORME Soit : Funi(ω, ω0) = funi(ω, ω0) 2 = sinc2 ∆kL 2 (7.19)
qui est maximum et égale à l’unité lorsque la condition d’accord de phase ∆k = 0 est respectée. Nous rappelons la définition du désaccord de phase généralisé (7.8) :
∆k = 2β(ωp0) − β(ω) − β(ω0) +ω + ω 0− 2ω
p0
vgp0
(7.20)
La condition de conservation de l’énergie est stricte mais légèrement relâchée par la largeur de la pompe (la courbe de G n’est pas infiniment fine). Ainsi, pour permettre la génération d’une paire le terme ω + ω0− 2ωp0 sera proche de 0 mais pas nécessairement nul. Cette tolérance permet elle-même le respect de la condition d’accord de phase dans une certaine marge : ∆k ≈ 0. Tel que cela fut discuté en sous-section 2.1.2, le désaccord de phase brut ∆kbrut = 2β(ωp0) − β(ω) − β(ω
0) est proche de 0 lorsque la dispersion de vitesse de groupe β(2) à ωp0 n’est pas trop forte (d’où notre positionnement de la pompe près du zéro de dispersion). Ainsi, plus le guide présentera une forte dispersion, plus ∆k divergera rapidement de ce point de fonctionnement en s’éloignant des fréquences (ωs0, ωi0), et donc plus F sera fin dans l’espace (ω, ω0). De manière générale, nous constaterons un affinement de la courbe lorsque les fréquences de paires s’éloignent de celle de pompe.
7.3.3 Intensité spectrale jointe d’une fibre uniforme
Nous résumons ici la forme générale de la JSI pour une fibre uniforme à des fins de comparaisons avec le modèle de [52] : JSI(ω, ω0) = A(ω, ω0) × G(ω, ω0) × F (ω, ω0) avec : A(ω, ω0) = 1 64π2 (γpEimpL) 2 ns0ni0 n2 p0 !3 ω ω0 ω2 p0 G(ω, ω0) = 1 2π h e GT0∗GeT0 i (ω + ω0− 2ωp0) 2 Funi(ω, ω0) = sinc2 ∆kL 2
Nous pouvons noter, en comparaison avec le modèle précédemment établi en [52], que nous retrouvons pratiquement la même forme finale pour la JSI (cf. équation (2.5.3) de la référence) : les termes G et F sont identiques15 et seul diffère le terme d’amplitude A. Nous retranscrivons ici sa forme avancée par [52, équation (2.5.3a)]16, dans le cadre de nos notations :
A(ω, ω0) = ngp0 √ ngs0ngi0 2π ns0ni0 s ω ω0 ω2 p0 γpEimpL !2
Nous notons que l’amplitude A dépend ici aussi des quantités (γpEimpL)2 et ω ω
0
ω2
p0. Les différences se
marquant notamment au niveau des termes d’indices (indices de réfraction dans notre modèle alors qu’interviennent les indices de groupe dans la référence [52]). Toutefois dans les deux formulations, les
15. Nous rappelons (cf. sous-section7.3.1) que les définitions de la normalisation et donc des profils temporels GT0(t)
diffèrent entre notre modèle et celui de [52]. D’où la présence d’un facteur 2π1 dans notre formulation de G, qui reste identique à celle de [52].
16. Nous corrigeons au passage une coquille dans le développement de la JSI, lors du passage de l’équation (2.4.13) à (2.4.14) dans [52], impliquant un oubli d’un terme nsniau dénominateur.
CHAPITRE 7. ÉTAT DES PAIRES ET PROBABILITÉ DE GÉNÉRATION
indices (de réfraction comme de groupe) sont assez proches pour considérer en première approximation que les ratio dans lesquels ils interviennent sont égaux à 1.
La véritable différence porte donc sur le facteur numérique global d’amplitude : ici nous avons un préfacteur global égal à 64π12, contre 4π12 dans [52]. Au final, notre amplitude est donc plus faible d’un peu plus d’un ordre de grandeur.
Ces différences dans les termes d’indices et le changement d’amplitude proviennent en grande part du changement de paradigme, i.e. raisonnement sur le champ ~D plutôt que ~E, qui nous a amené à
complètement re-définir l’Hamiltonien d’interaction. En effet, la référence [52] se base sur un Hamilto- nien non linéaire prodigué par [62], établi en considérant ~E comme le champ électrique fondamental.
Or nous rappelons que la démarche de quantification sur ~E en présence de non-linéarités est incor-
recte, et induit une erreur d’un facteur n dans l’amplitude, n étant l’ordre de non-linéarité considéré17.
Les changements obtenus peuvent paraître minimes vis-à-vis de l’effort accompli, cependant notre modèle dispose à présent d’une base solide et décrit la génération de paires de façon quantitative et correcte.
Nous noterons toutefois que les deux modèles restent très proches puisque ceux-ci suivent, du reste, la même logique. Leurs prédictions respectives se rejoignent par ailleurs qualitativement puisque les termes G et Funi, qui structurent la JSI et le spectre d’émission des paires, y sont identiques.
Le modèle théorique complet étant à présent à notre disposition, nous présentons dans la suite les résultats de simulation de la JSI afin de d’étudier son comportement plus en détails.