1
etPour la réflexion en A : car
la réflexion d’un milieu 1 sur un milieu intro-duit un déphasage supplémentaire.
Pour la réflexion en B : car
la réflexion d’un milieu sur un milieu d’indice 1 n’introduit pas de déphasage supplémentaire.
De même,
2
La période de et est :donc on fait la moyenne temporelle sur deux périodes du signal, le résultat est le même que sur une période du signal.
La période de avec n entier
strictement positif, est donc on fait la moyenne temporelle sur n périodes du signal, le résultat est le même que sur une période du signal.
et
3
m, m etm avec la formule des miroirs et L’image est donc virtuelle, droite et plus petite On retrouve le rétroviseur.
corrigés
34
4
m d’oùest quasi confondu avec
l’image est très petite, renversée, de taille 2 mm. Pour la lentille divergente,
l’objet est virtuel car cm donc cm et la taille de l’image finale est de 16 mm. Elle est toujours renversée.
Attention,
1
Nous supposons que le disque n’empêche pas de voir le miroir si l’œil est suffisamment loin. Nous construi-sons l’image des deux extrémités E et H (d’un diamètre du disque) par le miroir concave. Comme le disque est situé dans son plan focal, cela correspond à deux direc-tions de droite et Chacune fait un angle avec l’axe optique etNous construisons les rayons extrêmes issus de E et H qui se réfléchissent sur les bords du miroir. Nous avons donc pour observer toute la surface du miroir éclairée. A.N. : m.
2
d’après l’énoncé et cmpuisqu’il a fallu reculer l’écran. et
d’où cm et cm.
L’image est bien réelle (visible sur un écran) tandis que est un objet virtuel pour la lentille ajoutée.
La lentille est de distance focale
A.N. : cm. Il s’agit donc bien d’une lentille divergente. On remarque que est confondu avec le foyer objet de la lentille.
3
1. Si il y a réflexiontotale pour tout angle d’incidence tel que ou
On parle de réfraction limite pour l’angle d’incidence car
2. Un milieu d’indice est inséré entre deux milieux d’indice L’ensemble est placé dans un milieu d’indice avec la condition La lumière ne doit pas sortir du milieu. Le phénomène de réflexion totale doit avoir lieu, ce qui est possible si
A.N. : L’onde peut alors être
guidée dans la fibre.
3. à l’entrée du guide et soit l’angle que font les deux rayons les plus inclinés par rap-port à l’axe. et
ce qui implique
uE uH. α
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A.N. : donc l’angle formé par les deux rayons les plus inclinés est
Pour les rayons en sortie, le raisonnement est le même et l’angle formé vaut aussi 10,4°.
4. L’allongement des impulsions est dû au trajet de lon-gueur variable dans le milieu 1 suivant l’angle à l’entrée : La durée minimale est pour un trajet L dans la fibre avec :
La durée maximale est pour un trajet
dans la fibre avec : d’où un
écart temporel
A.N. : , ns. On
peut donc négliger l’allongement de l’impulsion.
4
1. La connaissance des miroirs permet de répondre de manière efficace à la première question. L’objet est réel, à l’infini, dans une direction parallèle à l’axe, donc l’image intermédiaire est le foyer du miroir concave 2. Pour le miroir convexe 1, l’objet doit être vir-tuel entre et afin d’obtenir une image réelle défi-nitive. Nécessairement, est entre et
En effet, la formule des miroirs donne
On remarque que, pour un miroir convexe ( ) et un objet virtuel (
donc l’image ne sera réelle que si ce qui implique donc
L’objet virtuel doit être situé entre le sommet et le foyer du miroir convexe.
(voir figure). L’image est telle que :
Attention, le miroir 1 a beau être convexe, étant donné l’orientation des axes, Le miroir 2 est concave avec
A.N. : m.
2. Le télescope se ramène à une lentille convergente dont il nous faut déterminer la distance focale. Calculons la taille de l’image finale. Le miroir 2 donne et le miroir 1 a un grandissement
rad, Conseil : cette conversion est à savoir faire sans
hésita-tion. mm.
Pour la lentille équivalente, donc une dis-tance focale m. Le centre optique O de la lentille équivalente est tel que donc
m.
3. L’avantage du télescope est un encombrement réduit par rapport à la lentille et l’absence d’aberrations chro-matiques (pour une lentille, la distance focale dépend de l’indice du milieu donc de la longueur d’onde tandis que pour le miroir, la distance focale est la même pour toutes les longueurs d’onde).
5
miroir concave M2
β miroir convexe M1
S1
corrigés
36
1. Le miroir 1 donne d’un objet à l’infini de diamètre angulaire une image dans son plan focal de taille cm. Le miroir plan 2 fait le symétrique de cette image donc un objet de taille situé à 5 cm de la lentille donc dans son plan focal objet. L’image finale est à l’infini. Il s’agit en effet d’un système afocal. On peut remarquer que la lentille joue le rôle d’une loupe dans ce télescope et le miroir plan permet d’observer à 90° de la direction moyenne du faisceau incident.
2. Calculons le diamètre angulaire de l’image finale.
On a l’objet de taille pour la lentille et dans son plan focal objet, l’image finale est vue sous l’angle
Le grossissement est donc qui vaut 10. Le diamètre
angulaire de Jupiter vaut rad donc
le diamètre angulaire de l’image finale vaut
rad et l’œil verra une image non ponctuelle.
6
Pour réaliser un doublet afocal avec deux lentilles et il faut queOn peut associer deux lentilles convergentes (voir figure 1) avec l’utilisation pratique est l’expanseur ou réducteur de faisceau selon les valeurs de focale. Sur la figure, on voit que le grandissement vaut en valeur absolue Cette association renverse les objets et les angles.
On peut associer une lentille convergente et une lentille divergente. Si la lentille convergente est en premier (association 1 avec et le grossis-sement sera supérieur à 1 et si la lentille convergente est
en second (association 2 avec et
il sera inférieur à 1. L’association 1 correspond
à la lunette de Galilée qui grossit sans renverser (voir figure 2). L’association 2 ne renverse pas mais ne grossit pas (voir figure 3) donc n’a aucun intérêt comme lunette astronomique.
Enfin, l’association de deux lentilles divergentes ne peut pas réaliser un doublet afocal car
Intéressons-nous à la réalisation d’une lunette de Gali-lée. Nous avons construit sur la figure les rayons émer-gents correspondant à deux incidents venant de l’infini et faisant un angle avec l’axe optique (objet à l’infini).
Les rayons émergents font un angle avec l’axe opti-que et correspondent bien sûr à une image à l’infini car le doublet est afocal.
Explication de la construction : le rayon simple flèche passe par le centre optique de et n’est donc pas dévié. L’image de B à l’infini par est intersection du rayon avec le plan focal image de Le rayon double flèche doit entre et converger vers Après comment avoir la direction des rayons émergents ? On a choisi le rayon double flèche passant par et il n’est donc pas dévié par On obtient ainsi la direction des rayons émergents.
Pour calculer le grossissement utilisons
les triangles et
Conclusion : quelle que soit l’association : α
La lentille de Galilée grossit mais ne renverse pas.
L1 L2
Cette lunette ne renverse pas mais ne grossit pas.
L1 L2
37
7
1. On a forcément pour réaliser
un doublet afocal (voir figure ci-dessus). Sur la figure, on
peut calculer Quant au
grandisse-ment linéaire, il ne peut être défini que pour un objet à distance finie de taille d. On retrouve le montage réduc-teur ou expanseur de faisceau :
Voir la figure 1 de l’exercice 6.
On vérifie
2. L’œil d’un observateur, regardant à travers l’ocu-laire, voit nettement, sans accommoder, un objet AB situé à 20 cm en avant de la face d’entrée de l’objectif.
On a donc réglé de telle sorte que l’image finale soit à l’infini et l’image intermédiaire (antécédent de ) soit conjugué et de l’objet initial
AB. cm et
on en déduit
cm et cm.
Le grandissement de la première lentille vaut
avec A.N. :
3. Quelle région de l’espace peut voir l’observateur à travers le viseur ? Appelons O l’œil, notons
L’oeil peut voir les antécédents donnant des images fina-les entre le punctum proximum (à et le punctum Remarquons que est virtuel car
ce qui donne
Pour cm, l’œil est collé à l’oculaire, l’œil peut voir une région qui va de 20 cm à 19,8 cm en avant de la face d’entrée de l’objectif. Cette plage est appelée la lati-tude de mise au point du viseur. Si cm, la latitude de mise au point augmente légèrement ce qui n’est pas un avantage. On a intérêt à ce qu’elle soit la plus petite possible afin de minimiser l’erreur de mesure faite quand on effectue des pointés en optique avec un viseur.
Le viseur décrit ici est millimétrique. Il existe des viseurs submillimétriques voire micrométriques mais leur prix est nettement plus élevé.
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1. Soit A un point objet, on veut que m, on en déduitcm (calculé avec
donc cm.
2. On met au point sur l’infini donc la pellicule (ᏼ) est dans le plan focal image de l’objectif. Un point objet A donne un point image et cela forme sur la pellicule une tache de diamètre (voir figure ci-dessus).
L1
corrigés
3. Plus la distance est petite, meilleure est la pro-fondeur de champ. En effet, quand on met au point sur l’infini, tous les points objets A tels que
seront vus nets sur l’image.
La relation des photographes permet de choisir le numéro de diaphragme en fonction de la profondeur de champ souhaitée. Si on ouvre le diaphragme, R aug-mente, le numéro n diminue, plus de lumière entre dans l’appareil mais augmente et cela fait diminuer la profondeur de champ. Inversement, si on souhaite aug-menter la profondeur de champ, il faut fermer le diaphragme et moins de lumière entrera dans l’appareil.
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1. Sur le schéma du dispositif (attention l’échelle n’est pas respectée), commentons la marche des 2 rayons lumineux issus du point B de l’objet AB, l’un émis paral-lèlement à l’axe optique (simple flèche), l’autre passant par (double flèche), foyer objet de l’objectif. Le pre-mier émerge en passant par tandis que le second émerge parallèlement à l’axe. L’intersection des deux rayons donne l’image intermédiaire Comme le microscope est réglé pour donner une image à l’infini de l’objet réel, nécessairement La direction de l’image à l’infini est déterminée par le second rayon.
Pour l’oculaire, il est incident parallèle à l’axe optique donc il émerge en passant par
a. Avec l’oculaire seul et pour un objet AB,
car l’oculaire fonctionne en loupe ; à l’œil nu, ; on peut alors calculer le grossissement
com-mercial de l’oculaire seul A.N. :
cm.
b.L’intervalle optique correspond à la distance La valeur absolue du grandissement vaut :
A.N. : mm.
Pour positionner l’objet, il faut calculer la distance telle que l’image définitive soit à l’infini.
il en résulte que :
A.N. : mm et mm.
c. Pour déterminer la latitude de mise au point, il faut déterminer les positions de l’objet donnant une image définitive comprise entre le punctum proximum (à et le punctum remotum (à l’infini) de l’œil emmétrope (nor-mal). L’œil est situé en Pour une image finale à l’infini, A est l’antécédent de par l’objectif. Pour une image finale à étant supérieure à l’image est virtuelle et ce qui nous permet de détermi-ner la position de l’antécédent par l’oculaire et ensuite par l’objectif.
Les formules de Newton sont particulièrement effi-caces dans ce cas. Rappelons-les :
et appliquons-les
au microscope. et
Pour une image finale à l’infini, A est l’antécédent de par l’objectif donc on peut écrire :
et
d’où On retrouve bien le résultat de la question 1. b. avec le signe en plus.
Pour une image finale à est l’antécédent de ( par l’oculaire donc on peut écrire :
et ainsi que
A est l’antécédent de par l’objectif donc on peut
écrire et
et
A.N. : varie entre – 4,098 5 cm et – 4,1 cm donc de mm. La latitude de mise au point d’un micros-Φ 2RF′A′
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cope est donc très précise. Elle est micrométrique d’où la présence d’une vis micrométrique sur le microscope réel pour réaliser la mise au point.
d.Dans le cas d’une image finale à l’infini, le grossisse-ment commercial du microscope est par définition
et
A.N. :
2. A.N. Le microscope n’est
donc pas utilisé dans les conditions de Gauss. Il faudra corriger les aberrations sphériques : les rayons issus du point objet A ne convergent pas exactement tous en image de A dans les conditions de Gauss. Le diamètre D de la monture de l’objectif doit être de l’ordre de pour des rayons issus de A c’est-à-dire mm.
3. Notons la position sur l’axe de l’image de la monture de l’objectif à travers l’oculaire.
Avec la formule de Descartes et avec nous obtenons
A.N. : cm.
Quant à la taille du cercle oculaire, elle vaut : A.N. : 1,1 mm.
L’ordre de grandeur de la pupille de l’œil est de quelques mm. Si on place l’œil dans le plan du cercle oculaire, on récupère tous les rayons issus de l’objet initial Il est inutile d’augmenter le grossissement de l’oculaire car d’une part, l’œil ne récupère pas tous les rayons et d’autre part, on est limité par le phénomène de diffrac-tion par la monture de l’objectif quand il s’agit du pou-voir séparateur du microscope. On va aborder ce problème dans la question suivante.
4. a. La lumière est transmise par le réseau si les ondes diffractées par les traits sont en phase donc si le déphasage entre deux ondes diffractées par deux traits consécutifs est un multiple de La formule des réseaux donne en incidence normale :
avec p entier relatif.
Au premier ordre dans l’air, ce qui nous renseigne sur d, le pas du réseau.
Pour que le microscope transmette cette information, il
faut que ou
A.N. avec :
b.Le critère de Rayleigh donne Il s’agit de la formule de diffraction par une ouverture cir-culaire. A.N. En théorie, il faudrait diminuer ce qui pose problème dans le visible (on est de toute façon limité à et augmenter ce qui pose des difficultés techniques, les aberrations sphériques augmentent et cela devient d’autant plus dif-ficile d’y remédier.
c. Un globule sanguin a une taille de l’ordre du µm.
On peut observer des globules sanguins car le pouvoir séparateur est inférieur à leur taille. Le microscope se comporte, en effet, comme un filtre passe-bas pour les fréquences spatiales qui sont l’inverse de longueurs.
On peut définir une fréquence de coupure qui cor-respond à une limite angulaire des rayons entrant dans le microscope par l’objectif. Seuls les rayons peu incli-nés (angle θ1) entrent dans le microscope.
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Un rayon de lumière monochromatique pénètre dans une boule homogène d’indice n sous l’incidence i, il subit p réflexions partielles à l’intérieur de la boule avant de sortir.
1. Pour une réflexion partielle à l’intérieur de la boule (voir figure ci-dessus), on va calculer la déviation pas à pas. Compte tenu de l’orientation choisie pour les angles, à l’entrée de la sphère, la réfraction dévie le rayon lumi-neux de La réflexion à l’intérieur dévie de La réfraction à la sortie dévie à nouveau de D’où
une déviation totale de Pour p
réflexions partielles à l’intérieur de la sphère, la déviation sera
corrigés
40
comme et
r est plus petit que i d’où ; il existe donc une valeur de i qui annule la dérivée.
Pour calculer la valeur de im, p :
d’où
A.N. : Pour on trouve
3. Après une pluie, on peut considérer que nous avons des gouttes d’eau sphériques dans l’atmosphère. Si le Soleil brille et que l’observateur a le Soleil dans le dos alors on est dans les conditions d’observation d’une déviation minimale. En raison de ce minimum,
l’obser-vateur va voir de la lumière concentrée dans un cône de sommet l’œil de l’observateur et de demi-angle au som-met
Quand la longueur d’onde varie, l’indice du milieu varie en sens inverse donc la déviation sera plus impor-tante pour les grandes longueurs d’onde.
Pour on peut observer un deuxième arc inversé du point de vue des couleurs par rapport au premier (il faut étudier la fonc-tion il est beaucoup moins lumineux mais on l’observe très bien dans de bonnes conditions, c’est-à-dire avec le Soleil en face de l’observateur. Attention, les arcs dits surnuméraires sont dus à des interférences lumineuses.
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Décomposons le problème. Soit un rayonlumi-neux de vecteur unitaire Pour une
réflexion sur le miroir plan O y z, le rayon réfléchi a pour vecteur unitaire Pour la deuxième réflexion sur le miroir plan le rayon réfléchi a pour vecteur unitaire Pour la troisième réflexion sur le miroir plan le rayon réfléchi a pour vecteur uni-taire Après trois réflexions successi-ves sur les trois miroirs, le rayon repart dans la même direction mais en sens inverse.
Le résultat ne dépend pas de l’ordre des réflexions.
dD