3 Cas particulier des pupilles opaques ou transparentes

L’avantage de ces pupilles réside dans le fait que le calcul est grandement simplifié et que leur réalisation pratique est particulièrement simple. Soit elle laisse passer la lumière, soit elle l’occulte complètement. Soit dans certains domaines, soit

dans les autres.

3.1. Pupille rectangulaire et cas limite de la fente

3.1.1.Pupille rectangulaire

Soit un rectangle découpé dans un écran opaque. On peut définir la transparence

com-plexe par : si et si alors sinon

Si la transparence est réelle, la figure de diffraction est centrée sur l’image géométrique de la source.

Oyz, i_y

θ_y Remarque

Les problèmes don-nent parfois les vec-teurs et il faut s’adapter à l’énoncé.

ki kd,

k_x 2πn

---λ (sinθ_x–sini_x) –

= k_y 2πn

---λ (sinθ_y–sini_y) –

a_diffractée(k_x, k_y)=Ke^iωt T x, y( )e^–^{i k}⁽ ^x^x⁺^k^y^y⁾dxdy

∞ –

∫

∞

∞ –

∫

∞

a_diffractée(–k_x, –k_y)= Ke^iωt T x, y( )e^{i k}⁽ ^x^x⁺^k^y^y⁾dxdy

∞ –

∫

∞

∞ –

∫

∞

a_diffractée^∗ (k_x, k_y)= K^∗e^–^iωt T^∗(x, y)e^{i k}⁽ ^x^x⁺^k^y^y⁾dxdy

∞ –

∫

∞

∞ –

∫

∞

T x y( , )= T^∗(x y, ),

I_diffractée(–k_x, –k_y) = I_diffractée(k_x, k_y)

k_x = 0, k_y = 0

T x y( , ) (0, 0)

∆

∆.

T x y( , ) = 1 T x y( , ) = 0

T x, y( ) a 2

---– x a

---≤ ---≤ b

---– y b

---≤ ---≤ T x, y( )=1 T x, y( ) = 0.

137 Calculons l’amplitude diffractée par cette pupille dite rectangulaire :

On ne peut pas accéder à la constante C car nous ne connaissons pas la constante de pro-portionnalité pour l’intensité. Cela ne serait, de toute façon, d’aucune utilité. On préfère se référer au point de l’écran où l’intensité est maximale :

L’étude de la fonction sinus cardinal et de son carré est donnée dans l’annexe « Éléments de mathématiques ». Étant donné la décroissance extrêmement rapide du carré de sinus cardinal (figure 4a et 4b), quand on fait l’expérience, on observe une sorte de croix (figure 5).

La période en des annulations de est ; la période en des annulations

de est

d’où une période en : ;

d’où une période en : Dans l’air,

pour une pupille plane rectangu-laire de surface ab.

a_diffractée( )M =Ke^iωt _b e^–^{i k}⁽ ^x^x⁺^k^y^y⁾dxdy=Ke^iωt

retenir l’essentiel

138

On peut dire que la figure de diffraction possède une tache centrale en forme de rectangle, tache centrée sur l’image géométrique de la source, d’extensions spatiales dans l’air : selon et selon . Les maxima secondaires ont une largeur moitié de celle de la tache centrale. L’intensité des premiers maxima secondaires ne vaut plus que 4,5 % de l’intensité maximale obtenue en l’image géométrique de la source.

Quand on observe à l’infini sans lentille, en fait à très grande distance D, il suffit de rem-placer dans les formules la distance focale par D, d’où l’intérêt de retenir pour la tache centrale les formules donnant les extensions angulaires plutôt que les distances.

3.1.2.Cas limite de la fente infiniment fine

On utilise souvent dans les expériences des diaphragmes de type fente, c’est-à-dire un rec-tangle tel que ou Pour effectuer les calculs, on va modéliser la fente réelle par une fente infiniment fine en faisant tendre l’une des deux dimensions vers l’infini (ici b) et l’autre vers 0 tout en maintenant le produit ab constant.

Quand b tend vers l’infini, se comporte comme une fonction de Dirac car elle tend vers l’infini en et sa largeur tend vers 0. Elle est nulle partout ailleurs.

Reprenons les calculs de la pupille rectangulaire avec

Finalement :

Les extensions angulaires de la tache centrale de diffraction pour un rectangle de surface ab : et selon les deux directions concernées. La tache centrale est deux fois plus grande que les taches secondaires. Les détails les plus petits dans la pupille donnent les effets les plus grands dans la figure de diffraction.

Diffraction par une pupille rectangulaire Fig. 5

2λf′₂ ---a F₂′x₂ 2λf′₂

---b F′₂y₂

2λ a--- 2λ

---b

ab ab.

bsinc k_yb 2

--- 

 

k_y = 0 4π

---b Remarque

On se servira souvent de ce résultat.

Pour k_y≠0, bsinc k_yb 2

--- 

  =0

blim→∞

ab.

a_diffractée(k_x, k_y) Ke^iωtasinc k_xa 2

--- 

 bsinc k_yb 2

--- 

 

a_diffractée(k_x, 0) Ke^iωtabsinc k_xa 2

--- 

 ,

a_diffractée(k_x,k_y) = 0 k_y≠0,

139 Nous observons sur l’écran une figure de diffraction (figure 6) qui s’étend linéiquement dans une direction perpendiculaire à la direction de la fente. En effet, la fente est selon car ; la figure s’étend selon un axe parallèle à car il n’y a de la lumière que

pour donc pour fixé.

Ce résultat n’est pas surprenant, cela ne diffracte plus dans la direction car la pupille est de longueur infinie selon c’est-à-dire de longueur

Quand la largeur a de la fente varie et augmente (voir figure 7), l’intensité est non nulle dans une région de plus en plus petite qui correspond à l’image géométrique de la source.

Quand la largeur a de la fente varie et diminue, l’intensité est non nulle dans une région de plus en plus grande.

si I_diffractée(k_x,0) I(0, 0)sinc² k_xa

--- 

 ,

I_diffractée(k_x,k_y) = 0 k_y≠0.

Diffraction par une fente infiniment fine Fig. 6

ab F′₂x₂

k_y = 0 y₂ f′₂y₁ f′₁ ---–

F′₂y₂

Oy, bλ.

Influence de la longueur de la fente

I I₀ ----1

0,8

0,6

0,4

0,2

a 2a

k_x 2π

---a 2π

---a –

a 2

---a 4

---Les largeurs étudiées sont 2a, a, ,

a 2 --- a

4 --- .

4π ---a

– 4π

---a

Fig. 7

retenir l’essentiel

140

3.2. Trou circulaire

Les calculs sont hors programme (le calcul nécessite les fonctions de Bessel). Ils donnent l’intensité diffractée en fonction de l’angle (figure 8a). En revanche, il faut connaître les résultats suivants : la figure de diffraction a la symétrie de révolution autour de l’image géométrique de la source. Le rayon angulaire du premier anneau sombre est avec R le rayon du trou, donc le diamètre de la tache centrale lumineuse est

On appelle la tache centrale la tache d’Airy (figure 8b). L’intensité décroît très vite, le pre-mier maximum secondaire ne vaut plus que 1,75 % de l’intensité maximale à comparer au 4,5 % de l’intensité diffractée par la fente rectangulaire. On dit qu’il y a apodisation et il est préférable pour séparer des images très proches que les « pieds » soient les plus petits possible (voir § 6).

PC

PSI

_0,61λ

R ---1,22λ

R---.

a) Intensité d’Airy

I I₀ 1

----0,8

0,6

0,4

0,2

0 0,61λ

R ----0,61

– λ

R---- Rayon angulaire

b) Tache d’Airy

1,75 %

Fig. 8

141

3.3. Diffraction par un bord d’écran

Si on éclaire un bord d’écran par une onde incidente plane (faisceau laser élargi avec un expanseur de faisceau dans la direction du bord d’écran), on peut observer de la diffrac-tion typique d’un bord d’écran (figure 9). Le calcul est hors programme car il relève de la diffraction de Fresnel. On observe l’« ombre » de l’écran et une zone avec des alternances d’intensité maximale et nulle qu’il ne faut pas confondre avec des franges d’interférences rectilignes (les franges d’interférences rectilignes sont équidistantes).

4 Effets sur la figure de diffraction

Dans le document Optique ondulatoire - Cours 2 pdf (Page 136-141)