2 – Interféromètre de Fabry-Pérot (d’après CCP)

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L’interféromètre de Fabry-Pérot est constitué de deux lames de verre. Les deux faces M₁ et ont été polies avec soin et ont reçu un traitement de surface leur donnant un coefficient de réflexion élevé. La position des deux lames est normale-ment réglée pour que M₁ et soient parallèles. Le dispositif est éclairé avec une source étendue monochromatique qui émet des rayons d’égale amplitude dans tou-tes les directions. On néglige toutou-tes les réflexions et réfractions qui se produisent sur les faces des lames autres que M₁ et M₂.

Quel est le rôle de la lentille ? Quelle est la forme des franges d’interférences dans le plan d’observation ?

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Les deux miroirs sont identiques. On désigne par r et t les coefficients respectifs de réflexion et de transmission des deux lames pour les amplitudes des ondes lumineuses et par les coefficients correspondants pour les intensités lumineuses. On admet que transmission et réflexion se font sans déphasage et que r et t sont des nombres réels positifs. Du point de vue des ordres de grandeur, R et sont légèrement plus petits que l’unité.

On note le coefficient d’absorption des miroirs.

L’interféromètre de Fabry-Pérot est déréglé, les deux faces réfléchissantes font un très petit angle entre elles. Une source ponctuelle S est placée au foyer de la lentille la lentille reçoit la totalité des rayons sortant de l’interféro-mètre. Dans le plan focal de il se forme une série d’images ponctuelles

…, extrêmement voisines.

a.Calculer en fonction de l’angle et de la distance focale f de la lentille la distance entre les images et puis entre et Faire l’application numérique pour m et

source

étendue lentille L₁

interféromètre

Fabry-Pérot lentille L₂

achromatique écran

d’observation f distance focale de la lentille

M₁ M₂

d O

HP = f tani ≅ fi

M₂

L₂

R = r², T = t²

T1, R+T A_b = 1–(R+T)

S₁

S₄ L₂

M₂ M₁

L₁ S

α α

2α

L₁, L₂

L₂, S₁,S₂, S_n.

α L₂,

S₁ S₂ S₁ S₁₀. f = 1 α = 1′.

193 b.Dans le plan focal de la lentille L₂, on place une cellule photoélectrique qui

peut recevoir l’ensemble des images …, et qui délivre un signal électrique proportionnel au flux lumineux qu’elle reçoit. On désigne par le flux lumineux reçu par la cellule, en l’absence de l’interféromètre. Calculer en fonction de R et T les flux lumineux reçus par les différentes images

…, et en déduire le flux lumineux total P reçu par la cellule photoélec-trique.

c. On veut déterminer R, T et On réalise les manipulations suivantes : on mesure le flux reçu par la cellule, on mesure le flux quand une seule lame de l’interféromètre est placée entre les deux lentilles, enfin on mesure le flux total P reçu en présence de l’interféromètre. Exprimer R, T et en fonc-tion de P et

Faire l’application numérique pour mW, mW et mW.

En supposant R voisin de 1, calculer le numéro d’ordre n de l’image qui reçoit un flux lumineux fois plus faible que pour l’image Déterminer n littérale-ment puis numériquelittérale-ment.

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L’interféromètre de Fabry-Pérot est réglé, ses deux miroirs sont identiques et caractérisés par les coefficients r, t, et On néglige l’absorption dans les miroirs ( ). On utilise une source étendue monochromatique de longueur d’onde On considérera que les milieux à l’intérieur et à l’extérieur du Fabry-Pérot ont le même indice de réfraction, ainsi n’y a-t-il pas changement de direction du rayon lumineux entre l’entrée et la sortie de l’interféromètre.

a.On considère un rayon SI d’amplitude et d’angle d’incidence i. Montrer que le déphasage entre deux rayons successifs aux-quels il donne naissance vaut :

avec d la distance entre les deux lames de verre. Pourquoi peut-on considérer que la réflexion se fait sans déphasage ?

b.Calculer l’intensité lumineuse observée à l’infini dans la direction défi-nie par l’angle i, l’exprimer en fonction de R, T et Mettre l’expression obtenue sous la forme :

La fonction (fonction d’Airy) ne dépend que de et de R. Représenter graphiquement les variations de cette fonction pour et

c. Calculer l’interfrange en déphasage et la largeur de frange telle que, pour une frange donnée, l’intensité soit divisée par deux. On définit la finesse du Fabry-Pérot par La calculer pour R = 0,9. Que faut-il modifier pour obtenir des pics plus fins ? Comparer l’expression de F à celle du nombre de rayons utiles calculé à la question précédente 2 c. Comparer à un réseau de pas d.

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Valeurs numériques L’interféromètre a une épaisseur d de 1 cm, la distance focale f de la lentille L₂ vaut 1 m. Pourquoi la lentille est-elle achromatique ?

S₁,S₂, S_n…

P₀ P₀,

S₁,S₂, S_n

A_b.

P₀ P′

A_b P₀, P′.

P₀ = 100 P= 0,21 P′= 2 S_n

e⁶ S₁.

r² = R t² = T. R+T = 1

λ.

d M₁ S

M₂ I

a₀

φ 4πd

---λ cosi

I i( )

φ, a₀. I

I₀

--- T

1–R

--- 

 ²A(φ,R).

A(φ,R) φ

R = 0,2 R = 0,9.

∆φ F 2π

∆φ---.

L₂

savoir résoudre les exercices

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1

Le rôle de la lentille est de ramener le plan de l’infini à distance finie dans son plan focal image.

Le problème possède la symétrie de révolution autour de l’axe optique, ainsi la diffé-rence de marche ne dépend-elle que de l’angle i. Les franges de même intensité ont le même i. Les franges d’interférences dans le plan d’observation sont donc des anneaux circulaires, concentriques, d’axe l’axe optique.

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a. L’interféromètre de Fabry-Pérot est déréglé, on n’observe plus d’interférences. Par rapport à la situation lame à faces parallèles (miroir parallèle au miroir ), les miroirs ont chacun tourné d’un angle α. Le rayon réfléchi par tourne d’un angle 2α par rapport au rayon incident. Le rayon réfléchi par M₂ puis par M₁tourne d’un angle 4α par rapport au rayon incident et ainsi de suite.

L’image correspond à la transmission par les deux lames du rayon incident sans déviation tandis que l’image correspond à une rotation d’un angle par rapport au rayon incident. Finalement, (angle très petit) et

A.N. : cm et cm.

Déterminer les rayons et des quatre premiers anneaux pour deux longueurs d’onde particulières nm et nm. En déduire son pouvoir de résolution on considérera comme décelable un écart de longueur d’onde conduisant à un recouvrement des pics à mi-hauteur. On se place dans le cas Pourquoi peut-on dire que le Fabry-Pérot est un outil puis-sant de spectroscopie ?

ρ₁, ρ₂, ρ₃ ρ₄

λ₁ = 632,8 λ₂ = 633,0 λ

∆λ---,

∆λ

R = 0,9.

résolution méthodique

Les rayons qui interfèrent au point P correspondent à des rayons tous parallèles avant la lentille L₂. Les franges d’interférences sont donc localisées à l’infini. Avec une source étendue, les franges d’interférences correspondent au même incident primitif et la surface de localisation est l’ensem-ble des points d’intersection des émergents correspondant au même incident primitif.

L₂

M₁ M₂

M₂

M₁ M₂

4α 3α2αα

S₁

S₂ 4α

S₁S₂ = 4fα α S₁S₁₀ = 36fα.

S₁S₂ = 0,12 S₁S₁₀ = 1,04

195 b.L’image correspond à car elle correspond à la transmission par les deux

lames. L’image correspond à car elle correspond à deux transmissions et deux réflexions, ce que l’on voit bien sur la figure précédente. L’image correspond à

car elle correspond à deux transmissions et quatre réflexions.

L’image correspond à car elle correspond à deux transmissions et réflexions.

R est un réel positif inférieur à 1.

c. pour la transmission à travers une seule lame.

A.N. : et

d’où et

A.N. : donc c’est l’image

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a. La différence de marche entre deux rayons successifs auxquels il donne naissance vaut En effet, les deux rayons semblent provenir de deux sources virtuelles

et distantes de 2 d et font un angle i avec la nor-male aux deux lames.

car (H et appartiennent au même plan d’onde)

Le déphasage vaut : On peut considérer que la réflexion se fait sans déphasage supplémentaire car chaque réflexion sur une lame déphase de mais comme

les réflexions vont par paire, le déphasage supplémentaire vaut un multiple de donc un déphasage nul modulo

S₁ P₁ = T²P₀ S₂ P₂ = R²T²P₀

S₃ P₃ = R⁴T²P₀

S_n P_n = R²⁽ⁿ^–¹⁾T²P₀ 2(n–1)

P= P_n=P₀

n=1

∑

∞ ^R²⁽ⁿ^–¹⁾^T² n=1

∑

∞

P= P₀T²(1–R²ⁿ) 1–R²

--- P₀T² 1–R²

---=

nlim→∞

T P′

P₀

---= R+T+A_b = 1.

T = 0,02, R = 0,9 A_b = 0,08.

P_n R²⁽ⁿ^–¹⁾T²P₀ P₁ e⁶

---= = R²⁽ⁿ^–¹⁾ = e^–⁶ n 1 3

lnR ---.

–

n = 28,5 S₂₉.

S′1

S′2

M à l’infini

2dcosi. i

S′₁ S′₂

δ_{2 1}_⁄ = (S′₂M)–(S′₁M) = S′₂M S′– ₁M

S′₂H+HM S′– ₁M S′₂H S′₂S′₁cosi 2dcosi

= = = =

HM = S′₁M S′₁

φ 4πd

---λ cosi.

2π 2π.

Les ondes qui interférent en P sont cohérentes entre elles, on peut donc additionner leurs amplitudes. On réalise des interférences à une infinité d’ondes.

Attention : les interférences sont à une infinité d’ondes mais les amplitudes décroissent et finis-sent par être nulles.

savoir résoudre les exercices

196

Représentons graphiquement les variations de cette fonction pour et

On remarque que pour et 1,25 pour On remarque

que les pics sont plus fins pour .

c. L’interfrange est définie par l’intensité maximale vaut

La largeur de frange est définie par donc pour Cela défi-nit deux valeurs

La finesse du Fabry-Pérot vaut

A.N. : rad et

Pour obtenir des pics plus fins, il faudrait augmenter R et le rendre le plus proche possi-ble de 1. Le nombre de rayons utiles était 29 et la finesse est de l’ordre de En effet,

197 le nombre de rayons utiles augmente quand R se rapproche de 1, on a des interférences

à ondes cohérentes et la finesse augmente.

Pour un réseau de pas d, les pics se situent en incidence normale en et la largeur totale de frange vaut Les pics sont plus fins car ce sont des interférences à N ondes cohérentes avec

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La lentille est achromatique car si l’on veut séparer des longueurs d’onde, il ne faut pas projeter sur l’écran avec une lentille qui influe sur la longueur d’onde.

On calcule les rayons des anneaux en écrivant d’où et

On peut déceler un écart de longueur d’onde conduisant à un recouvrement des pics à mi-hauteur, cela correspond à une variation de déphasage de

d’où d et i ne variant pas.

Finalement, on peut écrire : et le pouvoir de résolution R vaut

A.N. :

Le Fabry-Pérot est un outil puissant de spectroscopie car il permet de déceler, en théorie, une variation de longueur d’onde à près dans le domaine du rouge ( nm).

Rayons des 4 premiers anneaux en mm pour nm et nm

λ₁ ρ₁ 5,9 9,9 12,73 15,02

p₁ 31 605 31 604 31 603 31 602

λ₂ ρ₂ 6,0 7,1 12,77 15,05

p₂ 31 595 31 594 31 593 31 592

n_u

φ 2πd ---λ 2pπ

= =

4π ---.N N n_u. L₂

2dcosi = pλ 2d 1 i² ----2

 – 

  = pλ ρ = fi.

p₀( )λ₁ 2d λ₁

--- 31 605,6

= = p₀( )λ₂ 2d

λ₂

--- 31 595,6.

= =

λ₁ = 632,8 λ₂ = 633,0

∆λ

∆φ 2π

---.F

= φ 4πd

---λ cosi

= ∆φ

---φ ∆λ ---,λ

∆λ

---λ 2πλ 4πdF--- λ

2dF

---= =

∆λ--- 2dF ---.λ

R λ

∆λ--- 10⁶.

= =

10^–⁶ λ = 633,0

Il faut savoir additionner une infinité d’ondes et bien évaluer leurs amplitudes.

en conclusion

s’entraîner

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➤ Corrigé p. 202

Calcul de l’incertitude sur la mesure

Dans le document Optique ondulatoire - Cours 2 pdf (Page 192-198)