3 Réseaux – Cas particulier du réseau par transmission

3.1. Description d’un réseau

Un réseau est une pupille plane opaque percée de N fentes identiques parallèles équidistantes (en fait, on a gravé N traits fins sur un support métallisé, traits de grande longueur l par rapport à leur épaisseur h, distants de a) (figure 4). Les N fentes en diffractant la lumière incidente vont jouer le rôle de N sources secondaires cohérentes. Sur la figure 5, on a tracé deux rayons inci-dents diffractés par deux traits du réseau situés respecti-vement en et

Calculons pour le réseau par transmission, dans l’air,

(voir § 1.2. chapitre 5).

Pour les maxima principaux (avec p entier) car toutes les vibrations doivent être en phase.

On obtient la relation appelée « formule des réseaux » : avec p entier, p appelé ordre de diffraction. donne l’image géométrique de la source, le faisceau n’est pas dévié

Cette formule donne la position en des faisceaux diffractés correspondant aux intensités maximales.

Remarque : pour un réseau donné et un faisceau incident donné ne dépend que de p et de

La demi-largeur en d’un maximum principal est car la demi-largeur en

déphasage est ( donne

Les fentes sont de largeur h, distantes de a. La largeur utile du réseau est avec N le nombre de traits éclairés par la source. On appelle apas du réseau.

La formule des réseaux par transmission : avec p entier donne la position en des faisceaux diffractés donnant les intensités maximales.

Elle exprime que les N ondes diffractées par le réseau sont en phase.

Ox ᐉ

Oy O₁

Réseau

O₂

Fig. 4

O₁ O₂.

O₂

Réseau par transmission

O₁ θ

u_d

u_i i

réseau S

Fig. 5

Φ_{2 1}_⁄ ( )M = k O⋅ ₁O₂ = (k_i–k_d)⋅O₁O₂ 2π

---λa(sinθ–sini)

Φ_{2 1}_⁄ ( )M = p2π

a(sinθ–sini) = pλ p = 0

θ = i.

θ λ. θ

sin λ

Na ---2π

---N 2π

---aαλ 2π ---N

= α λ

Na---).

a(sinθ_p_,_λ–sini) = pλ θ

181 correspond à la diffraction par un trait, est l’interfrange angulaire du phéno-mène d’interférences et correspond à la diffraction par tout le réseau (la partie éclairée). Il suffira de calculer les angles correspondants et de les multiplier par la distance adéquate (distance focale de la lentille ou distance pupille-écran).

• Ordres de grandeur

Sur un réseau est indiqué le nombre de traits par mm ou le nombre de lines per inch (LPI), il s’agit de Un inch vaut 2,54 cm. Par exemple : 570 traits par mm, 15 000 LPI (590 traits par mm).

Le pas a du réseau est de l’ordre de quelques mm donc de quelques longueurs d’onde dans le visible, h est de l’ordre de quelques La largeur des réseaux courants est de l’ordre de quelques cm, donc le nombre total de traits est de l’ordre de et le nombre N de traits éclairés est de l’ordre de

Le réseau est situé dans un montage de Fraunhofer et est éclairé par une fente source parallèle aux traits du réseau. Le programme prévoit de l’étudier uniquement en transmis-sion. Il est évident que la pupille diffracte aussi par réflexion.

Il sera utilisé en TP sur le goniomètre qui est idéal pour avoir un éclairage à l’infini (colli-mateur) et observer à l’infini (lunette autocollimatrice). On mettra une fente source devant le collimateur en raison de la diffraction linéique des traits fentes du réseau (voir le pro-blème des fentes d’Young, § 5 chapitre 5).

3.2. Amplitude et intensité diffractées à l’infini

La source primaire est à l’infini dans la direction L’amplitude diffractée à l’infini dans la direction s’écrit :

Or nous avons vu dans le chapitre diffraction (5.1) que la transformation mathématique qui permet de passer de la fente à la fente est une translation de vecteur :

et que :

Pour la pupille avec N fentes, notons et :

Les trois échelles spatiales du réseau sont :

ce qui donne trois échelles en sinq dans la figure de diffraction :

Les détails les plus petits dans la pupille diffractante donnent les effets les plus grands dans la figure de diffraction.

h a Na λ

---h λ

a--- λ Na---. λ

h--- λ

a ---λ

---1 a---.

0,1 µm.

10⁴ 10³.

u_i. u_d

a_diffractée( )M =Ke^iωt T P( )e^–^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅^OPdS_P

pupille

∫

F₁ F₂ O₁O₂

x₁₂,y₁₂

( )

a_F₂(k_x,k_y) a_F

1(k_x,k_y)e^–ⁱ⁽^k^x^x¹²⁺^k^y^y¹²).

a = O₁O₂ Φ_{2 1}_⁄ ( )M = k O⋅ ₁O₂ = k_xx₁₂+k_yy₁₂ a_N_fentes(k_x,k_y) = (1 e+ ^–ⁱ^{k O}^⋅ ¹Ô²+e^–²ⁱ^{k O}^⋅ ¹Ô²+…+e^–^{i N}⁽ ^–¹⁾^{k O}^⋅ ¹Ô²)a_{1 fente}(k_x,k_y)

a_N_fentes(k_x,k_y)= a_{1 fente}(k_x,k_y) e^–ⁱ⁽ⁿ^–¹^)Φ^{2 1}^⁄ ^{( )}^M

n=1

∑

a_N_fentes(k_x,k_y) a_{1 fente}(k_x,k_y) Nφ ---2 sin

φ 2 ---sin

---e^–ⁱ^N ¹

( – )φ ---2

retenir l’essentiel

182

Nous remarquons que l’amplitude de diffraction par une fente se met en facteur.

Calculons l’intensité due aux N ondes qui interfèrent au point M :

Si les fentes sont selon Oy si

Nous remarquons que l’intensité diffractée par N fentes est l’intensité diffractée par une fente que multiplie un terme d’interférences à N ondes. Les maxima principaux seront obtenus pour modulo Sur la figure 6, nous observons des pics (maxima principaux étroits) dont l’intensité est modulée par la diffraction par une fente.

3.3. TP Cours : Observations expérimentales – Spectroscopie

Rappelons que la spectroscopie permet d’analyser la composition spectrale de la lumière émise par une source et de mesurer les longueurs d’onde de raies.

3.3.1.Premières observations

Si on place un réseau sur le trajet d’un faisceau laser, on observe plusieurs points lumineux de part et d’autre de l’image géométrique par transmission du faisceau laser. On parle des images par diffraction du faisceau. En effet, la formule des réseaux nous permet de com-prendre qu’on observe plusieurs maxima principaux, mais combien ?

avec p entier d’où

Supposons que (incidence normale), comme alors

• correspond à l’image géométrique, nous obtenons valeurs positives de p et valeurs négatives de p. Nous pourrons donc observer images par diffraction.

Retenir × (terme d’interférences à N ondes)

I_N_fentes(k_x,k_y) I_{1 fente}(k_x,k_y)

Intensité diffractée par un réseau de 10 fentes en incidence normale et avec h a

183 Si on observe autant d’images mais elles ne sont plus réparties symétriquement par rapport à l’image géométrique.

Si on change de réseau et que le pas diminue (le nombre de traits par unité de longueur augmente), on observe moins d’images mais on constate qu’elles sont plus écartées.

Si on regarde une source de lumière blanche à travers un réseau, on observe l’image géo-métrique de l’objet observé, et de part et d’autre, des spectres continus de lumière blan-ches organisés linéiquement. On peut placer un stylo entre la source et le réseau. Si le stylo est parallèle aux traits du réseau, on observe alors des bandes parallèles au stylo colorées, de part et d’autre de l’image du stylo. Le stylo joue le rôle d’écran complémentaire à la fente source.

Le goniomètre est réglé au préalable : la lunette autocollimatrice est réglée en viseur à l’infini ce qui permet de régler ensuite le collimateur. La fente source est affinée. Nous sommes dans les conditions du montage de Fraunhofer : source à l’infini et observation à l’infini.

Si on place maintenant le réseau sur la platine du goniomètre, avec une fente source éclai-rée par la lampe à vapeur de mercure par exemple, on observe l’image géométrique de la fente source et de part et d’autre des fentes colorées ou raies correspondant au spectre d’émission de la lampe (à chaque longueur d’onde, correspond une raie). On observe plu-sieurs spectres allant du bleu vers le rouge. Ce qui est surprenant par rapport à la situa-tion avec le prisme !

L’explication est simple : avec la formule des réseaux, on prévoit à peu près

spectres de part et d’autre de l’image géométrique de la fente source ; l’angle de dévia-tion augmente quand l augmente. On constate que les raies proches telles que les dou-blets sont mieux séparées dans les ordres élevés : l’angle de déviation augmente quand l’ordre p augmente.

3.3.2.Pouvoir dispersif d’un réseau

On définit le pouvoir dispersif d’un réseau comme à angle d’incidence et ordre fixés.

Différentions la formule des réseaux : d’où

Quand on ne sépare pas un doublet à l’ordre 1, il est utile d’explorer les ordres plus élevés ; en cas d’échec, il faut changer de réseau et en choisir un de pas plus petit, donc avec un plus grand nombre de traits par unité de longueur (voir exercice n° 3 de « S’entraîner »).

Cependant, l’intensité diminue dans les ordres élevés. On travaille dans la tache cen-trale de diffraction de la fente source qui est plus étroite que la tache cencen-trale de diffraction par un trait du réseau.

Enfin, les spectres d’ordre p et peuvent se mélanger. On parle du chevauchement des spectres dans les ordres élevés (voir exercice n° 6 de « S’entraîner »). Ainsi, un même angle peut correspondre à et à

Pour un réseau donné et une longueur d’onde donnée, nous observons images de l’objet.

Le pouvoir dispersif d’un réseau augmente avec l’ordre et avec le nombre de traits du réseau par unité de longueur.

i≠0, –1 sini pλ ---a

+ 1,

2E a λ

---   +1

Remarque Rappelons-nous que l’indice du verre constituant le prisme dépendant de la lon-gueur d’onde :

le prisme permet de séparer spatialement les longueurs d’on-de. On observe un spectre de raies, le bleu est plus dévié que le rouge.

(n A B

λ² ---), +

E a

λ_moyen

--- 

 

δθ δλ ---θdθ

cos p

a--dλ

= δθ

δλ--- p acosθ ---.

p+1

θ (λ₁,p₁) (λ₂,p₂).

retenir l’essentiel

184

3.3.3.Mesure du pas d’un réseau en incidence normale

On place le réseau sur la platine du goniomètre (réglé) et on règle l’horizontalité de la platine à savoir que l’axe de la lunette doit être perpendiculaire à l’axe de rotation de la platine. Ce réglage n’est plus exigible à l’épreuve de TP des concours. Cependant, il est indispensable à la précision des mesures qui vont être effectuées. On utilise la lampe à vapeur de mercure-cadmium pour obtenir plus de raies (voir tableau 1).

Tableau 1 – Longueurs d’onde des lampes spectrales

On se place en incidence normale par autocollimation sur le réseau :

햲 On met le réticule de la lunette en coïncidence avec l’image géométrique de la fente

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