Partie A
Soit un miroir plan perpendiculaire à un axe soit S le point du miroir plan appartenant à l’axe Il est éclairé par une source ponctuelle réelle située sur
1
Où se trouve l’image de à travers le miroir ? est-elle en phase avec? Comment se déplace l’image quand on translate le miroir plan de la dis-tance selon l’axe ?
2
Soit un miroir convexe de même sommet que le miroir plan, de centre C et de rayon soit l’image d’une source ponctuelle réelle située sur par réflexion sur le miroir et soit le symétrique de par rapport à S. a.Donner la relation de conjugaison donnant la position deb.Donner l’expression simplifiée de en fonction de et de en sup-posant très grand devant
c. Situer alors par rapport à et justifier que l’image puisse être consi-dérée comme en retard de phase de sur la source
∆Φ = ∆p2π N E ∆Φ
---2π
E 2d
---Λ
= =
1 λ--- ν
---,c
= dλ
λ2
---– dν
---c
= ∆λ
λ02 --- ∆ν
---c
= Λ c
∆ν---.
=
∆ν = 100 GHz, ∆λ = 0,2 nm Λ = 3 10· –3 m.
N = 322 ∆p = 322,5 d ∆pΛ
----2.
= d = 0,483 750 m
∆p 1
4--- ∆d Λ
----8 375 µm.
= =
d = 0,483 750 0,000 375 m± d = 0,483 8 ± 0,000 4 m.
Retenir que l’interféromètre de Michelson permet des mesures précises de distance car on peut repérer le défilement de franges brillantes et(ou) de franges noires.
On évalue la différence de marche optique à près et on en déduit l’incertitude sur la mesure de distance.
λ0 ---4
en conclusion
(Oz),
(Oz). A0
(Oz).
As A0 As
A0
S1S2 (Oz)
R = SC, Ac A0
(Oz) As A0
Ac.
AcAs SA0 SC
SC SA0.
Ac As Ac
2π
---Aλ cAs+π A0.
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88
Partie B
On considère un système interférentiel type interféromètre de Michelson en lame d’air à faces parallèles. Il est constitué de deux miroirs plans et de som-mets et respectivement et d’une lame semi-réfléchissante inclinée à et considérée comme infiniment mince. On note et les deux images de par le dispositif. Soit le symétrique de par rapport à la séparatrice.
3
La source ponctuelle est monochromatique de longueur d’onde On pose On observe le phénomène d’interférences dans le plan focal image de la lentille convergente en notant i l’angle d’émergence, i supposé petit. Le faisceau lumineux conique issu de éclaire donc les deux miroirs et donne deux imageset sources virtuelles cohérentes pour le phénomène d’interférences.
a.Soit un rayon incident issu de et faisant un petit angle i avec la normale aux deux miroirs, démontrer et exprimer la différence de marche optique en un point M de l’écran (où interfèrent deux rayons) en fonction de i et de Déterminer l’ordre d’interférences en fonction de i et de e. Le mettre sous la forme avec l’ordre d’interférences au cen-tre des anneaux et préciser la fonction
b.En supposant l’ordre entier en donner l’expression du rayon angu-laire dunième anneau brillant.
c. Calculer le nombre d’anneaux brillants de rayon inférieur ou égal à 5 cm pour une lentille de distance focale égale à 1 m. Faire l’application numérique
avec et
4
On ramène en (contact optique) et on étudie maintenant la déformation du miroir qui devient sphérique convexe sous l’effet de contraintes mécani-ques, son sommet demeurant en On note R son rayon de courbure et C son centre situé sur On suppose R très grand.a.Qu’observe-t-on sur l’écran avant la déformation du miroir ?
b.En utilisant les résultats précédents (partie A) et déterminer le nouvel ordre d’interférences en fonction de i, D et R. peut se met-tre sous la forme préciser le nouvel ordre d’interférences au centre des anneaux et l’épaisseur équivalente. Quand R tend vers l’infini, est-ce pertinent ?
M1 M2
S1 S2 45°
A1 A2 A0
S′1 S1
miroir M2
source
séparatrice
lentille miroir M1
écran = plan focal image S2
S1′
Oz M i
S1 A0
Oy
λ.
D = A0S1.
A0 A1 A2,
A0
e = S2S′1. p M( )
p M( ) = p0+f i( ) p0 f i( ).
i = 0, in
λ = 0,5 µm e = 0,8 mm.
S2 S′1 M2
S2 S′1.
S2z.
M2 D = A0S1,
p′( )M p′( )M
p′( )M = p′0+f i( ), p′0 e′
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Partie A
1
est le symétrique de par rapport au miroir plan. Il est déphasé de par rapport à en raison de la réflexion métallique. Si on translate le miroir de la distance selon l’axe se déplace de selon l’axe dans le même sens que le miroir.2
a. Utilisons la formule des miroirs : Le miroir est convexe,b. pour le symétrique de
Comme
Conclusion : quand
c. L’image peut être considérée comme en retard de phase sur la source de en raison de la réflexion métallique.
c. Faire l’application numérique avec et pour une
lentille de distance focale égale à 1 m. Connaissant le rayon du troisième anneau brillant 3 cm, calculer le rayon R du miroir déformé et commenter cette méthode de mesure.
D = 20 cm, λ = 0,5 µm M2
résolution méthodique
As A0 π
A0 S1S2
(Oz), As 2S1S2 (Oz)
1 SAc --- 1
SA0
---+ 2
SC ---.
= SC=R0.
SAc RSA0
2SA0–R
---=
SAs = –SA0 A0.
A0 S Ac As Oz
SA0= SAs
AcAs SAs–SAc –SA0 RSA0
2SA0–R
---– SA0 1 R
R 1 2SA0
---R
–
---–
–
= = =
RSA0, AcAs SA0 1 2SA0
---R –1
+
≈ 2SA02
---.R
=
RSA0, AcAs 2SA02
---R 0
≈ AcAs = AcAs. Ac
A0 2π
---λAcAs+π, π
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savoir résoudre les exercices
90
Partie B
3
a. Comme dans la résolution de la question 1 de l’exercice 1, après avoir évoqué l’équivalence de l’interféromètre à une lame d’air à faces parallèles d’épaisseuron calcule la différence de marche.
Elle vaut :
car avec H la projection orthogonale de sur le rayon issu de (voir question 1 de l’exercice 1).
L’ordre d’interférences au point M vaut Il n’y
a pas de déphasage supplémentaire, pour les deux réflexions métalliques.
Pour de petits angles :
b.On suppose que est entier. Le centre de la figure d’interférences sera brillant mais on ne le comptabilise pas dans les anneaux brillants. Le rayon angulaire du premier anneau brillant sera obtenu pour et le rayon angulaire du nième anneau brillant sera obtenu pour
Les angles étant petits, on peut écrire que : d’où c. Le rayon du nième anneau brillant vaut
exprimée en cm. On peut donc observer 4 anneaux brillants de rayon inférieur ou égal à 5 cm.
A.N. : Pour Pour Pour
Pour
4
a. Avant la déformation du miroir on observe un éclairement uniforme sur l’écran, nous sommes au contact optique.b.Après déformation, les deux sources virtuelles sont inchangée et Notons le
symétrique de A0 par rapport à la séparatrice et
avec les notations de la partie A. se situe à la distance de et est en retard de phase sur de d’où un nouvel ordre d’interférences.
avec équivalent à donnant l’épaisseur équivalente.
Quand R tend vers l’infini, tend vers 0 car on était au contact optique et l’épaisseur équivalente est nulle. tend vers 0. Le résultat est pertinent.
c. Calculons le rayon du troisième anneau brillant sur l’écran en fonction de R (unique
inconnue), et
91 A.N. :
Cette méthode de mesure requiert une précision suffisante sur la mesure du rayon des anneaux. La mesure d’un rayon est à la demi-épaisseur du rayon près.
3 e′i32 ---λ p′0i32
----2 2D2 ---λRi32
----2
= = =
R D2ρ32 3λf2
---= R = 24 m.
La maîtrise de l’optique géométrique est indispensable pour calculer les déphasages dans un problème d’interférences. Quand il y a déformation d’une partie du disposi-tif, l’ordre d’interférences au centre peut changer.
en conclusion
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s’entraîner
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➤ Corrigé p. 96