2 Franges d’interférences et localisation des franges avec une source étendue

2.1. Cas d’une source ponctuelle

•

D’une source ponctuelle, partent un très grand nombre de rayons. Ceux de type (1) sont transmis par la séparatrice, se réfléchissent sur puis sur la séparatrice pour se diriger vers la sortie du Michelson ; ceux de type (2) se réfléchissent sur la séparatrice, se réflé-chissent sur puis sont transmis par la séparatrice pour se diriger vers la sortie du Michelson. En tout point M interfèrent un rayon de type (1) semblant provenir de et un rayon de type (2) semblant provenir de Les franges d’interférences ne sont pas localisées et sont visibles dans tout le champ d’interférences. Ce sont des hyperboloïdes de révolution autour de l’axe

•

Il faut préciser la position de l’écran, comme nous l’avons vu dans le chapitre 2.

Dans la pratique, l’écran est perpendiculaire à la direction du Michelson.

– Si l’écran est parallèle au plan contenant les deux sources et suffisamment loin, on observera des franges quasi rectilignes. Dans la configuration du coin d’air, l’angle étant faible, on peut, si on éclaire en incidence quasi normale, obtenir les deux sources secondaires virtuelles dans un plan quasi parallèle à

Remarque : l’angle entre les deux miroirs est faible, de l’ordre de la minute d’arc

à quand on observe des franges quasi rectilignes. En raison de la cohérence temporelle l’angle doit être suffisamment petit pour permettre l’observation des franges et la distance moyenne entre les deux miroirs ne doit pas excé-der le mm.

– Si l’écran est perpendiculaire à l’axe des deux sources, on observera des franges circulaires ; ce dernier cas est toujours réalisé avec la configuration lame d’air à faces parallèles.

Les deux sources secondaires virtuelles sont situées sur un axe selon la direction du Michelson.

V_c V′_c (OZ)

(OX) (OY)).

M₁, V₁ V′₁ O₁YZ

( )

M₂, V₂ V′₂ O₂XZ

( ).

M₁ V_t

500 µm. 10 µm 5 µm.

M₁

M₁ M₂

S′₁ S′₂.

S′₁S′₂.

(OY)

α (OXZ).

(α≈10^–⁵ 10^–³ rad)

δ_{2 1}_⁄ ( )M l_c = cτ,

(OY)

2.2. Cas d’une source étendue – Théorème de localisation

Une source ne peut jamais être ponctuelle. De plus, pour des raisons de luminosité, on peut être amené à étendre la source. On a vu dans le chapitre 2 que c’était au détriment du contraste. En effet, deux points appartenant à la même source étendue sont nécessai-rement incohérents entre eux. Dans une source étendue, il y a une infinité de points. Cha-cun donne son propre système d’interférences. Les systèmes vont se superposer pour finalement se brouiller.

Cependant, pour une condition particulière aux diviseurs d’amplitude, on peut étendre la source tout en gardant un bon contraste sur une surface : la surface de localisation. Un rayon incident primitif issu de S peut se diviser pour donner deux rayons émergents qui vont interférer ; un autre rayon incident primitif issu de proche de S se divise aussi pour donner deux rayons émergents qui vont interférer. La différence de marche entre les deux cas est faible et permet de conserver un bon contraste : les deux systèmes d’interférence se superposent mais ils sont très peu décalés.

2.2.1.Configuration du coin d’air

•

Traçons un incident primitif issu de pour une position bien déterminée du coin d’air (figure 9). Le faisceau incident parallèle est perpendiculaire à la direction moyenne des deux miroirs (l’angle du coin d’air est faible par construction du Michelson) : on parle d’incidence normale. Le rayon se divise au point I, le rayon (1) (simple flèche) se réfléchit sur tandis que le rayon (2) (double flèche) pénètre dans le coin d’air (qui n’est pas réel) et se réfléchit sur L’intersection des deux rayons émergents est au point M confondu ici avec le point I. Les points d’intersection des deux émergents correspondant au même incident primitif (rayon incident à faire varier sur la figure) sont situés dans ce cas particu-lier sur le miroir donc la surface de localisation des franges d’interférences est le miroir pour un faisceau incident parallèle à

Pour l’interféromètre de Michelson en source étendue, la surface de localisation est l’ensemble des points d’intersection des deux émergents correspondant au même incident primitif.

Remarque La démonstration du théorème de locali-sation est hors pro-gramme mais vous devez en connaître les résultats.

S′

M₁

M₂.

M₁,

M₁ (OY).

α M₂

M₁ H

S′

incident primitif (1)

(2) I=M

HM =x e M( )=IJ =αx

Primitif coin d’air Fig. 9

retenir l’essentiel

Dans le cas général, la surface de localisation des franges d’interférences est située entre les deux miroirs, on dit localisée sur le coin d’air.

•

Calculons la différence de marche au point M : Cherchons la forme des franges d’interférences.

Les franges de même nature ont même intensité donc même différence de marche modulo donc même x modulo l’interfrange

Elles sont rectilignes, parallèles à l’arête virtuelle du coin d’air passant par H et équidistantes. On les appelle les franges d’égale épaisseur car à une frange donnée correspond la même épais-seur e du coin d’air.

Dans la pratique, on positionnera la source étendue dans le plan focal objet d’une lentille convergente près du foyer objet (par autocollimation) pour obtenir un faisceau incident parallèle quasi normal. Pour observer les franges localisées sur le coin, on fera l’image du coin sur un écran à l’aide d’une lentille convergente (ne pas oublier la condition sur la dis-tance objet-écran et la lentille plus proche de l’objet coin que de l’écran pour agrandir).

2.2.2.Configuration de la lame d’air à faces parallèles

Traçons un incident primitif issu de qui arrive sur la lame d’air à faces parallèles avec un angle d’incidence i (figure 11). Le rayon se divise au point I, le rayon (1) (simple flèche) se réfléchit sur tandis que le rayon (2) (double flèche) pénètre dans la lame d’air (qui n’est pas réelle) et se réfléchit sur au point J. Les deux rayons émergents sont parallèles, ils se rencontrent donc à l’infini.

Pour un Michelson en coin d’air avec un éclairage étendu parallèle en inci-dence normale, les franges d’interférences sont localisées sur le coin d’air.

et les franges dites d’égale épaisseur sont parallèles à l’arête du coin d’air et équidistantes. L’interfrange vaut

Michelson en coin d’air : franges d’interférences Fig. 10

δ_{2 1}_⁄ ( )M = (S′M)₂–(S′M)₁=2e M( )≈2αx.

i λ

2α---.

δ_{2 1}_⁄ ( )M = 2e M( )≈2αx

i λ 2α---.

D4f′

S′

M₁

M₂

J M₂

M₁

S^′ incident primitif

Primitif lame d’air

I K

i i

H i

Fig. 11

75 Les points d’intersection des deux émergents correspondant au même incident primitif quand l’angle d’incidence varie, sont situés à l’infini. La surface de localisation des franges d’interférences est à l’infini.

Pour faire varier l’angle d’incidence dans la pratique, il suffit de faire converger la lumière incidente sur le miroir avec une lentille. Cela permet d’obtenir des angles d’incidence variant entre 0 et

•

Calculons la différence de marche au point M à l’infini : Dans l’air,

car en effet K et H appartiennent à la même surface d’onde.

d’où

Remarque : nous verrons dans l’exercice n° 1 de « Savoir résoudre les exercices » une autre méthode plus rapide pour calculer mais cette méthode est souvent demandée et doit être connue.

Cherchons la forme des franges d’interféren-ces. Les franges de même nature ont même intensité, donc même différence de marche modulo donc même modulo Une frange correspond à une valeur de l’angle i. On les appelle franges d’égale inclinai-son. L’écran est situé perpendiculairement à l’axe Ce sont donc des anneaux circu-laires, concentriques, non équidistants. Ils sont plus resserrés sur les bords qu’au centre.

Pour un Michelson en lame d’air à faces parallèles avec un éclairage étendu convergent sur le miroir les franges d’interférences sont localisées à l’infini.

et les franges dites d’égale inclinaison sont des anneaux concen-triques non équidistants (plus resserrés sur les bords qu’au centre).

M₁ i_max. Conseil

Faire un dessin et donner des noms à tous les points impor-tants (figure 11).

δ_{2 1}_⁄ ( )M = (S′M)₂–(S′M)₁.

δ_{2 1}_⁄ ( )M = S′I+IJ+JK+KM S′I IH HM– – – IJ+JK IH–

= KM = HM,

IJ JK e

cosi

---= = IH = IKsini = 2etanisini.

δ_{2 1}_⁄ ( )M 2e cosi

--- 2esini² cosi

---– 2ecosi²

cosi

---= =

2ecosi² cosi

---=

δ_{2 1}_⁄ ( )M = 2ecosi.

Michelson en lame d’air à faces parallèles : franges d’interférences

Fig. 12

λ, cosi λ

2e---.

S′₁S′₂.

M₁, δ_{2 1}_⁄ ( )M = 2ecosi

retenir l’essentiel

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