Pupille et figure de diffraction forment un bloc pour une rotation autour de l’axe optique.
La figure de diffraction de deux pupilles complémentaires est la même sauf en l’image géométrique de la source.
Ox (qx, y), Tnouvelle(x, y) Tancienne x --, yq
.
= anouvelle(kx, ky) = q aancienne(qkx, ky), Inouvelle(kx, ky) = q2Iancienne(qkx, ky).
Oz θ,
S′ S′
S′.
adiffractée1( )M adiffractée2( )M
aOG( ),M
aOG( )M ≈0 M≠S′.
T P( ) = 1 ∀P.
T1+T2 = 1.
adiffractée 1( )M +adiffractée 2( )M = aOG( )M adiffractée 1( )M = –adiffractée 2( )M M≠S′.
I1( )M = I2( )M M≠S′.
S′. S′.
PC PSI
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144
5.1. Analyse du dispositif des deux fentes d’Young
5.1.1.Position du problème et calcul de l’intensité
Soient deux fentes identiques f1 et f2 parallèles de largeur centrées sur et distantes de et de longueur Sur la figure 10b, les fentes sont parallèles à La transformation mathématique qui permet de passer de la fente à la fente est une translation de vecteur : Utilisons le résultat démontré en 4.1.2, la situation ancienne est l’amplitude diffractée par et la situation nouvelle l’amplitude diffractée par :
Pour la pupille avec 2 fentes disjointes :
Il apparaît un terme d’interférences à deux ondes et que multiplie un terme de diffraction par une fente. On reconnaît
Avec la disposition choisie de fentes :
L’intensité est tracée sur la figure 11. Les franges d’interférences sont obser-vées dans la tache centrale de diffraction par une seule fente (figure de diffraction linéique).
avec a) Montage de Fraunhofer
x1 X
L1 L2
x
F′2
z H
C1 C2
O1
F1
O2
S1 θ M
θ
b) Pupille = fentes d’Young
O1
O2 x
y ᐉ
pupille h
h
f1
f2
Fig. 10
h, O1 O2,
O1O2 = ah ᐍh. Oy.
f1 f2
O1O2 (x12, y12).
f1 f2
af2(kx, ky) = e–ik O⋅ 1O2af1(kx, ky), af2(kx, ky) = e–i k( xx12+kyy12)af1(kx, ky).
a2fentes(kx, ky) af
1(kx, ky) af
2(kx, ky), +
=
a2fentes(kx, ky) = (1 e+ –i k( xx12+kyy12))a1fente(kx, ky),
I2fentes(kx, ky) = I1fente(kx, ky)(1 e+ –i k( xx12+kyy12))(1 e+ i k( xx12+kyy12)), I2fentes(kx, ky) = 2I1fente(kx, ky)(1+cos(kxx12+kyy12)).
(O1 O2) Φ2 1⁄ ( )M = k O⋅ 1O2.
I2fentes( )M = 2I1fente( )M (1+cosΦ2 1⁄ ( )M ) Φ2 1⁄ ( )M = k O⋅ 1O2
I2fentes(kx, 0) = 2I1fente(kx, 0)(1+cos(kxa)).
I2fentes(kx,0)
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145 Ce résultat est très général et peut s’écrire pour deux motifs identiques parallèles et distants de :
5.1.2.Observation expérimentale
Quand on éclaire le dispositif avec une source ponctuelle à l’infini, on observe des franges d’interférences à deux ondes dans la figure de diffraction par une fente. Ce n’est pas pra-tique car la figure de diffraction par une fente est linéique dans une direction perpendicu-laire à la fente.
En revanche, la figure de diffraction par une fente éclairée par une fente source parallèle (à l’infini) n’est plus linéique comme on peut l’observer sur la figure 12.
On a alors l’idée d’étendre la source et de mettre une fente source dans le plan focal objet de la première lentille. Expérimentalement, on fait tourner la fente source dans le plan focal objet et on constate que la figure est magnifique (figure 13) quand on la dispose paral-lèlement aux deux fentes de la pupille tandis que le contraste est mauvais pour une position quelconque et que la figure ne ressemble plus à rien pour une position perpendiculaire.
Intensité diffractée par deux fentes I
I1
----λ h ---3
2
1
0 sinθ
λ h
---– λa
---kx 2π ---sinθλ
= (voir figure 10) Fig. 11
O1O2
I2motifs(kx, ky) = 2I1motif(kx, ky)(1+cos(kxx12+kyy12))
Diffraction par une seule fente avec une fente source parallèle Fig. 12
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146
Que signifie magnifique ? On observe des franges d’interférences rectilignes, parallèles à la direction des fentes (c’est normal car perpendiculaire à la direction de équidis-tantes avec un très bon contraste dans une grande zone de l’écran.
5.1.3.Cas d’une fente source perpendiculaire aux deux fentes de la pupille Pour une source ponctuelle avec X repérant la position de M sur l’écran.
Si on déplace la source en la nouvelle différence de marche vaut
avec qui repère la position de (voir exercice n° 3 de « Savoir résoudre les exercices » du chapitre 2). On observe la même figure linéique avec des franges d’interférences à l’inté-rieur sur l’écran mais décalée de selon
Si on a plusieurs sources ponctuelles, on comprend qualitativement que les franges d’interférences vont se brouiller.
Quantitativement, si on veut tenir compte de la fente source, on va définir une intensité linéique avec s la longueur de la fente source. Chaque point source est incohérent avec les autres et donne son propre système d’interférences. On peut utiliser la formule de Fresnel et intégrer sur tous les points sources.
On obtient :
On note
Diffraction par les deux fentes d’Young avec une fente source parallèle Fig. 13
147 Le terme d’interférences est tandis que le terme de contraste ne dépend que de la longueur s de la fente source.
Sachant qu’un sinus cardinal décroît rapidement et s’annule pour les franges ne seront visibles avec un bon contraste que si On ne peut donc se permettre qu’une fente source de petite longueur donc une source quasiment ponctuelle. De plus cela ne résoud pas notre problème : les franges d’interférences sont visibles toujours dans la figure linéi-que de diffraction par une fente.
5.2. Nécessité d’une fente source parallèle aux deux fentes et explication
Chaque point de la fente source donne son propre système d’interférences dans la tache centrale de diffraction d’une fente centrée sur l’image géométrique de Cette tache est linéique dans une direction perpendiculaire à la fente donc selon
Si décrit un segment selon alors décrit un segment selon dans le plan de l’écran. Les taches de diffraction associées à chaque se superposent en se juxtapo-sant car elles sont décalées mais parallèles. On n’a représenté sur la figure que la tache centrale de diffraction autour de l’image géométrique de et (figure 14).
Comme décrit continûment le segment fente source, on récupère sur l’écran des fran-ges d’interférences rectilignes, parallèles à la direction des fentes, équidistantes avec un très bon contraste dans une grande zone de l’écran (figure 15).
2πa ---λ
cos X
f′2
--- sincπa
---λ s f′1
---π, s
f′1 --- λ
---a.
S1
S′1, S1.
F′2X.
S1 F1y1 S′1 F′2Y
S′1
F1 S1 S1
Remarque Pour cette même rai-son, le dispositif des miroirs de Fresnel est éclairé par une fente source paral-lèle à l’arête des deux miroirs (on peut éclairer avec un fais-ceau laser élargi selon la direction de l’arête par un expanseur de faisceau).
Fente source avec deux points source
écran
pupille
fente source f1
f2 x
S′1
x
y x1
y1 S1 F2′
F1
Fig. 14
Superposition grâce à une fente source
écran
pupille
fente source f1
f2 x
y x1
y1
Fig. 15
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Que signifie une grande zone de l’écran ? Elle est délimitée par l’extension de la fente source N’oublions pas que les fentes ne sont pas infiniment fines, les fentes diffractan-tes ont une largeur h et la fente source une largeur et une longueur On verra donc les franges d’interférences dans la tache centrale de diffraction de la fente source (c’est elle qui limite car
Pour le dispositif des trous d’Young, il suffit d’avoir une source quasi ponctuelle (trou) car la diffraction par un trou est une tache d’Airy qui n’empêche pas d’observer les interfé-rences (figure 16).