1.1. Phénomène
Soit l’expérience où on essaye d’isoler un mince pinceau lumineux avec un diaphragme.
Au fur et à mesure que l’on resserre le diaphragme, la lumière s’étale autour de la direction moyenne attendue qui est la direction de l’optique géométrique. Cet écart avec l’optique géométrique s’appelle phénomène de diffraction.
Quand de la lumière de longueur d’onde arrive sur un objet dont l’échelle typique d de variations spatiales est du même ordre de grandeur que alors la lumière ne suit plus les lois de l’optique géométrique, elle est diffractée. On récupère de la lumière dans une région centrée, en général, sur l’image géométrique de la source et faisant un angle de l’ordre de avec la direction moyenne de l’optique géométrique.
•
Ce phénomène limite les performances des appareils (voir § 4) mais permet un très grand nombre d’applications intéressantes (spectroscopie par les réseaux, holographie et strioscopie).Ordres de grandeur
•
Si alors et l’angle vaut 0,6° ;•
si et l’angle vaut 5,7° ;•
si d tend vers alors tend vers 1 et tend vers 90°.(Cela signifie qu’on tend vers une situation où l’objet rayonne dans toutes les directions).
λ
λ,
l d
---d = 100λ sinθ 1 100
---= ≈θ
d = 10λ, sinθ 1 10
---= ≈θ
λ sinθ θ
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retenir l’essentiel
130
Ce phénomène a lieu dans tous les domaines de la physique, pour toutes les ondes de lon-gueur d’onde arrivant sur un objet dont l’échelle typique d de variations spatiales est du même ordre de grandeur. Si on veut explorer un cristal dont la maille est de l’ordre de quelques 0,1 nm, alors il faut disposer d’une onde de longueur d’onde C’est pourquoi on utilise des rayons X.
1.2. Calcul préliminaire
Remarque : le milieu est d’indice n constant et les angles sont orientés par rapport à la nor-male à la surface diffractante.
et et
La projection de sur est d’où La projection de sur est d’où Finalement,
et avec
On peut donc retenir comme critère : la diffraction est perceptible pour d inférieur à la centaine de d étant une longueur caractéristique des variations spatiales de l’objet.
L’onde incidente provient d’une source S à l’infini et on observe à l’infini l’onde émergente M (figure 1).
Calculons le déphasage au point M à l’infini entre le rayon issu de S, source à l’infini, diffracté en dans la direction et celui issu de S diffracté en dans la même direction.
représente le déphasage entre l’onde incidente plane qui a transité par le point pour émerger en M à l’infini et la même onde inci-dente plane qui a transité par le point pour émerger également en M.
λ
λ≤0,1 nm.
Remarque Comme tout critère, il dépend du système expérimental. Si l’on veut séparer des étoi-les de diamètres an-gulaires très proches, on sera plus exigeant sur le critère.
λ,
Fig. 1
O1 O2 i
θ ui
S
M ud θ
surface diffractante par transmission
i +
O2
θ O1
Φ2 1⁄ ( )M = ΦM O⁄ 2+ΦO2⁄S–ΦM O⁄ 1–ΦO1⁄S ΦM O⁄ 2 = kd⋅O2M ΦO2⁄S = ki⋅SO2 ΦM O⁄ 1 = kd⋅O1M ΦO1⁄S = ki⋅SO1 Φ2 1⁄ ( )M = kd⋅O2O1+ki⋅O1O2 = (ki–kd)⋅O1O2. ki O1O2 2πn
---λ sini ki⋅O1O2 2πn
---λ O1O2sini.
= kd O1O2 2πn
---λ sinθ kd⋅O1O2 2πn
---λ O1O2sinθ.
= Φ2 1⁄ ( )M 2πn
---λ O1O2(sini–sinθ)
=
δ2 1⁄ ( )M = nO1O2(sini–sinθ) = na(sini–sinθ) a = O1O2.
Φ2 1⁄ ( )M = (ki–kd)⋅O1O2 O2
O1
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1.3. Pupilles planes
Une pupille plane est un plan qui agit sur les ondes lumineuses. La pupille influe sur l’amplitude mais aussi sur la phase, il convient donc de raisonner en amplitude complexe pour le signal lumineux.
1.3.1.Transparence complexe
La pupille plane est idéalisée, la pupille réelle possède une épaisseur. Pour le calcul, il va falloir différencier le point P à l’entrée de la pupille de celui à la sortie de la pupille.
On peut noter
Si on dit que la pupille est absorbante.
Si on dit que la pupille est transparente.
Si on dit que la pupille est opaque.
Si modulo la pupille ne déphase pas. Dans le cas contraire, la pupille est dite déphasante.
1.3.2.Pupilles accolées
Si on met deux pupilles l’une derrière l’autre, on parle d’accolement et la transparence complexe de l’ensemble est le produit des transparences.
1.3.3.Pupilles complémentaires
Exemple : faisons un trou de forme quelconque dans un écran en découpant le matériau constituant l’écran. Le nouvel écran troué et la forme enlevée constituent deux pupilles complémentaires. Si on les accole en respectant les positions avant découpage, la lumière ne passe plus.
Écrivons la transparence complexe de ces deux pupilles. Pour l’écran troué, appelons D
le domaine du trou, et
Pour la forme enlevée, et On vérifie bien que le
produit des transparences est nul et que la somme des transparences vaut 1 quel que soit P.
1.3.4.Pupilles disjointes
Soient deux pupilles et et
et
avec et deux domaines disjoints.
Par définition de la transparence complexe d’une pupille : pour tout point P du plan.
Deux pupilles sont dites complémentaires si la somme de leurs transparences est 1 et si leur produit est nul pour tout point P du plan.
Deux pupilles sont dites disjointes si leur produit est nul pour tout point P du plan et si la somme de leurs transparences vaut soit soit
a P( sortie) = T P( )a P( entrée)
T P( ) = T P( )eiφ( )P. T P( ) 1,
T P( ) = 1, T P( ) = 0,
φ( )P = 0 2π,
Attention On peut réaliser phy-siquement le produit des transparences à partir des deux pu-pilles initiales en les accolant mais pas leur somme.
T P( ) = 1 ∀P∈D T P( ) = 0 ∀P∉D.
T P( ) = 0 ∀P∈D T P( ) = 1 ∀P∉D.
T1( )P T2( ).P T1( )P = 1 ∀P∈D1 T1( )P = 0 ∀P∉D1 T2( )P = 1 ∀P∈D2 T2( )P = 0 ∀P∉D2 D1 D2
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retenir l’essentiel
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On vérifie bien que le produit des deux transparences est nul car quand l’une est non nulle, l’autre est nulle. Quant à la somme, elle vaut soit soit selon les domaines.
Si on veut réaliser la somme de deux pupilles disjointes, il faut fabriquer une nouvelle pupille en découpant les motifs correspondant aux deux pupilles aux mêmes endroits (mêmes domaines) que dans les pupilles initiales.