par une pupille plane éclairée par une onde incidente plane

La diffraction à l’infini (ou diffraction de Fraunhofer) requiert une onde incidente plane (source à l’infini) et on observe à l’infini. La diffraction à distance finie (ou diffraction de Fresnel) existe bien sûr mais l’étude de ce phénomène est hors programme.

2.2.1.Montage de Fraunhofer

C’est un montage avec une source ponctuelle, la pupille et deux lentilles convergentes (figure 3) : la première lentille permet d’obtenir une source à l’infini, la seconde lentille permet de ramener le plan de l’infini à distance finie et d’observer sur un écran dans le plan focal image de la lentille.

L’onde incidente est plane de vecteur d’onde avec le vecteur unitaire donnant la direction de la source à l’infini.

La direction du point M est repérée par le vecteur unitaire ou le vecteur d’onde

La source à l’infini est repérée par un angle et le point M par l’angle Les composantes de sont et celles de sont

2.2.2.Formules de l’amplitude et de l’intensité diffractées par une pupille plane

Pour appliquer le principe d’Huygens-Fresnel, il faut sommer les amplitudes car les ondes élémentaires diffractées par la pupille sont cohérentes et interfèrent entre elles. Précisons l’amplitude élémentaire au point P. On sommera ensuite sur tous les points P de la pupille, donc on intégrera.

Notons l’amplitude de l’onde émise à la source, L’onde incidente a cheminé de la source au point P. L’onde émergente diffractée au point P est dans la direction (point M à l’infini) et chemine de P vers M.

On peut écrire que d’où :

Remarque On pourrait ne mettre qu’une seule lentille accolée à la pupille et regarder dans le plan image conjugué du plan objet contenant la source.

Montage de Fraunhofer

L₁ L₂

pupille

O₁ O O₂ z

S′

M x_M x_s

F2′ F₁

u_i S O₁

S O₁

---=

u_d O₂M

O2M

---= Fig. 3

ki 2πn ---λ u_i

= u_i

u_d kd 2πn

---λ u_d. Attention =

On peut choisir S dans le plan (plan de la figure) mais M n’appartient pas forcément à ce plan.

Oxz i u

z, u ( i)

= θ=(u_z, u_d).

u_i (α_i= sin , βi _i, γ_i) u_d (α_d= sin , βθ _d, γ_d).

da_P = K a_i(P_sortie)dS_P = K T P( )a_i(P_entrée)dS_P.

a₀ a_i(P_entrée) = a₀eⁱ⁽^{ωt k}^– ⁱ^⋅^SP⁾.

u_d

da M( ) = da P( )e^–^ik^d^⋅^PM

da M( ) = K T P( )a_i(P_entrée)dS_Pe^–^ik^d^⋅^PM da M( ) = K T P( )a₀eⁱ⁽^{ωt k}^– ⁱ^⋅^SP⁾e^–^ik^d^⋅^PMdS_P

retenir l’essentiel

134

Pour simplifier les calculs de phase, nous allons introduire un point quelconque de la pupille O choisi comme origine :

Regroupons les termes dépendant du point P avant d’intégrer :

où nous notons

On appelle figure de diffraction ce qu’on observe sur l’écran à l’infini ou dans le plan focal image de la seconde lentille. La connaissance de l’intensité permet de prévoir cette figure et de la dessiner.

Pour une pupille donnée de transparence donnée, nous pouvons faire le calcul. In fine, c’est l’intensité qui nous intéresse. Le calcul de l’intensité est indépendant du choix de l’ori-gine O dans le plan de la pupille. En effet, un changement d’oril’ori-gine O en O′ n’affecte pas l’intensité, elle affecte juste la phase de l’amplitude et multiplie par

Posons : le vecteur a pour coordonnées Le point M est repéré par la direction donc par le vecteur :

est proportionnelle à

Le plan de la pupille est noté le vecteur a pour coordonnées on peut alors écrire :

ki⋅SP = ki⋅(SO+OP) kd⋅PM = kd⋅(PO+OM) da M( ) = K T P( )a₀eⁱ⁽^ωt^–⁽^kⁱ^⋅^SO⁺^k^d^⋅^OM⁾⁾eⁱ⁽^ωt^–⁽^kⁱ^⋅^OP⁺^k^d^⋅^PO⁾⁾dS_P

da M( ) = K T P( )a₀eⁱ⁽^ωt^–⁽^kⁱ^⋅^SO⁺^k^d^⋅ÔM⁾⁾eⁱ⁽^ωt^–⁽^kⁱ^–^k^d⁾^⋅ÔP⁾dS_P da M( ) = (K a₀eⁱ⁽^ωt^–⁽^kⁱ^⋅^SO⁺^k^d^⋅ÔM⁾⁾)T P( )eⁱ⁽^ωt^–⁽^kⁱ^–^k^d⁾^⋅ÔP⁾dS_P

da M( ) = KeîωtT P( )e^–^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅ÔPdS_P K = K a₀eⁱ⁽^ωt^–⁽^kⁱ^⋅^SO⁺^k^d^⋅ÔM⁾⁾.

a_diffractée( )M =Ke^iωt T P( )e^–^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅^OPdS_P

pupille

∫

I_diffractée( )M a_diffractée( )M a^∗_diffractée( ).M I_diffractée( )M =C T P( )e^–^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅^OPdS_P

pupille

∫ ∫

pupille^T^∗^{( )e}^P ^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅^OP^d^S^P

Oxy, OP (x, y, 0),

a_diffractée( )M =Ke^iωt T x, y( )e^–^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅^OPdxdy

∞ –

∫

+∞

∞ –

∫

+∞

I_diffractée( )M C T x, y( )e^–^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅^OPdxdy

∞ – +∞

∞

∫

–

∫

+∞ –∞^T^∗⁽^{x, y}^)e^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅^OP^dxdy.

+∞

∞

∫

–

∫

+∞

Remarque Nous verrons que ce résultat a un rapport avec l’invariance de la figure de diffrac-tion par transladiffrac-tion de la pupille dans son plan. Voir § 4.1.2.

e^–^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅ÔO′. a_diffractee( )M =Keîωt T x, y( )e^–^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅⁽ÔO′⁺Ô′P⁾dxdy

∞ –

∫

+∞

∞ –

+∞

∫

a_diffractée( )M = Keîωte^–^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅ÔO^′ T x, y( )e^–^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅Ô^′Pdxdy

∞ – +∞

∞

∫

–

∫

+∞

aorigine enO( )M = e^–^{i k}⁽ ⁱ^–^k^d⁾^⋅^OO′aorigine enO′( )M ki–kd = k, k (k_x, k_y, k_z).

u_d k

ki–kd

( )⋅OP = k_xx+k_yy

135 L’amplitude diffractée au point M (repéré par et ) s’écrit alors :

On reconnaît une transformée de Fourier d’ordre 2 de la transparence complexe (voir « Éléments de mathématiques » en annexe). Toutes les propriétés physiques que nous allons découvrir découlent des propriétés mathématiques de la transformée de Fourier.

2.3. Comment relier le point d’observation M sur l’écran au vecteur puis au vecteur ?

a pour coordonnées Après avoir calculé l’amplitude diffractée, il est nécessaire de relier ce vecteur à la position de M sur l’écran.

2.3.1.En fonction des coordonnées cartésiennes de M dans le plan d’observation

Sur la figure du montage de Fraunhofer, on remarque que et que

On se place dans l’approximation de Gauss où tous les angles sont suffisamment petits

d’où et S a pour coordonnées M a pour coordonnées

a pour coordonnées et a pour coordonnées En approximant, on obtient qui a pour coordonnées tandis que

a pour coordonnées Ces deux vecteurs sont unitaires si ce qui est cohérent avec l’approximation.

On peut alors écrire les coordonnées du vecteur :

et Nous n’avons pas besoin de car on

doit calculer Nous avons admis que le milieu était d’indice constant n.

Remarquons que le cas et correspond à l’image géométrique de S car a bien pour coordonnées et On peut écrire :

Cette formulation met bien en évidence le rôle joué par l’image géométrique de la source.

Remarque : pour un faisceau incident en incidence normale, et et

2.3.2.En fonction des angles

On peut aussi repérer le point M sur l’écran par des angles.

Dans le plan la source à l’infini est dans une direction faisant un angle avec l’axe optique et le point M correspond à la direction faisant un angle avec l’axe optique.

k_x k_y

retenir l’essentiel

136

Dans le plan la source à l’infini est dans une direction faisant un angle avec l’axe optique et le point M correspond à la direction faisant un angle avec l’axe optique.

2.4. Premières propriétés de la figure de diffraction liées à la géométrie de la pupille

•

Démonstration :

La transparence étant réelle

La figure de diffraction est donc centrée sur le point à l’infini qui est l’image géométrique de la source.

• Si admet pour centre de symétrie alors la figure de diffraction admet-tra l’image géométrique de la source comme centre de symétrie. Voir la démonsadmet-tration dans l’exercice n° 1 de « Savoir appliquer le cours ».

• Si la pupille possède un axe de symétrie noté alors sa figure de diffraction s’organise linéiquement selon un axe perpendiculaire à Voir la démonstration dans l’exercice n° 2 de « Savoir appliquer le cours ».

3 Cas particulier des pupilles opaques

Dans le document Optique ondulatoire - Cours 2 pdf (Page 133-136)