3 Étude théorique du réglage du Michelson

Il ne faut pas régler le Michelson sans réfléchir. Toutes les applications intéressantes utili-sent la configuration lame d’air à faces parallèles. Quand on doit régler un Michelson, il est, a priori, dans une configuration quelconque, donc un coin d’air de grand angle.

•

Première étape du réglage

Elle consiste à rendre la compensatrice quasi parallèle à la séparatrice et à rendre les deux miroirs quasi parallèles. Réglages dits géométriques.

L’éclairage est parallèle en incidence normale. Les réflexions sur les miroirs et sur les faces des séparatrice et compensatrice donnent plusieurs images à l’infini. Les réglages permet-tent d’obtenir une seule image intense ce qui assure un quasi parallélisme entre les deux miroirs d’une part, et entre la compensatrice et la séparatrice d’autre part.

•

Deuxième étape

Elle consiste à visualiser les franges du coin d’air, à les agrandir afin de passer à une lame d’air à faces parallèles.

L’éclairage est parallèle en incidence normale. Les franges du coin d’air sont localisées sur le coin. On les observe sur un écran conjugué du coin d’air par une lentille convergente. L’inter-frange vaut ainsi l’agrandissement des franges prouve que l’angle du coin d’air diminue.

On ne doit voir plus qu’une seule frange afin de réaliser une lame d’air à faces parallèles.

On change alors les conditions d’observation et d’éclairage. L’éclairage est convergent sur les miroirs, on observe les anneaux à l’infini (ou dans le plan focal image d’une lentille convergente).

•

Troisième étape

Elle consiste à visualiser les anneaux et à les rendre le plus rond possible, à chercher le contact optique

Les réglages de la compensatrice qui rendent les anneaux ronds assurent le parallélisme entre la séparatrice et la compensatrice.

De part et d’autre du contact optique, on observe des anneaux. Au contact optique, l’éclai-rement est uniforme car il n’y a plus d’interférences : les deux miroirs sont confondus.

Quand on s’éloigne du contact optique, le nombre d’anneaux augmente. En revanche, quand on se rapproche du contact optique, le nombre d’anneaux diminue.

4 ^{TP cours}

Les réglages décrits dans le § 4.1 privilégient la projection des franges d’interférences sur un écran ; les franges sont donc visibles par un grand nombre de personnes qui peuvent comparer ce qu’elles observent. Les réglages dits à l’œil nu (demandés parfois aux concours) sont plus rapides quand ils sont maîtrisés. Ils nécessitent une lampe à vapeur de sodium impérativement (les rayons dans l’ultraviolet de la lampe à vapeur de mercure sont pénibles pour l’œil) et un dépoli à l’entrée pour atténuer l’intensité lumineuse.

La première étape du réglage consiste à rendre la compensatrice quasi parallèle à la séparatrice et à rendre les deux miroirs quasi parallèles.

Remarque En première lecture, les grandes lignes du réglage suffisent. Pour une lecture approfon-die, lire le § 4 qui dé-taille le TP cours.

λ 2α---,

e = 0. _{© Nathan,}

classe prépa

77

4.1. Premiers réglages géométriques

On fabrique une source étendue à l’infini : un trou circulaire source (diaphragme éclairé par une lampe à vapeur de mercure ou sodium ou en lumière blanche) est placé dans le plan focal objet d’une lentille convergente par autocollimation (en général, on prend une focale de 10 cm). En effet, ce faisceau incident créé parallèle va se réfléchir sur les deux miroirs, une partie revient vers la source et si l’image du trou est vu nette dans le même plan que le trou source, cela signifie que le trou source est bien situé dans le plan focal objet de la lentille.

À la sortie du Michelson, on récupère plusieurs images du trou source (visibles à l’infini, écran suffisamment loin ou dans le plan focal image d’une seconde lentille convergente dite lentille de sortie). On s’attend à au moins deux images intenses. Avec le Michelson Didalab, les traitements de la séparatrice et de la compensatrice qui éliminent les réflexions parasites empêchent la visualisation d’autres images tandis qu’avec le Michel-son Sopra, on récupère quatre images intenses.

•

Michelson Didalab : on règle à l’œil nu la compensatrice grossièrement parallèle à la séparatrice (réglage insuffisant mais indispensable). On joue sur les vis de rotation et du miroir M₁ afin de faire coïncider les deux images du trou source en une seule : miroirs quasi parallèles.

•

Michelson Sopra : on joue sur les vis et de la compensatrice afin de n’avoir plus que deux images du trou source : compensatrice quasi parallèle à la séparatrice. Ensuite, on joue sur les vis et afin de faire coïncider les deux images du trou source en une seule : miroirs quasi parallèles.

On peut passer à l’étape suivante qui requiert plus de luminosité. On supprime alors le diaphragme et on met le filament de la lampe dans le plan focal objet de la lentille d’entrée. Pour s’en assurer, il faut voir nette l’image du filament à l’infini ou dans le plan focal image d’une lentille de sortie. On peut alors passer à la deuxième étape.

Si les réglages sont faits à l’œil nu, il est inutile d’augmenter la luminosité, on conserve un trou source.

4.2. Passage du coin d’air à la lame d’air à faces parallèles et visualisation des franges du coin d’air

•

Les résultats du théorème de localisation du Michelson en coin d’air en source étendue sont : éclairage parallèle en incidence normale et observation des franges localisées sur le coin d’air. Il faut donc faire l’image du coin sur l’écran avec une lentille convergente. En général, on prend une focale de 20 cm, étant donné l’encombrement du Michelson (on ne peut pas approcher à moins de quelques du miroir ) et les contraintes des salles

de TP. Cette image du coin est un disque de rayon et

On peut obtenir le grandissement en mesurant le rayon de l’image sur l’écran.

•

Soit on observe immédiatement des franges quasi rectilignes soit on observe un éclaire-ment uniforme. Dans le second cas, il faut charioter le miroir translatable pour dimi-nuer l’épaisseur moyenne du coin d’air. En effet, il ne faut pas oublier la cohérence temporelle qui impose (les deux trains d’onde qui interfèrent doivent être issus du même train d’onde primaire). Il faut donc diminuer la différence de marche optique : on La deuxième étape consiste à visualiser les franges du coin d’air, à les agrandir afin de passer à une lame d’air à faces parallèles.

Conseil Il faut aligner latérale-ment et en hauteur : mesurer la hauteur du centre du verre anti-calorique, régler la hauteur des lentilles, du diaphragme et de la lampe en consé-quence.

V₁ V′₁

V_c V′_c V₁ V′₁

dm M₂

R_image = γ R_miroir. R_sopra = 1 cm

R_didalab = 2cm. γ

M₁ δcτ

© Nathan,classe prépa

retenir l’essentiel

78

dit qu’il faut ramener l’arête du coin d’air dans le champ de vision. Les deux dessins de la figure 13 l’illustrent. On voit apparaître les franges quand l’épaisseur moyenne est suffi-samment petite

•

On va maintenant augmenter l’interfrange en tournant les vis de rotation et En effet, l’interfrange vaut ; on veut diminuer l’angle du coin d’air, on augmente donc l’interfrange jusqu’à ce qu’il n’y ait plus qu’une seule frange qui occupe toute l’image.

(pour le calcul, voir l’exercice n° 3 de « Savoir appliquer le cours »). Comme la source n’est pas monochromatique, cette frange est colorée. Sa couleur dépend de l’épaisseur entre et En chariotant le miroir avec la vis on change cette couleur.

4.3. Visualisation des anneaux

Pour visualiser les anneaux, il va falloir changer l’éclairage et l’observation.

•

Les résultats du théorème de localisation du Michelson en lame d’air en source étendue sont : l’éclairage doit être convergent sur le miroir M₁ pour avoir une grande gamme d’angles d’incidence et l’observation se fait à l’infini. Pour cela, il suffit de reculer la lampe jusqu’à ce que le faisceau incident converge bien au centre du miroir (pour avoir le plus grand possible). Les anneaux étant localisés à l’infini, il faut observer à l’infini à la sortie (ou dans le plan focal image d’une lentille de sortie convergente).

Nous observons des anneaux plutôt elliptiques. Il faut jouer sur les vis et pour les ren-dre ronds. L’une des vis rectifie les axes de l’ellipse tandis que l’autre modifie son ellipticité.

Quand les anneaux sont ronds, on peut charioter le miroir On voit le nombre d’anneaux augmenter ou diminuer selon le sens dans lequel on chariote. Pour une posi-tion de on n’observe plus aucun anneau, la teinte est uniforme, il n’y a plus d’inter-férences. Nous sommes alors au contact optique De part et d’autre de cette position, le nombre d’anneaux augmente.

4.3.1.Étude sur les anneaux

Calculons le nombre maximal d’anneaux brillants que l’on peut observer.

et l’angle d’incidence i variant entre 0 et on a

La troisième étape consiste à visualiser les anneaux et à les rendre le plus rond pos-sible, à chercher le contact optique On pourra effectuer ensuite des mesures.

δ = 2e_moycτ.

M2

e épaisseur moyenne

Diminution épaisseur coin d’air

M^′₁

M2

M₁^′

Fig. 13

Conseil Avant d’élargir l’in-terfrange, charioter le miroir pour choisir la zone la plus contrastée afin d’être proche de la frange centrale.

M₁

V₁ V′₁. i λ

2α

---=

α≈10^–5 rad

M′₁ M₂. M₁ V_t,

e = 0.

i_max

Conseil Loin du contact opti-que, les anneaux sont nombreux et appa-raissent ronds.

Quand on se rappro-che du contact opti-que, ils ne le sont plus. Il faut les ren-dre ronds et vérifier qu’ils le restent de part et d’autre du contact optique.

V_c V′_c M₁.

M₁,

e = 0.

δ_{2 1⁄} ( )M = 2ecosi i_max,

2ecosi_max≤ ≤δ 2e.

© Nathan,classe prépa

79 Les anneaux brillants sont donnés par avec k entier.

et si on prend alors

Ce résultat est important car lorsqu’on translate le miroir on fait varier l’épaisseur e de la lame d’air donc le nombre d’anneaux. Quand e augmente, le nombre d’anneaux augmente (les anneaux semblent se resserrer à l’intérieur de l’image). Quand e diminue, le nombre d’anneaux diminue (ils semblent s’écarter les uns des autres) jusqu’à l’annula-tion de e (contact optique) où il n’y a plus d’anneaux car il n’y a plus d’interférences

: on observe une teinte uniforme, couleur de la source.

Exprimons le rayon des anneaux brillants sur l’écran ou le détecteur en fonction des don-nées. avec k entier. Il faut connaître l’ordre d’interférences au centre des anneaux où et Notons Si est entier, le centre des anneaux est brillant. A priori, le centre est quelconque mais, pour une première étude, nous allons, pour simplifier, le choisir brillant.

Si est entier alors les anneaux brillants sont donnés par l’équation :

avec n entier, pour le n^ième anneau brillant (on ne compte pas le centre).

•

Pour de faibles valeurs de l’angle i, on peut écrire avec D la distance très grande de la lame d’air à l’écran (ou détecteur) et à l’ordre 2 en i. Si on observe dans le plan focal image d’une lentille de sortie alors

D’où ce qui implique d’où :

•

Pour de grandes valeurs de i, les anneaux sont de plus en plus resserrés. On trace, sur la figure 14, en fonction de i et les droites avec n entier. Les inter-sections de la courbe et des droites nous donnent les valeurs de i correspondant aux fran-ges brillantes. On constate que les valeurs se resserrent au fur et à mesure que i augmente.

On peut donc affirmer que le nombre maximal d’anneaux brillants visibles est

Expérimentalement, on chariote dans un sens quelconque. Si le nombre d’anneaux augmente et si les anneaux semblent se « produire » au centre tout en se rappro-chant les uns des autres, alors on s’éloigne du contact optique. En revanche, si le nombre d’anneaux diminue et si les anneaux semblent « disparaître » dans le centre tout en s’écartant les uns des autres, alors on se rapproche du contact optique. C’est un test infaillible. d’interféren-ces décroît à partir du centre des anneaux.

La relation entre le rayon des anneaux et n n’étant pas li-néaire, les anneaux ne sont pas équidis-tants.

retenir l’essentiel

80

Si n’est pas entier alors les anneaux brillants sont donnés par l’équation : avec n entier, pour le n^ième anneau brillant.

En effet, le premier anneau brillant sera obtenu pour Les formules changent mais les résultats physiques qualitatifs restent inchangés.

4.4. Utilisation du Michelson en lumière blanche

On abordera la question théoriquement dans le chapitre 4. En pratique, pour des raisons de cohérence temporelle ( en lumière blanche), il faudra partir de la configura-tion « contact optique » en lumière lampe spectrale. Remplacer la lampe spectrale par une lampe à incandescence (lumière blanche). Éclairer en lumière parallèle en incidence nor-male puis donner un petit angle (et faire l’image du coin d’air sur l’écran) afin d’observer les franges du coin d’air en lumière blanche (voir document d en 3^e de couverture). Nous analyserons ce qu’on observe dans le chapitre 4 et mesurerons l’épaisseur d’une lamelle.

N.B. : Nous ne pouvons pas observer des anneaux en lumière blanche. En effet, donc le nombre maximal d’anneaux visibles valant ne peut excéder quel-ques unités.

•

Conclusion

Certaines applications parmi les plus classiques seront étudiées dans « Savoir résoudre les exercices » (exercices n° 2 et n° 3) : on peut ainsi mesurer de faibles différences de lon-gueur ou détecter des contraintes mécaniques sur une surface réfléchissante. Les mesures en lumière polychromatique seront expliquées dans le chapitre 4.

Cet appareil est encore utilisé au XXI^e siècle. La détection des ondes gravitationnelles (expérience Virgo) utilise un interféromètre de Michelson aux bras de 3 km, les chemins optiques sont énormément augmentés (300 km) par des réflexions sur des miroirs afin d’augmenter la sensibilité de l’appareil.

2ecosi

π 2 ---2e

7λ

i₁ 6λ 5λ 4λ 3λ

λ

i₂ i₃ i₄ i

2λ

Resserrement des anneaux Fig. 14

p₀

p_n( )M 2ecosi

---λ k E p( )₀ –(n–1)

= = =

E p( ).₀

l_cµm

δl_c

2el_c, E 2e

---λ

  

© Nathan,classe prépa

81

Dans le document Optique ondulatoire - Cours 2 pdf (Page 76-81)