Ringing et vitesse adiabatique

I 0 RD 1/e

Figure 1.12: Illustration du ring down occurent `a l’extinction du faisceau incident.

10τRD apr`es la d´ebut de l’injection avant de consid´erer que le champ intracavit´e a atteint son ´etat stationnaire, dans le cas de performances en terme de bruit de d´etection situ´ees `

a 5.10⁻⁵ ou plus.

Cependant, nous avons fait dans cette partie une omission de taille : le laser injectant la cavit´e est toujours consid´er´e comme accord´e sur une fr´equence de r´esonance de la cavit´e. En pratique, pour arriver `a cette fr´equence de r´esonance, il faut soit balayer la fr´equence du laser soit balayer la longueur de la cavit´e de mani`ere `a trouver cet accord. La vitesse `a laquelle se fait cet accord fait appel `a la dynamique d´ecrite par le temps de ring down. L’impact de celle-ci sur les pics de r´esonance est l’objet de la suite.

1.1.2.5 Ringing et vitesse adiabatique

Comme nous l’avons vu pr´ec´edemment, l’ISL entre les r´esonances de la cavit´e est d´efini par la longueur de la cavit´e. Un balayage de cette longueur, au moyen d’un actuateur piezo´electrique coll´e derri`ere un des miroirs de la cavit´e, induit un balayage spectral du peigne de r´esonances. Imaginons que cette cavit´e soit inject´ee avec un laser monochro-matique de fr´equence νlas quelconque. D`es lors, la vitesse de d´eplacement du mode de r´esonance n’est pas anodine puisqu’elle va d´eterminer notamment le temps d’injection du laser dans la cavit´e. De mˆeme, le d´eplacement du miroir doit ˆetre pris en compte dans l’expression du champ intracavit´e.

νm(t) = m ^c L0  1− ^vt L0  (1.27)

On peut d´eduire directement de1.27la vitesse de balayage spectral de cette r´esonance, si on suppose que la longueur L0 ^{de la cavit´e est accord´ee de mani`ere `a ce que la fr´equence} du laser soit r´esonante (νlas= m · c/L0^{) :}

˙ν(t) = −νlas v

L0 ^(1.28)

On a consid´er´e dans l’Eq.1.28que la modification de longueur induite par le d´eplacement du miroir ´etait petite devant la longueur totale de la cavit´e, ce qui est g´en´eralement vrai, la longueur totale des cavit´es optiques ´etant de l’odre du m`etre tandis que le d´eplacement des miroirs se fait sur quelques μm. Il est alors possible de montrer [51] qu’`a chaque r´eflexion sur le miroir r´ealisant le balayage de la cavit´e, le champ ´electrique intracavit´e incident voit sa fr´equence subir un d´ecalage Doppler et repartir avec une fr´equence

ν1= νlas(1 + v/c)/(1 − v/c). Plus g´en´eralement, la fr´equence du champ incident apr`es n tours de cavit´e peut s’´ecrire νn= νlas[(1− v/c)/(1 + v/c)]n. Le champ intracavit´e peut alors ˆetre exprim´e apr`es n tours juste derri`ere le miroir d’entr´ee comme [51] :

En(t) = HmaxtICrrtEn−1(t) exp  i2πνnt − i^L0 c _n−1 p=02πνp 1 + v/c  (1.29)

Comme v/c << 1, on peut r´e´ecrire νn νlas(1−2nv

c) et_n−1

p=02πνp 2πνlasn 1−v

c(n − 1) . De mˆeme que pr´ec´edemment (Eq.1.15), le champ total `a l’int´erieur de la cavit´e est la somme des champs ayant fait un ou plusieurs tours avec le champ entrant :

Ecav(t) = HmaxtICE0(t) n rⁿrt exp i  2πνlas 1− 2n^v c  t −^L0 c ^2πνlasn 1−^v c^{(n − 1)}  (1.30) Enfin, l’intensit´e transmise Is(t) par la cavit´e derri`ere son miroir de sortie est obtenue en prenant le module au carr´e de cette somme.

Plusieurs profils de transmission pour diff´erentes vitesses de balayage sont repr´esent´es fig.1.13. Afin de donner un caract`ere plus g´en´eral `a ces courbes quelle que soit la cavit´e consid´er´ee [51], la vitesse de balayage spectrale est d´efinie par rapport `a une vitesse ca-ract´eristique 2πΓc

τRD par le biais d’un param`etre adimensionn´e η d´efinit par : η = <sub>2πΓc</sub><sup>˙ν</sup><sub>/τRD</sub>. Lorsque le scan est effectu´e `a vitesse tr`es lente (η = 1/20, fig.1.13(a)), la d´eformation

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 (a) =0,05 (d) =100 (c) =10 (b) =1 T r ans m i s s i o n nor m a l i s ée H ( ,t) Temps

Figure 1.13: Profil de l’intensit´e transmise en fontion du param`etre η proportionnel `

a la vitesse de balayage d’une r´esonance de la cavit´e.

du profil transmis est n´egligeable et on peut consid´erer que le scan de la r´esonance est fait de mani`ere adiabatique : pour chaque ´etape ´el´ementaire du mouvement du miroir l’´etat stationnaire de la cavit´e est atteint. On retrouve alors un profil de r´esonance lo-rentzien dans le domaine temporel qui est une image fid`ele du spectre de r´esonances de la cavit´e. Pour des vitesses plus ´elev´ees (η = 1, 10, 100, fig.1.13(b-d)), le profil s’´eloigne de plus en plus de la lorentzienne, perdant en intensit´e maximale de transmission et pr´esentant des oscillations apr`es le passage de la r´esonance `a mesure que la vitesse aug-mente. Ce ph´enom`ene est couramment d´esign´e sous le terme de ringing. Pour chaque profil est trac´e pour comparaison en pointill´es le profil transmis qui serait obtenu sans effet Doppler `a la r´eflexion, normalis´e par le maximum de transmission du profil me-sur´e. Il permet de prendre la mesure du retard mais surtout de l’´elargissement du profil lorsque la vitesse augmente. Dans le cas de mesure reposant sur l’analyse de l’intensit´e lumineuse transmise par la cavit´e, il est crucial de rester dans des gammes de vitesses adiabatiques (η  _2π¹ ) pour pouvoir en faire une analyse quantitative. Cependant, cet effet peut aussi ˆetre exploit´e, notamment pour d´eterminer la finesse d’une cavit´e [52], le d´elai entre le pic de transmission et la premi`ere oscillation ainsi que le rapport des intensit´es de ces deux mˆemes maxima ´etant d´etermin´es par la finesse de la cavit´e.

de mode spatial et spectral entre eux. Des caract´eristiques dynamiques cl´es des cavit´es optiques ont par la mˆeme occasion ´et´e pr´esent´ees `a travers le temps de ring-down et la notion de vitesse adiabatique. Afin de compl´eter cette description, des cavit´es optiques plus r´ealistes vont maintenant ˆetre caract´eris´ees avant d’aborder la probl´ematique du couplage effectif de l’ensemble du peigne de fr´equences dans la cavit´e.