Fonction de transfert

La modification du temps de ring down se traduit aussi comme une modification de la fonction de transfert au voisinage de la raie d’absorption. L’expression du champ transmis par la cavit´e en pr´esence d’absorption a d´ej`a ´et´e d´eriv´ee Eq. 1.48. En suivant excatement le mˆeme raisonnement que dans la premi`ere partie, celle-ci nous donne la fonction de transfert en intensit´e (les effets d’absorption sont n´eglig´es au num´erateur) :

Hs(ν) = ^TICTOC

(1− rrte^−α(ν)2 ^L)2 · ¹

1 + 4^Fα(ν)2

π2 · sin2₁

2^2πνc [1 + δn(ν)] L (1.54) Les r´esonances de cavit´e (F=30) sont repr´esent´ees fig.1.22, affect´ees ou non par une raie d’absorption (repr´esent´ee dans l’encart haut), calcul´ees `a l’aide de l’Eq.1.54. Le dessin de la forme lorentzienne de la raie dans les maxima des r´esonances successives constitue l’effet le plus marqu´e de la signature de la transition. Toutefois, il est aussi visible que les r´esonances vont s’´elargir selon leur position dans le profil de raie et que leur position va ˆetre affect´ee par la variation locale d’indice δn. Pour plus de clart´e sur la fig.1.22, les effets d’´elargissement sont amplifi´es d’un facteur 5 tandis que ceux de position dus `a la dispersion mol´eculaire le sont d’un facteur 100.

D´etaillons `a pr´esent les diff´erentes d´eformations des r´esonances comprises dans le profil de la raie. Dans tous les d´eveloppements qui vont venir, nous consid´erons les r´esonances de la cavit´e comme infiniment fines devant la largeur de la raie d’absorption. De cette

Q

Q Q

Figure 1.22: Fonction de transfert d’une cavit´e de 3m et de finesse 30 en pr´esence d’absorption (trait plein rouge) et sans (trait pointill´e noir) - pour plus de s, l’effet d’´elargissement est amplifi´e d’un facteur 5 tandis que l’effet de la dispersion mol´eculaire

est amplifi´e d’un facteur 100.

mani`ere, l’absorption affectant le mode de r´esonance est constante sur toute la r´esonance de la cavit´e.

Diminution de l’intensit´e des r´esonances

L’effet le plus imm´ediat de l’absorption intracavit´e va ˆetre de moduler l’intensit´e des r´esonances comprises dans son profil. En effet, le terme d´eterminant cette intensit´e,

Hmax, d´epend maintenant lui aussi de la pulsation et, dans le cas de petites absorptions (e^−α(ν)2 ^L 1 −α(ν) 2 L) : Hmax^α (ν) = ₍₁^TIC− r^TOCrt)2  1− ^rrt 1− rrtα(ν)L   H0 max  1−^F0 π ^α(ν)L  (1.55)

Une mesure de l’absorption est donc possible moyennant la quantification de Hmax^α (ν) et de Hmax⁰ , la finesse de la cavit´e sans absorption F0 et sa longueur L ´etant d´etermin´ees par ailleurs : c’est le principe de base de la Cavity Enhanced Absorption Spectroscopy (CEAS). A ce stade, il est possible de faire un rapprochement avec la loi de Beer-Lambert dans sa forme lin´eaire (absorption faible) avec l’expression1.55. On s’aper¸coit alors que l’effet de r´esonance permet d’augmenter artificiellement la longueur d’interaction L d’un facteur F/π. Notons que certaines approches de CEAS int`egrent la lumi`ere transmise sur toute la plage spectrale concern´ee par une r´esonance. Dans ce cas, l’int´egration de l’Eq.1.54 donne une longueur d’interaction augment´ee d’un facteur F/2π.

Elargissement des r´esonances

La pr´esence d’absorption `a l’int´erieur de la cavit´e ´etant en tout point comparable `a un ajout de pertes, elle va naturellement se traduire par une diminution de la finesse et

Fα(ν) = π ^rrte

− ₂

1− rrte^−α(ν)2 ^L

(1.56)

qui peut ˆetre, dans le cas des faibles absorptions, r´e´ecrite sous la forme lin´eaire Fα(ν) =

F0(1 + δFα(ν)/F0) avec F0 ^{la finesse de la cavit´}e vide et δFα la variation de finesse li´ee aux pertes induites par l’absorption. On peut r´e´ecrire la finesse :

Fα(ν) = F0  1−^F0 2π^α(ν)L  ⇒ δFα (ν) = −^F02 2π^{α(ν)L (1.57)}

Cette variation de la finesse est le pendant du raccourcissement du temps de ring-down ´evoqu´e pr´ec´edemment. De fait, une relation identique `a celle d’une cavit´e vide est obte-nue, qui illustre l’´elargissement des modes de r´esonance d’une quantit´e δΓ^α(ν) :

τRD^α (ν) = ^L c F0+ dF^α(ν) 2π ⁼ 1 2π (Γc+ δΓα(ν)) ^(1.58) L’Eq.1.53 donne directement acc`es `a la relation entre cet ´elargissement de la pleine largeur `a mi-hauteur des modes de r´esonance et le profil de la raie d’absorption :

δΓ^α(ν) = ¹

2π · α(ω) (1.59)

Alt´eration de l’ISL

Le d´eplacement des r´esonances se quantifie `a partir de la partie propagative de la fonction de transfert. La condition de bouclage est maintenant satisfaite par des f´equences νm^ :

Φ_α(νm^ ) = 2π · νn^ L

c^{(1 + δn(ν}



m)) = 2mπ (1.60)

Le d´eplacement des r´esonances restant tr`es petit devant l’ISL de la cavit´e (ISL0⁼ L^c sans absorption), δn varie lentement au regard du d´eplacement des modes qu’il induit[55]. La condition de bouclage peut alors se r´e´ecrire :

νm^

ISL0(1 + δn(νm)) = m (1.61) Le nouveau centre de la r´esonance d’ordre m est donn´e par :

νm^ = νm

Il est donc d´eplac´e de la grandeur δνα

m =−νm· δn(νn) par rapport `a sa position sans aborption.

Par ailleurs, la quantification des ´ecarts visibles fig.1.22 conduit `a exprimer l’ISL en pr´esence d’absorption comme :

ISLα(νm) = (m + 1)ISL0(1 + δn(νm+1⁾⁾− mISL0(1 + δn(νm)) (1.63) La diff´erence des ISL avec et sans absorption est donc donn´ee par :

δISL(νm) = ISLα(νm)− ISL₀ = νm· δn(νm)− νm+1· δn(νm+1^{) (1.64)} La variation d’indice induite par une raie d’absorption de 10−5cm⁻¹est trac´ee fig.1.23(b).

Q Q

Figure 1.23: Repr´esentation quantitative de la variation d’indice δn (b), de l’ISL (c) -trait noir pointill´e- et du d´eplacement des centres des r´esonances (c) -trait rouge

plein-induits par une raie d’absorption (a) de largeur Γ_a= 10· ISL₀= 1 GHz.

Elle atteint son maximum (en valeur absolue) `a la demi-largeur de la raie, ce change-ment restant tr`es faible (δnmax= 3.10⁻¹¹). Cet ´ecart d’indice donne une variation d’ISL (1.23(c) - trait pointill´e) plus rapide dans le profil d’absorption, l’ISL ´etant plus grand

un ISL `a vide de 100 M Hz.

Fonction de transfert lorentzienne

Le mode de r´esonance n de la cavit´e va donc ˆetre affect´e par la pr´esence d’une esp`ece absorbant dans sa plage spectrale de trois mani`eres : son intensit´e va diminuer, sa largeur `

a mi-hauteur augmenter en mˆeme temps que son centre va ˆetre translat´e. La fonction de transfert d’une telle r´esonance peut ˆetre r´e´ecrite en lin´earisant le sinus pr´esent au d´enominateur comme pr´ec´edemment. De cette mani`ere, nous faisons apparaˆıtre la nou-velle fonction r´eponse de la cavit´e :

Hs(ν) = Hmax⁰  1−^F0 π ^α(ν)L