D´ esaccord et Moir´ e de fr´ equence

Dans un premier temps, d´efinissons le d´esaccord entre les deux peignes. Une fois le laser et la cavit´e choisis, il est le seul param`etre qui fixe la p´eriodicit´e du filtrage spectral.

L₀ 'L (a) (b) 0 1 2 3 ^{~ ~}n-2 n-1 n n+1 Q - fCEO frep H_V H_V H_V nH_V (n+1)H_V

Figure 2.1: D´esaccord en fr´equence des peignes laser et cavit´e (b) induite par le d´esaccord de longueur de cavit´e ΔL (a). Le peigne de fr´equence laser est en traits pleins rouges et le peigne de r´esonance de la cavit´e en traits gris pointill´es (en clair accord´e au PM et en gris fonc´e d´esaccord´e). La position du spectre laser est symbolis´ee

l’ISL de la cavit´e ISLc = c/(L0+ ΔL) peut se quantifier de la mani`ere suivante :

V = frep− ISLc

frep

= ΔL

L0+ ΔL ^(2.1)

De cette mani`ere, en extrapolant les peignes jusqu’`a l’origine, la fr´equence laser n = 1 est s´epar´ee de la r´esonance m = 1 de l’´ecart en fr´equence V×frep, la deuxi`eme fr´equence est s´epar´ee de deux fois cette quantit´e de la deuxi`eme r´esonance et la fr´equence d’ordre

n de n × V · frep (fig.2.1(b)).

Un Moir´e de fr´equence apparaˆıt lorsque l’accumulation du d´esaccord conduit `a faire correspondre une des fr´equences laser avec une des r´esonances. Cette condition s’´ecrit :

m × V · frep= k · frep , k ∈ Z (2.2)

Naturellement, une fois vraie pour une fr´equence, cette condition le sera aussi pour la fr´equence double, triple, etc... conduisant ainsi `a une transmission de cavit´e correspon-dant `a un nouveau peigne, filtr´e, de fr´equences. Les fr´equences qui nous concernent sont ´evidemment comprises dans le spectre d’´emission du laser et cette relation se re-trouve tr`es simplement `a l’aide du raisonnement supportant l’analyse des pics de trans-mission observ´es au cours d’un balayage de cavit´e (cf section 1.3.1.2). En particulier, nous avions montr´e qu’il existait une succession de longueurs conduisant `a l’observation de pics de transmission, d´efinies par la succession d’´egalit´es suivante (on rappelle que

δf0 = 0) : n · frep = (n ± 1)ISLc1 = (n ± 2)ISLc2 = (n ± k)ISLck. Pour la k^ieme transmission et en autorisant les valeurs de k alg´ebrique, cette ´egalit´e peut se r´e´ecrire : (n+k)·frep−k·frep= (n+k)·ISLck. En se rappelant que l’ordre m de la r´esonance cor-respondant `a la fr´equence n pour la k<sup>ieme</sup> co¨ıncidence est donn´e par (n + k), on retrouve une expression identique `a l’Eq.2.2. A la k^ieme transmission, la r´esonance m = n + k est parfaitement accord´ee `a la fr´equence n du peigne.

Par exemple, avec le laser utilis´e dans ce travail `a 800 nm, le premier pic de transmission observ´e adjacent au PM (fig.1.29 et 2.4) correspond au premier battement Moir´e, le deuxi`eme se situant deux fois plus loin en fr´equence, `a 400 nm. Le deuxi`eme pic de transmission correspond au passage de ce deuxi`eme battement dans le spectre laser, le premier ´etant maintenant `a une fr´equence deux fois moindre, `a 1600 nm. Ces figures de Moir´e de fr´equences sont illustr´ees fig.2.2, o`u la fr´equence centrale du laser correspond `

a l’ordre nc = 50 et o`u le spectre laser est compos´e de 15 fr´equences seulement pour une meilleure visibilit´e. La position de d´esaccord nul, k = 0, correspond au PM o`u les deux

peignes sont parfaitement superpos´es (fig.2.2(a)). Partant de cette position de r´ef´erence, une variation de longueur induit un d´esaccord V, encore trop faible pour que le premier battement atteigne la gamme du spectre du laser et aucune intensit´e n’est transmise par la cavit´e (fig.2.2(b)). En continuant d’augmenter la longueur de cavit´e (fig.2.2(c)),

m = n

Figure 2.2: Battements Vernier du peigne de fr´equences laser -rouge- avec le peigne de r´esonances de cavit´e -noir : (a) accord parfait des peignes au point magique, (b) d´esaccord entre peignes, (c) premier passage en r´esonance et (d) deuxi`eme passage en

r´esonance.

la r´esonance m = nc− 1 s’accorde `a la fr´equence laser nc (m · V = 1). Cette position correspond au premier passage en r´esonance du spectre apr`es le PM. Le changement de longueur de cavit´e n´ecessaire pour se retrouver dans cette situation peut se d´eduire de :

V = ¹

m ⁼

ΔL1

Enfin en2.2(d) le d´esaccord conduit au passage en r´esonance du second battement Moir´e (m · V = 2). Dans ce cas, ΔL2 ^{est ´egal `a 2}× λm. Ce raisonnement se g´en´eralise pour le

k^ieme battement, qui est observ´e pour le d´esaccord ΔLk = k × λm.

La p´eriodicit´e du battement Moir´e est, quant `a elle, simplement ´egale `a la fr´equence centrale du laser νc

= 1×λ^cm = ΔL^c1 

dans le cas du premier pic de transmission (k = 1), `

a νc/2

= 2×λ^cm = ΔL^c2 

dans le cas du second pic (k = 2) et `a νc/k (= c/kλm= c/ΔLk) dans le cas du k^ieme battement Moir´e. L’ISL du nouveau peigne issu du filtrage Vernier est donc donn´e de fa¸con g´en´erale par :

ISLV = c

ΔL ^(2.5)

Ce raisonnement s’est attach´e `a d´ecrire la correspondance sur la dent centrale du spectre

nc mais peut ˆetre fait pour n’importe quelle fr´equence du peigne, et permet d’´ecrire de fa¸con g´en´erale la position spectrale du kieme battement :

νk= k · ^c

ΔL ^{, (2.6)}

en se rappelant toutefois que cette relation n’a de sens que si νk est confondu avec une fr´equence du peigne laser, ce qui conduit `a une discr´etisation des valeurs de ΔL.

0 10 20 30 40 50 0 200 400 600 800 1000 1200 V [n m ] L [ m] Spectre fs

Figure 2.3: Positions spectales des 100 premiers ordres Vernier. La plage spectrale couverte par le spectre T i : Sa est encadr´ee en rouge. Les battements se resserrent

lin´eairement avec l’augmentation du d´esaccord ΔL.

La fig.2.3repr´esente les positions des 100 premiers ordres Vernier en fonction du d´esaccord par rapport au point magique ΔL. Ces positions spectrales sont donn´ees en longueurs d’onde, donc lin´eaires avec ΔL. Pour un d´esaccord ΔL fix´e (ligne droite verticale), les

diff´erents ordres sont ´equidistants en fr´equence (donc se resserrent en longueur d’onde vers l’origine), et se rapprochent lin´eairement lorsque le d´esaccord augmente.