Aspect spectral : fonction de transfert

Elas

00 · Emn^∗ dxdy (1.13) La fraction de puissance coupl´ee s’obtient ensuite en prenant son carr´e.

L’accord spatial entre laser et cavit´e ´etant r´ealis´e et ses imperfections ´eventuelles quan-tifi´ees, il reste `a consid´erer l’accord spectral entre le champ laser et le mode propre de la cavit´e.

1.1.2.3 Aspect spectral : fonction de transfert

Dans cette partie, afin de limiter la complexit´e des expressions qui vont suivre, nous consid´erons le champ ´electrique incident comme une onde plane, ce qui correspond `a un mode spatial T EM00 dont seule la propagation sur l’axe optique (x = 0 et y = 0) est consid´er´ee et dont la phase de Gouy est n´eglig´ee. Cette restriction permet une description fid`ele de la r´eponse spectrale d’une cavit´e optique. L’effet de la phase de Gouy sera discut´e dans la suite.

Consid´erons une cavit´e de longueur totale, aller-retour, L avec un nombre k quelconque de miroirs. Chacun des miroirs est caract´eris´e par un coefficient de r´eflexion en champ

rk et en intensit´e Rk =|rk|2 _{(valable pour les petits angles d’incidence). Il est utile de} d´efinir un coefficient de r´eflexion ´equivalent `a un tour de cavit´e (l’abr´eviation rt sera utilis´ee par la suite, contraction de round-trip) :

rrt=

k

rk et Rrt=

k

Rk (1.14)

Deux miroirs se d´emarquent des autres par leur utilisation `a la fois en r´eflexion et en transmission. Il s’agit des coupleurs d’entr´ee (input coupler en anglais, IC) et de sortie (outpout coupler, OC). En les consid´erant id´eaux, sans perte, leur coeffcient de trans-mission s’´ecrit en intensit´e TIC/OC = 1− RIC/OC et en champ tIC/OC = 

TIC/OC. Connaissant le champ incident sur le coupleur d’entr´ee E0(ν), le champ ´electrique trans-mis par le miroir de sortie de la cavit´e correspond `a la somme des champs ayant fait de multiples allers-retours qui peut ˆetre exprim´e comme suit :

Es(ν) = tICtOCE0(ν) + tICE0(ν) · rrte^−i2πνc^L+ tICE0(ν) · rrt²e^−i2πνc ·2L₊· · · = tICtOCE0(ν) ∞  n=0 rrte^−i2πνc ^L n = tICtOCE0(ν) ¹ 1− rrte^−i2πνc ^L (1.15)

Dans un premier temps, la cavit´e est consid´er´ee comme absolument non dispersive. Le d´ephasage Φ(ω) sur un tour de cavit´e n’est alors dˆu qu’`a la propagation du champ : Φ(ν) = 2π^ν_cL. L’intensit´e du champ en sortie Is(ν) = |Es(ν)|² peut alors ˆetre exprim´ee comme :

Is(ν) = ^TICTOC

1 + Rrt− 2rrtcos(2π^ν_cL)· I₀(ν) (1.16) o`u I0 <sup>est l’intensit´e du champ incident `a la fr´</sup>equence ν. L’´equation 1.16peut encore se mettre sous la forme r´epandue :

H(ν) = ^Is(ν) I0(ν) ⁼ TICTOC (1− rrt)2 · ¹ 1 + 2^F_{π 2} sin²(πν^L_c) ^(1.17) o`u l’on a introduit la grandeur F , appel´ee finesse de la cavit´e, d´efinie par :

F = π √

rrt

1− rrt. (1.18)

Il apparaˆıt imm´ediatement que H(ν) va passer par sa valeur maximale Hmax= ^TICTOC (1−rrt)2 d`es que 2π ·νm·L

c = 2mπ. Ce passage en r´esonance p´eriodique de la cavit´e est caract´eris´e par son Intervalle Spectral Libre (ISL) d´efini par la diff´erence entre deux fr´equences de

*

Q

Q

Figure 1.10: R´esonances d’une cavit´e de finesse F=10

Ici, il convient de noter que la prise en compte de la nature gaussienne du champ in-tracavit´e apparaˆıtrait dans le terme de phase de la fonction de transfert sous la forme d’un d´ephasage suppl´ementaire dˆu `a la phase de Gouy propre `a chaque mode transverse (en restant `a l’origine du plan transverse). Cela a pour effet de translater toutes les r´esonances d’une valeur constante mais distincte pour chaque T EMmn. L’ISL y sera donc insensible et les structures de peignes de r´esonances associ´ees aux diff´erents modes transverses seront toutes l´eg`erement d´ecal´ees les unes par rapport aux autres, la pulsa-tion r´esonante d’ordre k du mode T EMmn´etant donn´ee par [50] :

νk^mn = c L  k + ¹ π^{(m + n + 1) · arccos(f (Rc1, Rc2, Lc))}  (1.20)

o`u f est une fonction des rayons de courbure des deux miroirs sph´eriques ainsi que de la longueur de la cavit´e. L’´ecart entre les diff´erents peignes de r´esonances est d´etermin´e par un d´ephasage li´e `a l’ordre des modes transverses ainsi qu’aux rayons de courbures des deux miroirs sph´eriques composant la cavit´e.

La largeur de ces r´esonances peut quant `a elle s’obtenir en lin´earisant le sinus `a proximit´e d’une des r´esonances, l’Eq.1.17 devenant :

H(ν) = Hmax· ¹

1 + ( 2F

ISLc(ν − νm))2 ^(1.21) La forme spectrale de la r´esonance est alors une lorentzienne de pleine largeur `a mi-hauteur Γc = ^ISLc

F . La finesse, d´efinie en premier lieu par les coefficients de r´eflexion des miroirs utilis´es, est donc aussi directement donn´ee par le rapport de l’ISL de la cavit´e

00

Figure 1.11: _{Transmission normalis´ee d’une cavit´e dont le faisceau incident est} d´esalign´e tant sur l’axe horizontal que sur le vertical par rapport au mode fondamental de la cavit´e. Ce d´esaccord met en ´evidence les peignes de r´esonances de plusieurs modes

transverses.

sur la largeur d’un mode de r´esonance Γ_c. On retrouve donc `a premi`ere vue, `a l’instar du spectre du train d’impulsions, une structure spectrale en forme de peigne, de r´esonances cette fois-ci (fig.1.10). Les modes de ce peigne sont espac´es d’un ISL uniquement fix´e par la longueur de la cavit´e et leur largeur est `a la fois fix´ee par la finesse de la cavit´e et par son ISL (plus la finesse sera ´elev´ee, plus les modes de r´esonance seront fins spectralement si l’ISL est constant).

Int´eressons-nous maintenant `a la valeur de Hmax, qui est reli´ee aux coefficients de r´eflexion de la cavit´e et aux transmissions des miroirs d’entr´ee et de sortie. Dans le cas le plus favorable, les miroirs autres que ceux d’entr´ee et sortie peuvent ˆetre consid´er´es comme infiniment r´efl´echissants. Le produit de toutes les r´eflectivit´es se r´esume alors `

a rrt = rIC × rOC. Si en plus ces deux miroirs sont parfaitement identiques, alors

rrt = RIC = 1− TIC. Dans ce cas, on parle d’une cavit´e transparente et Hmax at-teint l’unit´e. En pratique, il est difficile d’atteindre cette valeur qui se situe plutˆot dans les dizaines de % pour les cas les plus favorables.

Comme toute grandeur spectrale, les r´esonances de cavit´e ont leur pendant dans l’espace du temps qui se manifeste par ce qui est couramment d´esign´e par le temps de ring down (temps de d´eclin).