2.3 Filtrage Vernier Basse R´ esolution
2.3.1 Groupes de modes
La structure spectrale du peigne de co¨ıncidence Vernier conserve des caract´eristiques communes avec le cas du filtrage haute r´esolution. Ainsi, l’ISL du Vernier reste d´efini de la mˆeme mani`ere par c/ΔL (cf section 2.1.1), la seule diff´erence venant des valeurs du d´esaccord absolu ΔL qui sont `a pr´esent plus petites que L0/F .
2.3.1.1 Largeur spectrale
Pour des d´esaccords Vernier V inf´erieurs `a 1/F , les deux dents les plus proches voisines de part et d’autres, fn−1et fn+1, ne sont d´ecal´ees par rapport `a leur r´esonance respective que de la quantit´e V × frep qui est alors inf´erieure `a la largeur `a mi-hauteur des modes
de r´esonance concern´es. D`es lors, un ordre Vernier est compos´e de plusieurs fr´equences laser de plus en plus partiellement transmises par la cavit´e `a mesure qu’on s’´eloigne de la co¨ıncidence parfaite (fig.2.10). Nous parlerons alors de co¨ıncidence Vernier ´etendue. La
*V
c
nHVfrep
n
Figure 2.10: Co¨ıncidence ´etendue ou groupe de modes laser partiellement transmis autour d’une dent en r´esonance parfaite pour une cavit´e de finesse 10 avec 5 modes
laser compris dans la largeur de la co¨ıncidence.
largeur `a mi-hauteur de cette co¨ıncidence se d´etermine ais´ement en consid´erant la situa-tion o`u une dent laser est parfaitement r´esonante dans la cavit´e. En effet, le nombre de dents adjacentes NV (non n´ecessairement entier) dont l’´ecart aux centres des r´esonances respectifs reste inf´erieur `a Γc/2 est donn´e par le ratio Γc/( V × frep). La largeur ΓV de la co¨ıncidence ´etendue est alors donn´ee par :
ΓV = NV · frep = Γc
| V| (2.17)
2.3.1.2 Relation de finesse
A basse r´esolution, le peigne Vernier apparaˆıt donc comme une succession ´equidistante en fr´equence de co¨ıncidences ´etendues, faisant assez naturellement appel `a la notion de finesse du filtrage Vernier. Celle-ci se d´efinit comme le rapport de ISLV sur ΓV. A l’aide des relations Eq.2.5et Eq.2.17, il apparaˆıt imm´ediatement qu’elle correspond `a la finesse de la cavit´e :
ISLV
ΓV
= ISLc/| V|
Γc/| V| = F (2.18)
C’est-`a-dire que, `a la mani`ere d’une cavit´e optique, la finesse de la cavit´e est la seule grandeur qui fixe le ratio entre l’´ecart spectral entre les ordres Vernier et leur r´esolution. La largeur du groupe de modes Vernier peut donc se r´e´ecrire :
ΓV = c
F · ΔL (2.19)
Notons que la validit´e de ces r´esultats repose sur le fait que les fr´equences laser ont pu ˆetre consid´er´ees infiniment fines devant la largeur des r´esonances de cavit´e. La bonne stabilit´e intrins`eque des lasers `a modes bloqu´es fait que la validit´e s’´etend vers des valeurs
2.3.1.3 Peigne Vernier basse r´esolution
Le nouveau peigne issu du filtrage Vernier apparaˆıt assez simplement `a l’aide de la fonc-tion de transfert de la cavit´e. Celle-ci, sans absorption, dans une situation caract´eris´ee par le d´esaccord ΔL, s’´ecrit :
Hs(fn, ΔL) = Hmax· 1
1 + 4Fπ22sin21
2Φ(fn) (2.20) avec la phase accumul´ee sur un tour de cavit´e Φ(fn) :
Φ(fn) = 2π(n · frep+ fCEO)·L0+ ΔL
c − φ0− φ(fn) (2.21)
o`u φ0 est un terme de phase constant dˆu `a la cavit´e et o`u φ(fn) regroupe l’ensemble des termes de phase spectralement d´ependants dont les effets sont d´efinis section 1.2.1.2 et qui seront pour l’instant n´eglig´es. Consid´erant la d´efinition du PM (cf Eq.1.66), Φ(fn) peut se r´e´ecrire :
Φ(fn) = n × 2π + 2π(n · frep+ fCEO)·ΔL c + 2π · δf0·L0 c = 2π · fn·ΔL c + 2π · δf0·L0 c (2.22)
Il apparaˆıt alors que Hc(fn, ΔL) ne prend des valeurs significatives que lorsque fn est proche ou ´egale `a une des fr´equences νkpour lesquelles la condition de bouclage Φ(νk) =
k × 2π est v´erifi´ee. A l’aide de l’Eq.2.22, on d´etermine ces fr´equences :
νk = k · c
ΔL− δf0· L0
ΔL (2.23)
Le peigne de co¨ıncidences Vernier apparaˆıt alors explicitement, de mani`ere similaire `a celui de fr´equences laser, avec son ISL, ISLV = c/ΔL, son ordre k ∈ N et son offset
fV0 = δf0·L0/ΔL. Il peut aussi se r´e´ecrire en fonction du d´esaccord relatif V ΔL/L0 ainsi :
νk= k · frep
V −δf0 V
(2.24) On voit donc que ce peigne Vernier est enti`erement caract´eris´e par le taux de r´ep´etition
frep, fixant la longueur L0, l’´ecart `a cette longueur ΔL, et l’´ecart entre les fr´equences d’offset des deux peignes δf0.
Une caract´eristique de cette configuration basse r´esolution est que le fait qu’il y ait plu-sieurs dents laser comprises dans la co¨ıncidence Vernier relˆache la condition stricte de bouclage pour chaque fr´equence laser. Il n’est en effet plus n´ecessaire que les pulsations d´efinissant les centres des ordres Vernier νk soient confondues avec des fr´equences laser pour que la co¨ıncidence existe. Comme illustr´e sur la fig.2.11, toutes les co¨ıncidences suc-cessives ne sont pas n´ecessairement centr´ees sur des fr´equences laser existantes sans que cela gˆene leur d´efinition. νk correspond alors au centre de l’enveloppe de la co¨ıncidence ´etendue et non `a une fr´equence du peigne initial.
ISLV
Qk
Qk-1 Qk+1 Qk+2
Figure 2.11: Peigne de fr´equence Vernier. 4 ordres Vernier sont repr´esent´es avec une cavit´e de finesse F = 7 et un d´esaccord Vernier V = 1/15.2. Notons qu’on retrouve une p´eriodicit´e stricte de la figure de battement (non repr´esent´ee) en consid´erant 76 =
5× 15.2 fr´equences laser. C’est le premier nombre entier de fr´equences qui permet
d’´ecrire V = 5/76 comme une fraction rationnelle.
2.3.1.4 Contrˆole du peigne Vernier
Dans le cadre d’une mesure spectralement r´esolue comme la CEAS, il est n´ecessaire de pouvoir contrˆoler de mani`ere pr´ecise la fr´equence de la co¨ıncidence Vernier dont l’intensit´e est mesur´ee. Les trois degr´es de libert´e du peigne sont donc ΔL, frep et δf0 et chacun est en mesure de faire varier la fr´equence d’un ordre. Au premier ordre, l’effet de leurs variations, respectivement δl, δfrep et δf0 (qui repr´esente d´ej`a une modification de la fr´equence d’offset par rapport `a sa valeur au PM), se traduit par une modification de la fr´equence de la co¨ıncidence d’ordre k :
νk(δl, δfrep, δf0) = k · c ΔL· 1− δl ΔL − δf0· L0 ΔL = k · frep V · 1 +δfrep frep −δf0 V (2.25)
On d´etermine facilement l’amplitude de variation de chaque param`etre, pour accorder la fr´equence Vernier d’ordre k sur ISLV, en posant :
k · c ΔL· 1− δl ΔL = k · c ΔL+ ISLV ⇔ δl = −ΔL k =−λk (2.27) Un ´ecart ´egal `a la longueur d’onde de la co¨ıncidence est donc suffisant pour translater la co¨ıncidence k de ISLV.
Taux de r´ep´etition de l’oscillateur laser
De mani`ere ´equivalente, le taux de r´ep´etition peut ˆetre modifi´e pour faire le mˆeme balayage. L’´ecart en taux de r´ep´etition `a faire est alors donn´e par :
k · frep V · 1 + δfrep frep = k · frep V +frep V ⇔ δfrep= frep k (2.28)
A titre d’exemple correspondant `a notre situation exp´erimentale, le balayage sur ISLV
de l’ordre k = 100 `a 800 nm avec un taux de r´ep´etition de 100 M Hz n´ecessite une variation du taux de r´ep´etition de 1 M Hz.
Fr´equence d’offset du peigne laser
Enfin, une modification de la fr´equence d’offset a aussi pour effet de translater le peigne, l’Eq.2.26 :
−δf0
V = ISLV (2.29)
Il est alors ´evident qu’un balayage de νksur ISLV sera induit par un changement d’offset
δf0 ´egal `a frep.
La relation 2.25 montre aussi que toute variation de deux de ces param`etres peut ˆetre corrig´ee en agissant sur le troisi`eme. Notamment, l’utilisation d’un oscillateur laser non stabilis´e, pour lequel frep et fCEO sont susceptibles de fluctuer, ne contrarie pas une stabilisation en fr´equence de l’ordre k en agissant sur la longueur de la cavit´e.
Enfin, si nous reprenons la fonction de transfert du peigne Vernier exprim´ee Eq.2.20, celle-ci peut `a pr´esent ˆetre r´e´ecrite :
Hs(ν) = Hmax· 1 1 + 4Fπ22sin2 π · νΔLc −φ0 2 (2.30)
Cette expression de la fonction de transfert fait apparaˆıtre le peigne Vernier `a proprement parler : elle d´ecrit une transmission p´eriodique d’ISL ´egal `a ISLV et de finesse F . Chaque co¨ıncidence ´etendue k peut aussi ˆetre approxim´ee pour des fr´equences proches de νkpar
la fonction lorentzienne : Hs(ν) = Hmax· 1 1 + ν−νk 1 2ΓV 2 . (2.31)