Le problème de l’existence des solutions

X k=1 cos(kx))

où la convergence est prise au sens des distributions (noter que la série ci-dessus ne converge en aucun point au sens ordinaire).

6.2 Le problème de l’existence des solutions

Voir [11] ou [12] pour un exposé plus complet. 6.2.1 Rappel

Nous avons vu quelques exemples de problèmes aux limites pour une équation elliptique qui s’écrivait, après passage à la forme faible, sous la forme

u∈V

∀v∈V, a(u, v) =L(v) ^(6.3)

où V est, par exemple, l’espace des fonctions C¹ nulles sur le bord d’un domaine,a(u, v) est une forme bilinéaire symétrique définie positive,L(v)est une forme linéaire surV.

SiV est un espace de dimension finien (cas de la recherche d’une approximation par la méthode des éléments finis), a(u, v) définit un produit scalaire et l’existence de u résulte de ce que toute forme linéaire peut être représentée par un vecteur à l’aide d’un produit scalaire. Sivk est une base orthonormée deV pour le produit scalairea(u, v)on a la forme explicite pouru

u= n

X

k=1

L(v_k)v_k

Dans le cas général, oùV est de dimension infinie, ce résultat est faux sauf si l’espaceV est un espace de Hilbert pour le produit scalaire. Rappelons qu’un espace muni d’un produit scalaire est un espace de Hilbert si c’est un espace complet pour la norme définie par ce produit scalaire.

6.2.2 Le théorème de Lax-Milgram

SiV est un espace de Hilbert, pour un produit scalaire< x, y >, on a un théorème d’existence plus général encore :

Théorème 27 SiL(v) est une forme linéaire continue, sia(u, v) est une forme bilinéaire continue, i.e.

∃M >0 ∀u, v∈V |a(u, v)| ≤Mkukkvk et coercive, i.e.

∃α >0 ∀u∈V |a(u, u)| ≥α < u, u > alors le problème (6.3) admet une solution unique.

Nous n’avons pas supposé la symétrie de la formea(u, v). Si on suppose de plus la forme symétrique les hypothèses impliquent quekuk_a = ^pa(u, u)définit une norme équivalente à la norme initiale et queV est donc aussi un espace de Hilbert pour ce produit scalaire. Le théorème de Lax-Milgram résulte alors duthéorème de Riesz:

sur un espace de Hilbert toute forme linéaire peut être représentée par un vecteur à l’aide d’un produit scalaire.

Siv_kest une base orthonormée deV pour le produit scalairea(u, v)on a l’expression explicite u= ∞ X k=1 L(v_k)vk Preuve

SoitVnle sous-espace deV engendré par les vecteurv1, . . . , vn. On définitun∈Vnsolution de ∀v∈V_n, a(u_n, v) =L(v)

Comme nous l’avons vu ci-dessus,uns’écrit u_n= n X k=1 L(v_k)v_k Comme de plus

a(u_n, u_n) =L(u_n)≤Cku_nk_a≤C^pa(u_n, u_n) on en déduita(u_n, u_n)≤C². En remplaçantu_npar son expression il vient

n

X

k=1

L(v_k)² ≤C²

on en déduit que la sérieL(v_k)est de carré sommable et donc que la sommeP∞

k=1L(v_k)vkest bien convergente dansV.♦

Remarquer que le fait queV est un espace de Hilbert, donc complet, sert précisément ici à assurer l’existence de la limite de la série.

6.2.3 Application

Il y a cependant un obstacle majeur pour appliquer le théorème de Lax-Milgram dans les situations que nous avons rencontrées dans l’étude des problèmes aux limites : l’espace des fonctionsC¹n’est pas un espace de Hilbertpour les produits scalaires que nous avons définis.

On peut penser que la méthode choisie pour établir l’existence n’est pas la bonne, cependant on montre que le problème est plus fondamental : en effet une solution C² d’un problème comme le problème de Laplace∆u=f n’existe pas sous des hypothèses “naturelles” sur les données, comme f ∈C(Ω), le cadre fonctionnel des fonctions plus ou moins dérivables n’apparaît donc pas comme le plus approprié pour formuler des théorèmes d’existence. Même s’il y a d’autres approches que le passage par la recherche de solutions faibles et l’approche hilbertienne décrits ci-dessus, celle-ci est manifestement très générale et intuitive du fait de son interprétation géométrique. Pour la mettre en oeuvre il faudra cependant un détour compliqué : compléter l’espace V pour obtenir un espace de Hilbert.

6.2.4 Le cadre fonctionnel

En suivant exactement l’approche hilbertienne des problèmes aux limites décrites dans le para-graphe précédent il faudrait compléter l’espace V pour différents produits scalaires. Cependant la plupart de ces produits scalaires sont équivalents à certains produits scalaires naturels qui définissent lesespaces de Sobolev: physiquement ces produits scalaires représentent des énergies, les espaces de Sobolev seront donc des espaces très générauxd’énergie finie. Précisons un exemple : soitΩ⊂_R2et soitV0 l’espace des fonctions deC¹(Ω)nulles sur le bord deΩ. On définit surV0le produit scalaire

< u, v >= Z Ω ∇u.∇v+uv dΩ et la norme kuk_H1 =^√< u, u >

Définition 37 L’espace de SobolevH¹(Ω)est le complété deC¹(Ω)pour la normekuk_H1.

Définition 38 L’espace de SobolevH₀¹(Ω)est le complété deV₀pour la normekuk_H1.

Rappelons que le complété d’un espace vectoriel V pour une norme est un espace vectoriel normé complet qui contient V et qui est son adhérence. C’est a priori un espace “abstrait” (on peut le construire comme un quotient de l’ensemble des suites de Cauchy). Rien ne dit donc que H¹(Ω) est formé de fonctions. Cependant on montre queH1(Ω)peut être identifié au sous-espace deL2(Ω) des fonctions dont les dérivées au sens des distributions sont dansL²(Ω), ce qui signifie, par exemple pour la dérivée par rapport àx₁, qu’il existev∈L²(Ω)telle que

∀φ∈ D(Ω) Z Ω vφ dΩ =− Z Ω u^∂φ ∂x1 dΩ

On le voit cela reste assez abstrait ! D’autant qu’un élément deL²(Ω)n’est une fonction que par abus de langage, car cette fonction est définie à un ensemble de mesure nulle près. Comme le bord deΩ est de mesure nulle dansΩon ne peut donc pas sans précaution parler de la restriction au bord d’un élément deL²(Ω), nécessaire pour définir les conditions aux limites. Cependant on montre, c’est diffi-cile, que l’on peut donner un sens à cette restriction pouru∈H¹(Ω)et définir des opérateurs “trace” qui àu∈ H1(Ω)associetr(u) ∈ L2(∂Ω)telle que la trace d’une fonctionC1soit sa restriction au bord. Toute fonction deL²(∂Ω)n’étant pas la trace d’une fonction deH¹(Ω), on noteH¹2(∂Ω)le sous-espace des fonctions deL2(∂Ω)qui sont des traces (sous-espace que l’on sait caractériser mais cela nous mènerait très loin...). Avec ce cadre fonctionnel on peut définir les problèmes aux limites dans un cadre Hilbertien, par exemple

   u∈H¹(Ω) T r(u) =g∈H¹2(∂Ω) ∀v∈H¹(Ω), a(u, v) =L(v) (6.4)

6.2.5 Exemple d’utilisation du cadre fonctionnel

Considérons le problème modèle de la membrane (cf. séance 2 pour les données et les notations). écrit enformulation faible

u∈V0 (6.5)

∀v∈V0 a(u, v) =L(v) (6.6)

1. On vérifie, par Cauchy-Schwarz, quea(u, v)est continue surH1

0(Ω), de même queL(v). 2. La coercivité de a(u, v) n’est pas évidente, elle résulte de l’inégalité de Poincaré que nous

admettrons ∀u∈H₀¹(Ω), Z Ω u²dΩ≤Cte Z Ω (∇u)2dΩ

3. On peut donc appliquer le théorème de Lax-Milgram pour obtenir l’existence d’une unique so-lutionude (6.5) dansH₀¹(Ω).

4. On peut ensuite vérifier queuest une solution au sens des distributions de l’équation initiale

−∆u=f (6.7)

5. Sif ∈L²(Ω)et donc∆u∈L²(Ω)on montre que les dérivées partielles au sens des distribu-tions _∂x^∂u

i, i= 1,2sont des fonctions et sont dansL²(Ω)(c’est un résultat délicat à montrer, il faut d’ailleurs que le domaineΩsoit assez régulier). On en déduit ensuite queuest continue, ce qui en particulier donne un sens clair à la notion de valeur au bord.

6. Pour montrer queuest éventuellement une fonctionC²et donc une solution au sens ordinaire, il faut rajouter des conditions de régularité ; on montre en particulier que si une fonctionuest une solution au sens des distributions de (6.7),uestC^∞sur tout ouvert oùf estC^∞.

La démarche suivie est donc : montrer, sous des conditions très large, l’existence d’une solution en un sens “étendu”, préciser ensuite les propriétés de cette solution sous des conditions de régularité locale plus forte.

L’approximation des problèmes aux

limites

Objectifs

Ce chapitre est une introduction à l’approximation numérique des problèmes aux limites. Sans faire de théorie générale nous développons à partir de quelques exemples les principes de l’approxi-mation par la méthode des éléments finis.

7.1 Le problème

7.1.1 Présentation

Une solution d’une équation aux dérivées partielles n’est pas en général une fonction “usuelle” (polynôme, sinus, ...) et l’ensemble des solutions forme un espace de dimension infinie. On peut parfois (cf. chapitre 3) représenter formellement les solutions par des séries de fonctions usuelles ou par des intégrales. Mais, sauf pour des domaines simples (carré, disque), ces représentations ne permettent pas de résoudre les problèmes aux limites : l’ajout des conditions aux limites revient à poser une infinité d’équations pour une infinité de variables.

Il faut donc faire une approximation pour représenter une fonction plus ou moins régulière, mais a priori quelconque, par des fonctions usuelles qui ne dépendent que d’un nombre fini de paramètres. Cela revient à choisir sous-espace d’approximation V_h, de dimension finie, d’un espaceV₀ où est cherché a priori la solution exacte.

Comment définir une approximation de la solution du problème dans cet espace ? C’est ce que nous allons étudier.

7.1.2 Le problème général

Le cadre général où nous plaçons cette étude est celui du problème (4.3.1) limité à la dimension deux. Mais, pour simplifier, nous appliquerons les différentes méthodes à un problème modèle.

7.1.3 Un problème modèle Nous considérons le problème

     u∈C²(Ω) −k∆u+cu=f six∈Ω −k^∂u ∂n ^{= 0 six∈Γ} (7.1)

où ketc sont des constantes positives etf ∈ C(Ω)une fonction quelconque. Parmi les multiples interprétations de ce problème, nous pouvons considérer un problème de diffusion en régime perma-nent dans une plaque mince oùureprésente la température avec un échange de chaleur avec le milieu extérieur (cf. 4.17). Nous supposons que la solution existe. Pour simplifier la présentation de l’ap-proximation, nous n’avons pas mis de condition de Dirichlet (u=u0 sur le bord) dans ce problème, nous verrons au paragraphe 7.3.1 comment les traiter.

SoitV₀ =C¹(Ω). Le problème (7.1) est équivalent (théorème 24) à laformulation faible

∀v∈V0 a(u, v) =L(v) (7.2)

où nous avons posé

a(u, v) =

Z

Ω

hk∇u,∇vi+cuv dΩ L(v) =

Z

Ω

f v dΩ