Méthode de Ritz-Galerkin

La méthode de Ritz-Galerkinest un principe général de construction d’une approximation de la solution d’un problème aux limites ; elle utilise uneformulation faible du problème. Nous verrons que dans des conditions assez générales l’approximation ainsi définie est convergente.

Nous considérons, avant de particulariser, une formulation faible très générale d’un problème aux limites. Pour simplifier l’écriture, supposons que la solutionuest dans l’espace des fonctions testsV₀ qui est muni d’une normekvk₀. On considère donc un problème écrit sous la forme suivante

u∈V0

∀v∈V₀, a(u, v) =L(v) ^(7.7) oùa(u, v)est une fonction linéaire env.

1Principe de la démonstration : siKU=F, on considère la composante maximale en valeur absolue deU; notons la

ui,jen repassant à la notation en double indice. Vérifier qu’en ce pointδi,j=−k(−ui−1,j−ui+1,j−ui,j−1−ui,j+1+ 4ui,j)est du même signe queui,j. Deδi,j+cui,j=fi,jon déduit quec|ui,j| ≤ |fi,j|et doncmaxk,l|uk,l| ≤ 1

c|fi,j| ≤ 1

cmaxk,l|fk,l|, i.e.kUk∞≤maxk,l|fk,l| ≤ 1

Principe d’approximation

Soit V_h un sous-espace de dimension finie de V0, h étant un paramètre qui mesure a priori la précision de l’approximation et qui peut tendre vers0. Nous définissons une solution approchéeu_h du problème (7.7) en restreignant la formulation variationnelle àV_h. On pose donc le problème

u_h ∈V_h

∀v∈V_h, a(u_h, v) =L(v) ^(7.8) On peut déjà remarquer une condition nécessaire que doit vérifier l’espaceVh : pour que cela ait un sens de chercher une solution dansV_hil faut qu’il existe a priori au moins une fonctionΠ_h(u)deV_h qui soit proche de la solutionuet queΠ_h(u)→uquandh→0.

Cas d’une forme bilinéaire symétrique définie positive

Nous supposons dans ce paragraphe quea(u, v)est une forme bilinéaire symétrique définie posi-tive. On a alors une interprétation géométrique de l’approximation :

Théorème 28 Sia(u, v)est une forme bilinéaire symétrique définie positive, l’approximationu_h de la solutionude (7.7) définie par le principe de Ritz-Galerkin est la projection deusurV_hau sens de la normekvk=^pa(v, v).

Preuve

On a pourv∈V_h

a(u−uh, v) =a(uh, v)−a(u, v) =a(uh, v)−L(v) = 0 et donc, sivest un élément quelconque deV_h, on a

a(u−v, u−v) =a(u−u_h+u_h−v, u−u_h+u_h−v) =a(u−u_h, u−u_h)+2a(u−u_h, u_h−v)+a(u_h−v, u_h−v) en utilisant la bilinéarité dea(u, v). Commeu_h−v ∈V_h, on aa(u−u_h, u_h−v) = 0d’où

a(u−v, u−v) =a(u−uh, u−uh) +a(uh−v, uh−v) On en déduit

a(u−uh, u−uh)≤a(u−v, uh−v) puisquea(u_h−v, u_h−v)≥0. Autrement dit, en posantkvk=^pa(v, v)

∀v∈V_h ku−u_hk ≤ ku−vk

♦

On peut donner dans ce cas une autre interprétation intuitive de la méthode de Ritz-Galerkin. Nous avons vu que, si a(u, v) est une forme bilinéaire symétrique définie positive, la formulation faible (7.7) est équivalente au problème d’optimisation

u∈V₀

oùJ(v) = ¹₂a(v, v)−L(v)est une fonction quadratique strictement convexe. Pour définiru_h ∈V_h on peut utiliser le problème d’optimisation

J(uh)≤J(v) ∀v∈Vh (7.10)

qui est équivalent au problème

a(u_h, v) =L(v) ∀v∈V_h (7.11) Nous avons vu que ces deux problèmes ont une solution est une seule. En conclusion

Proposition 54 Approximation par le principe du minimum de l’énergie

Considérons un problème aux limites dont la solution réalise le minimum d’une fonction énergieJ(v) sur un espaceV0. La méthode de Ritz-Galerkin consiste à choisir dans un sous-espaceVh ⊂ V0 de dimension finie la fonctionu_hqui minimise l’énergie surV_h.

Noter que par constructionJ(u)≤J(u_h).

Détermination de la solution approchée

Nous supposons dans ce paragraphe que a(u, v)est une forme bilinéaire. Pour déterminer pra-tiquement la solution, il faut se donner une base wi(x, y) (pour i = 1, N) de Vh et calculer les composantesu_jde la solutionu_hdans cette base.Nous supposons dans ce paragraphe quea(u, v)est une forme bilinéaire.

Notations :

−N est la dimension de l’espaceV_h,

−_{Les fonctions}w_i(x, y), pouri= 1, N, forment une base de l’espaceV_h, −On note(u1, ..., uj, ..., uN)^tles composantes deuh dans cette base

uh(x, y) = N

X

j=1

ujwj(x, y)

Le problème (7.8) est donc équivalent, en tenant compte de la linéarité dea(u, v)par rapport àv, au système deN équations

a(u_h, w_i) =L(wi) ∀1≤i≤N (7.12) En exprimantuhdans la basewi(uh(x, y) =PN

j=1 ujwj(x, y)), on obtient pour les composantes de u_h un système linéaire deN équations àN inconnues

a( N

X

j=1

ujwj, wi) =L(wi) ∀1≤i≤N (7.13) Soit, en utilisant la linéarité dea(u, v)par rapport àu

N

X

j=1

Ce système s’écrit sous forme matricielle

KU=F (7.15)

où nous avons introduit des notations conventionnelles :

−U= (u1, ..., uj, ..., uN)^test le vecteur formé par les inconnues.

−Kest la matrice, dite de "raideur", de dimension(N, N)dont les coefficients sont Ki,j =a(wj, wi)

−Fest le vecteur de dimensionN dont les coefficients sont F_i =L(w_i)

Propriétés du système

Théorème 29 Si la forme bilinéairea(u, v)est symétrique définie positive le système

KU=F

est à matrice symétrique définie positive, il admet donc une solution et une seule. Preuve

SiV = (v1, ..., vj, ..., vN)^t est un vecteur quelconque non nul etv = PN

j=1 vjwj est la fonction associée, il vient

V^tKV=a(v, v)>0

♦

En résumé :

Proposition 55 Approximation par la méthode de Ritz-Galerkin

Dans un espace d’approximationV_h la solution approchéeu_h du problème (7.1), est représentée par ses composantesU= (u₁, ..., u_j, ..., u_N)^tdans une basew_i, i= 1, N. Le vecteurUest la solution du système linéaire

KU=F

où la matriceKa pour coefficientsK_i,j =a(w_j, w_i)et le vecteurFpour coefficientsF_i =L(w_i). La matriceK, appelée en mécaniquematrice de raideur, est symétrique définie positive si la forme a(u, v)est symétrique définie positive.

Choix de l’espace d’approximation

Il nous reste à choisir un espace particulierVh. On peut choisir un sous-espace de polynômes ou de fonctions trigonométriques. Mais la représentation d’une fonction quelconque par de telles fonctions est souvent lentement convergente et très instable : le problème vient précisément de la régularité de

u ∈ V 0 a(u,v) = L(v) pour v ∈ V 0 - k ∆ u = f u ∈ V0 J(u) J(v) pour v ∈ V 0 u h ∈ Vh a(u h ,v) = L(v) pour v ∈ V h u h ∈ V h J(u h ) J(v) pour v ∈ V h K U = F

Problème initial _{Approximation}

< <

FIG. 7.1 – Construction d’une approximation par la méthode de Ritz-Galerkin

ces fonctions. Elles approchent bien les fonctions très régulières, mais mal les fonctions discontinues². On utilisera des fonctions polynômes, représentées dans une base de polynômes orthogonaux, pour des problèmes dont la solution est très régulière quand le domaine est un carré ou un cube. C’est le fondement desméthodes spectrales.

Une fonction quelconque peut être bien approchée par des fonctions affines par morceaux : pour s’en convaincre il suffit de remarquer qu’une surface quelconque peut être approchée de façon stable par une surface polyédrique. C’est pourquoi nous choisirons des espaces de “polynômes par morceaux” sur des partitions convenables du domaine : c’est la méthode des éléments finis.

Extension des formulations faibles

Il y a une petite difficulté technique pour utiliser des espaces de fonctions polynômes par mor-ceaux : pour la cohérence et la simplicité de notre exposé il faut que l’espace d’approximationV_hsoit inclus dans l’espace des fonctions testsV0 qui nous a servi à construire des formulations faibles. Or nous avons toujours utilisé un espaceV₀ de fonctionC¹ mais, en général, les espaces V_h que nous allons introduire sont des espaces de fonctions continues, mais seulement “dérivables par morceaux”, c’est à dire sur des sous-domaines d’une partition deΩ. Il nous faut donc étendre les formulations

2Par exemple la vitesse de convergence d’une série de fourier vers une fonction présentant une discontinuité sur la dérivée ne peut être de l’ordre deck∼ 1

faibles à un espace plus “grand” queV₀ qui contiennent les fonctions deV_h. Il est tentant de définir un “espace de fonctions continues dérivables par morceaux” mais la définition précise de cet espace pose des problèmes si on ne fixe pas les sous-domaines (faire la somme de deux fonctions oblige à considérer l’intersection des sous-domaines). Il y a deux solutions pour résoudre cette difficulté : 1)Prendre pourV0 un espace de Sobolev adapté au problème³, ce qui revient à remplacer la notion de dérivées par la dérivation au sens faible ou “au sens des distributions” (cf. chapitre 6). Les formu-lations faibles restent vraies dans ces espaces plus ou moins par définition. Mais cela nous entraîne un peu loin dans l’analyse fonctionnelle, ce que nous avons voulu éviter dans ce cours.

2)Prendre un espaceV₀adapté à chaque approximation : étant donné une partition deΩen domaines polygonaux (pour simplifier), on définitV₀ comme l’ensemble des fonctions continues et dérivables sur chaque sous-domaine. Les formules d’intégration par parties et de Stokes restent vraies pour ces fonctions : il suffit de les appliquer à chaque sous-domaine et de vérifier que les intégrales sur les frontières intérieures s’annulent deux à deux. On en déduit que les formulations faibles sont vérifiées en remplaçant les fonctions testsC¹ par les fonctions continuesC¹ par morceaux au sens ci-dessus (ce ne serait pas le cas si les fonctions étaient discontinues).

Définition 39 Nous appelons, par abus de langage,espace des fonctions continues dérivables par morceauxl’ensemble des fonctions continues surΩ, dérivables sur une partition (fixe) deΩen sous domaines polygonaux. Ces sous-domaines sont ceux qui servent à construire l’espace d’approxima-tionVh.