4.3.1 Équation elliptique linéaire du second ordre générale
Les hypothèses
Nous étudions dans ce paragraphe un problème elliptique linéaire du second ordre qui généralise tous les exemples du chapitre 2 comme ceux des séances d’exercices.
SoitΩ⊂Rnun domaine de bordΓoù nous distinguons deux partiesΓ0etΓ1. Considérons, pour une équation aux dérivées partielles linéaires générale du second ordre, le problème aux limites
u∈C2(Ω)
(−∇.(A(x)∇u) +γ(x)u) + (hV(x),∇ui+∇.(V(x)u)) =f six∈Ω
u=u0 six∈Γ0
−(A(x)∇u)·~n=C(u−u1) six∈Γ1
(4.15)
où :
−A(x)est une matrice symétrique,
−V(x)un champ de vecteurs tel queV(x)·~n= 0surΓ1,
−f ∈C(Ω),u0etu1sont deux fonctions définies sur le bord,Cest une constante positive.
L’opérateur aux dérivées partielles est l’opérateur linéaire du second ordre le plus général, écrit sous la forme canonique (théorème (20)). On suppose que l’opérateur est elliptique, i.e. que la matriceAest définie positive, et queγ(x)≥0. Nous nous plaçons sous des hypothèses un peu plus générales que dans les paragraphes précédents pour ce qui est des conditions aux limites. Noter que ces hypothèses sont les hypothèses naturelles, notamment dans l’interprétation du problème comme un problème de convection-diffusion. (cf. paragraphe 4.3.14). Formulation faible Soit V0={v∈C1(Ω)/ v|Γ0 = 0} Posons (cf. paragraphe (3.1.3)) a(u, v) = Z Ω
hA(x)∇u,∇vi+γ(x)uv dΩ
b(u, v) = Z Ω ∇.(V(x)u))v− ∇.(V(x)v))u dΩ L(v) = Z Ω f v dΩ + Z Γ1 Cu1v ds a1(u, v) = Z Γ1 Cuv ds
Théorème 24 Le problème aux limites (4.15) est équivalent à la formulation faible
u∈C2(Ω), u=u0 surΓ0
∀v∈V0 a(u, v) +a1(u, v) +b(u, v) =L(v) (4.16) Les formes bilinéairesa(u, u)eta1(u, v)sont symétriques définies positives surV0. La formeb(u, v) est antisymétrique.
La démonstration de l’équivalence est la même que celle qui a été faite au paragraphe (3.3). Les propriétés des formes bilinéaires ont été établies au paragraphe (3.1.3)
Analyse du problème
On déduit de la formulation faible l’unicité de la solution de (4.15) car s’il existait deux solutions u1 etu2on aurait
∀v∈V0 a(u1−u2, v) +b(u1−u2, v) = 0 et donc en particulier, puisqueu1−u2 ∈V0,
a(u1−u2, u1−u2) +b(u1−u2, u1−u2) = 0 orb(u1−u2, u1−u2) = 0puisque la formeb(u, v)est antisymétrique, d’où
a(u1−u2, u1−u2) = 0 et doncu1−u2= 0puisquea(u, u)est définie positive.
SiV(x) = 0, la formulation faible (3.3) n’est autre que l’expression de la nullité de la différen-tielle de la fonction potendifféren-tielleJ(u)(i.e.DJ(u).v = 0) définie par
J(u) =
Z
Ω
1
2(hA(x)∇u,∇ui+γ(x)u
2)dΩ + Z Γ1 Cuv ds−L(u) = 1 2a(u, u) + 1 2a1(u, u)−L(u)
Nous en avons déduit (cf. (4.9)) que le problème (4.15) est l’équation d’Euler-Lagrange associée à la fonctionnelleJ(u). La fonctionJ(u)est strictement convexe, donc la solutionude (4.15), que nous supposons existée, est l’unique minimum deJ(u).
La formulation faible servira à construire des approximations du problème, voir le chapitre 7. 4.3.2 Diffusion et membrane
Nous avons étudié dans les séances 2, 3, 4 sur la membrane et la diffusion linéaire des problèmes qui sont des cas particuliers du problème suivant
( −k∆u+cu=f six∈Ω
k∂u
∂n +c1(u−u0) = 0 six∈Γ
aveck, c, c1 >0. SoitV l’espace des fonctionsC1surΩ. Ce problème aux limites pour une équation elliptique est du type (4.14). Il est équivalent au problème d’optimisation
Minv∈V J(v) = Z Ω kk∇vk 2 2 +c v2 2 −f v dΩ + Z Γ c1v 2 2 −u0v dΓ (4.18) L’équivalence vient de la convexité (voir le cours d’Optimisation chapitre 2) de la fonctionJ(v)qui s’écrit aussi sous la forme
J(v) = 1 2a(v, v)−L(v) où a(u, v) = Z Ω (∇u.∇v+c u v)dΩ + Z Γ c1u v dΓ est une forme bilinéaire symétrique définie positive et
L(v) = Z Γ u0v dΓ + Z Ω f v dΩ
une forme linéaire. Noter que la condition aux limites devient entièrement implicite dans la formu-lation variationnelle. La fonctionnelleJ(v)est strictement convexe et coercive, le problème admet au plus une solution (La démonstration mathématique de l’existence suppose de préciser le cadre fonctionnel et la régularité des données, voir chapitre 6).
4.3.3 Diffusion non homogène
Les coefficients du problème (4.17) peuvent être variables sans que la formulation variationnelle doive changer.
−∇.(k(x)∇u) +c(x)u=f(x) (4.19) aveck(x), c(x)>0et des conditions aux limites standards. Ce problème aux limites pour une équa-tion elliptique est du type (4.14). Ce problème équivaut à :
Minv∈V J(v) = Z Ω k(x)k∇vk 2 2 +c v2 2 −f v dΩ (4.20) La variation des coefficients ne crée donc pas de problème particulier. La résolution numérique se fait avec les mêmes méthodes que celles que nous avons développées pour l’étude de la diffusion homogène. Noter que sikest discontinu sur des frontières intérieures, la formulation variationnelle reste valable mais c’est l’équation (4.19) qu’il faut modifier (un’est plus dérivable sur cette frontière) en ajoutant une condition de continuité des flux sur la frontière intérieure.
4.3.4 Importance des signes : Vibration forcée
On considère les vibrations sinusoïdales, i.e. de la formeu(x, t) = u(x)eiωt, d’une membrane pour une excitation sinusoïdalef(x, t) =f(x)eiωtde pulsationω(cf. 2.41 )
−k∆u−ω2u=f six∈Ω
Noter en comparaison avec l’exemple précédent quec=−ω2est négatif dans (4.17). SoitV0l’espace des fonctionsC1 surΩnulles sur le bordΓ. Ce problème aux limites pour une équation elliptique est du type (4.9). La solution de ce problème est un extrémum surV0de la fonction
J(v) = Z Ω (k 2k∇vk 2−ω2v2−f v)dΩ (4.22) La fonctionnelleJ(v)n’est pas en général convexe, (noter qu’elle est la différence de deux fonctions convexes).
On peut montrer que siω2< ω20oùω0est la pulsation associée à la fréquence fondamentale,J(v)est encore strictement convexe et coercive, elle a encore un minimum ; mais siω2 > ω02La fonctionnelle n’est ni convexe ni coercive et la solutionu de l’équation d’Euler n’est plus un minimum mais un point “col”, le problème n’admet pas toujours une solution (Les valeurs deωpour lesquelles il n’y a pas de solution sont, à2πprès, les pulsations correspondant aux fréquences de résonance).
4.3.5 Une équation faiblement non-linéaire Considérons le problème aux limites
−k∆u+c(u) =f six∈Ω
u=u0 six∈Γ (4.23)
avec k > 0etc(u) = V0(u)où c(u)est une fonction strictement croissante etV(u) est donc une fonction d’une variable réelle strictement convexe. La solution de (4.23) est le minimum sur l’espace V0de la fonctionnelle strictement convexe
J(v) = Z Ω (k 2∇v 2+V(v)−f v)dΩ
Un problème de ce type permet de modéliser la diffusion avec rayonnement. Dans ce cas on a c(u) = u4, et donc V(u) = u55 (cf. 2.27). Mais il y a une difficulté : la fonctionV(v) n’est pas convexe. Sachant queu(x) est la température absolue donc toujours positive, la solution de (2.27) est aussi solution du problème (4.23) avec c(u) = signe(u)u4 qui est le minimum de la fonction J(u) avec V(u) = |u5|5, qui est strictement convexe. Or on montre que la solution de (4.23) avec c(u) = signe(u)u4 est toujours positive, c’est donc aussi une solution positive de (2.27). Les deux problèmes avecc(u) = u4 etc(u) = signe(u)u4 ont donc les mêmes solutions positives et, avec cette petite astuce, on se ramène à un problème strictement convexe.
Il n’est pas difficile sous ces hypothèses de construire un cadre fonctionnel assurant l’existence et l’unicité de la solution. La résolution numérique d’un problème quasi-linéaire n’est donc pas très difficile, puisqu’elle se ramène à un problème d’optimisation standard.
4.3.6 Une équation fortement non linéaire L’équation de la diffusion en régime permanent
−k∆u=q
oùqest la densité de chaleur échangée, est la conséquence de la loi linéaire de Fourier Φ =−k∇u
oùΦest le flux de chaleur, et de la conservation de l’énergie ∇.Φ +q = 0
Si les variations de température sont fortes on considère une loi de diffusion non linéaire du type Φ(u) =−kk∇ukp−2∇u avecp≥1 (4.25) On en déduit un problème aux limites :
−k∇.k∇ukp−2∇u=q
u=u0 sur le bordΓ (4.26)
Ce problème est du type (4.9), avec une équation elliptique. Soit V0 l’espace (affine) des fonctions C1, telles queu=u0surΓ. Ce problème équivaut au problème d’optimisation convexe
Minv∈V0 J(v) = Z Ω kk∇vk p p −qv dΩ (4.27)
On montre que c’est un problème d’optimisation pour une fonction strictement convexe coercive pour une norme convenable. Des difficultés mathématiques apparaissent pourp= 1(la fonction n’est plus coercive, ni convexe) et des difficultés numériques pourpproche de 1.
4.3.7 Une équation conditionnellement elliptique
On considère, en régime stationnaire, un écoulement irrotationnel d’un gaz parfait dans une tuyère, en supposant que l’on peut négliger les effets de viscosité et de diffusion thermique. Noter que l’hypothèse que l’écoulement est irrotationnel ne sera vérifiée que dans des situations très parti-culières. On utilise une représentation plane de l’écoulement dans un domaineΩ. On noteu(x)(resp. p(x)etρ(x)) la vitesse (resp. la pression et la densité) en un pointx. On suppose connue la compo-sante normaleρu.n =gdu flux de matière sur le bordΓ. On a l’équation d’étatp=Cργd’où l’on déduit, en supposant l’écoulement uniforme à l’aval, sur les lignes de courant
ρ=ρ0(K−kuk
2
2 )
1
γ1 (4.28)
La conservation de la matière dans tout sous-domaine se traduit par l’équation∇.(ρu) = 0. L’écou-lement étant irrotationnel, il existe un potentielΨtel queu =∇Ψ. On poseq = γ−11 . Le potentiel Ψest donc solution du problème aux limites
∇.(K−1 2k∇Ψk 2 2)q∇Ψ) = 0 surΩ ρ0(K−1 2k∇Ψk 2 2)q∂Ψ ∂n =g surΓ (4.29)
Ce problème est du type (4.9). L’équation est elliptique si (K−1
2k∇Ψk
2 2)>0 La solution de (4.29) est aussi un extrémum de la fonctionnelle
J(v) =− 1 q+ 1 Z Ω (K−1 2k∇vk 2 2)q+1dΩ− Z Γ g v ds (4.30) Cette fonctionnelle est convexe si la norme de la vitessek∇vk2n’est pas trop grande ( ce qui corres-pond à des vitesses “subsoniques”), elle ne l’est plus pour des vitesses plus grandes qui correscorres-pondent à la zone supersonique (l’équation est hyperbolique dans cette zone).
4.3.8 Quelles lois linéaires de diffusion impliquent l’ellipticité ?
On considère un problème de diffusion comme au paragraphe (4.3.6). Supposons une loi de dif-fusion linéaire mais anisotrope :
Φ =−M(x)∇u (4.31)
oùu(resp.Φ) est la température (resp. le flux) tandis queM est une matrice symétrique. La tempé-rature est solution d’un problème aux limites du type
−∇.(M(x)∇u) =f surΩ
u=u0 surΓ (4.32)
La forme quadratique caractéristique (cf. définition 24) s’écrit Φ(ξ1, ξ2, ξ3) =X
i,j
Mi,jξiξj
L’équation est donc elliptique si et seulement si la matriceMest définie positive (M définie négative est impossible pour des raisons thermodynamiques évidentes). La solutionuest alors un extrémum de la fonction J(v) = Z Ω 1 2 < M∇v,∇v >−f v dΩ (4.33) – CasM(x)définie positive
< M∇v,∇v >est alors une forme définie positive etJ(v)est donc une fonction strictement convexe coercive, le problème admet une solution et une seule.
– CasM semi-définie positive en certains points
La fonction reste convexe, mais pour certaines directions de fonctions v il est possible que J(v) → −∞ , l’existence n’est plus assurée ; quand la solution existe on montre que celle-ci peut admettre des lignes de discontinuité de la dérivée. .
– CasM non définie positive
Nous avons dit ci-dessus que cette situation est ici physiquement incohérente : elle signifie que la chaleur s’écoule dans le sens des températures croissantes ce qui est contraire aux prin-cipes de la thermodynamique. La fonctionJ(v)est dans ce cas convexe sur certaines droites et
concave sur d’autres, la solution est un point “col” pourJ(v)dont l’existence n’est pas du tout assurée. En fait cette situation se présentera dans un cadre tout à fait différent de la diffusion, dans les problèmes de vibrations où l’une des variables est le temps. SoitM =
1 0 0 −c2
et si on note les variables(t, x)le problème s’écrit sous la forme : ∂2u
∂t2 −c∂
2u
∂x2 = 0 (4.34)
et nous posonsu = 0sur le bord. C’est l’équation des cordes vibrantes. Si l’on considère que le domaine est un carré de côté 1, cela revient à étudier les vibrations d’une corde de longueur 1dont la position au temps0et1est horizontale. On montre qu’il y a une infinité de solutions (par exemple pourc= 1, sif(x)est une fonction arbitraire paire et de période 1, toute fonction de la formef(x+t)−f(x−t)est solution).
4.3.9 Quelles lois non linéaires de diffusion impliquent l’existence et l’unicité ?
On considère un problème de diffusion comme au paragraphe (4.3.6). Supposons une loi de dif-fusion non linéaire, dans laquelle le coefficient de difdif-fusion varie avec le flux
φ(u) =−g(k∇uk) ∇u
k∇uk (4.35)
oùg(t)est une fonction dont nous notonsG(t)une primitive. Le problème s’écrit sous la forme d’un problème aux limites Ce problème est du type (4.9)
−∇.(g(k∇uk) ∇u k∇uk) =f surΩ u=u0 surΓ (4.36)
Ce problème est du type (4.9)avec
h(..., ui, ...) =G( q u2 1+u2 2+u2 3) =G(k∇uk) Une solution de (4.36) est donc un extrémum de la fonction
MinJ(v) =
Z
Ω
G(k∇vk)−f v dΩ (4.37)
Nous avons vu (cf. théorème 22) que l’équation (4.36) est elliptique si la fonctionh(..., uj, ...)est une fonction strictement convexe de(u, ..., uj, ...)(ici encore le cas concave est exclu pour des raisons thermodynamique). c’est à dire si la fonction G(t) est strictement convexe et donc si la fonction g(t) =G0(t)est monotone.
– Si la fonctiong(t)est croissante et si elle croît au moins linéairement enxà l’infini,G(t)est convexe coercive et on montre facilement queJ(v)est convexe et tend vers l’infini si k∇vk tend vers l’infini : on pourra montrer l’existence d’une solution et d’une seule.
– Si la fonction g(t)définit une loi de diffusion à “seuil” (i.e. si g(t) tend vers une limite finie quandttend vers l’infini, correspondant physiquement à une saturation pour les flux élevés), G(t)est alors linéaire à l’infini, il n’est pas sûr queJ(v)tende vers l’infini quandk∇vktend vers l’infini (J(v)est différence de deux fonctions linéaires à l’infini), l’existence d’un mini-mum et donc de la solution n’est pas assurée : intuitivement si la densité de chaleur fournie f(x)est trop grande le flux qui ne peut dépasser la valeur de seuil ne peut toujours l’évacuer. On trouve des phénomènes de ce type dans les problèmes de diffusion, en électrocinétique et en mécanique (plasticité et endommagement).
4.3.10 Cas non convexe 1 Un exemple un peu formel
−k∆u−u3 = 0 surΩ
u= 0 surΓ (4.38)
Ce problème aux limites équivaut à chercher un extrémum sur l’espaceV0de la fonctionnelle J(v) = Z Ω kk∇vk 2 2 − v4 4 dΩ (4.39)
IciJ(v), différence de deux fonctions convexes, n’est pas convexe. On montre qu’il y a une infinité de solutions, dont “l’aspect” est proche des modes propres de la membrane.
4.3.11 Cas non convexe 2
Un exemple formel plus complexe, qui est l’analogue continu d’un problème traité au chapitre 1 du cours d’Optimisation :
−k∆u−λu+u3 = 0 surΩ
u= 0 surΓ (4.40)
oùλ >0. Ce problème aux limites équivaut à chercher un extrémum sur l’espaceV0 de la fonction-nelle J(v) = Z Ω kk∇vk 2 2 −λ v2 2 + v4 4 dΩ (4.41)
On montre que siλest inférieur à une valeur critique λc la partie quadratique de la fonctionJ(v) reste définie positive, la fonctionJ(v)est donc une somme de fonctions strictement convexes et elle a donc au plus un minimum qui estu = 0. Siλ > λc la fonctionJ(v) n’est plus convexe, le point u = 0devient un point “col” et il existe un minimum non nul. Pour des valeurs croissantes deλle nombre de points stationnaires s’accroît.
4.3.12 Cas non convexe 3
Dans le problème de la diffusion (4.17), les différents termes dans la fonctionnelle sont des fonc-tions convexes qui s’ajoutent parce que tous ces termes représentent des pertes. Si une augmentation
de température crée de la chaleur (par réaction chimique ...), le signe du terme correspondant est dans le mauvais sens et le potentielJ(v)est la différence de deux fonctions convexes. Le cas suivant (réaction chimique, équilibre d’une étoile...) est caractéristique de ce type de comportement :
−k∆u=exp(λu)
u= 0 surΓ (4.42)
Ce problème est équivalent à la recherche d’un extrémum de la fonction J(v) = Z Ω kk∇vk 2 2 2 − exp(λv) λ dΩ (4.43)
La fonctionJ(v)n’est ni convexe ni coercive, On montre qu’il y a en général une infinité de solution. 4.3.13 Cas non convexe 4
On considère une poutre fléchie par une compression aux extrémités qui peuvent tourner librement (comme une réglette que l’on fléchit entre de deux doigts). L’étude de la position d’équilibre conduit au problème suivant où l’inconnueφ(s)est ici l’angle de la tangente avec l’axe de la poutre (et non pas la flèche)
EI d
2φ
ds2 −Fsinφ(s) = 0 (4.44) avec φ0(0) = φ0(L) = 0 Ce problème est équivalent à chercher, sur l’espace V = C1([0, L]), un extrémum de la fonction J(v) = Z L 0 EI 2 dφ ds 2 +Fcosφ(s)ds (4.45)
(Eest le module de Young,I la moment d’inertie d’une section). Voir l’exemple analogue, mais dis-crétisé, d’un système de barres reliées par des ressorts spirales, au chapitre 1 du cours d’optimisation. Si on développe pour de petites déformations,cosφ= 1−φ22+φ44. On vérifie alors que la fonction reste convexe au voisinage de0siF est petit, sinon il y a perte de convexité. C’est le problème du flambement eulérien:
SiF est inférieur à une valeur critiqueFc, dont on montre qu’elle est une valeur propre du problème linéarisé, la seule solution est la solution nulle représentée par une poutre droite. SiF > Fc il existe 1, 2, 3... solutions suivant les valeurs deF. Une seule (à une symétrie près) est stable.
4.3.14 Un exemple sans potentiel : la convection diffusion
On étudie la répartition de la température dans un fluide incompressible s’écoulant dans une “tuyère” (cf. figure(4.1)) en régime permanent.
– La domaine d’étude estΩ⊂R2. Le bordΓdeΩest la réunion de trois partiesΓ0,Γ1,Γ2. – On noteu(x)la température,Φ(x)le vecteur flux au pointx.
– On notecla capacité volumique etkla conductivité.
– La vitesse du fluide est définie par le champ de vecteurV~(x). On aV ~~n = 0sur le bord Γ2
et l’incompressibilité du fluide se traduit mathématiquement par la condition∇. ~V = 0et la présence d’une paroi parV ~~n= 0.
V ( x ) + Ω Γ 0 Γ 2 Γ 1 Γ 2 Γ 2 FIG. 4.1 – Convection et diffusion
– La température du fluide sur le bord d’entréeΓ0 est connue, égale àT0, et on suppose que la température sur le bord de sortieΓ1 est connue et fixée à T1 (cette hypothèse qui n’est pas naturelle sera discutée plus loin).
– On suppose que la température extérieureTeest nulle et, pour simplifier, on suppose que u= 0 surΓ2
Soit :
−V l’espace des fonctions continues surΩ, qui sont “C1par morceaux” ; −V0 ⊂V le sous espace des fonctions nulles surΓ;
On notera que, en utilisant l’incompressibilité du fluide, on a :∇.(u~V) =∇u. ~V.
On introduit un artifice mathématique pour simplifier la théorie. Soitu¯la solution du problème et u0 ∈U0une fonction arbitraire telle que
u0|Γ0 =T0, u0|Γ1 =T1, u0|Γ2 = 0
On poseu= ¯u−u0qui est donc dansV0. La fonctionuest solution du problème canonique :
−k∆u+c∇.(u~V) = f surΩ u= 0 surΓ0etΓ1) u = 0 surΓ2 (4.46) où f =k∆u0−c :∇.(u0V~) On pose a(u, v) = Z Ω k∇u∇v dΩ b(u, v) = Z Ω c∇.(u~V)v dΩ L(v) = Z Ω f v dΩ (4.47)
Ce problème est un cas particulier couvert par le théorème 20, où l’opérateur du second ordre est elliptique. On a donc la proposition :
Proposition 37 L’équation (4.46) est une équation elliptique si la conductivitékest différente de0, elle est hyperbolique du premier ordre sik= 0.
Une formulation faible équivalente est
u∈V0 et ∀v∈V0 a(u, v) +b(u, v) =L(v) (4.48) où la formea(u, v)est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur l’espaceV0 etb(u, v)est une forme bilinéaire antisymétrique.
L’applicationv → a(u, v)− L(v)est la différentielle de la fonctionJ(v) = 12a(v, v)−L(v). La non-symétrie de la formeb(u, v)fait que l’applicationv → b(u, v)ne peut pas être une différentielle. L’applicationv → a(u, v) +b(u, v)− L(v)n’est donc pas la différentielle d’une fonction, l’équation ne dérive pas naturellement de la recherche d’un extrémum d’un potentiel.
On peut néanmoins démontrer ici l’unicité de la solution : siu1etu2sont deux solutions,u1−u2 est solution du problème homogène associé et on a donc
∀v∈V0 a(u1−u2, v) +b(u1−u2, v) = 0
d’oùa(u1−u2, u1−u2)+b(u1−u2, u1−u2) = 0, orb(u1−u2, u1−u2) = 0du fait de l’antisymétrie deb(u, v)et donca(u1−u2, u1−u2) = 0d’oùu1−u2= 0. L’existence de la solution dans le cadre des espaces de Sobolev découle de la forme générale du théorème de Lax-Milgram (cf. chapitre 6).
Sik= 0l’équation est hyperbolique, c’est une équation d’advection (cf. (2.13)) il n’est plus pos-sible de fixer une condition aux limites en chaque point du bord on fixera par exemple une condition en entrée et rien en sortie. Sik > 0etkest petit, l’équation est elliptique et il faut une condition en entrée et en sortie mais il apparaît une “couche limite” en sortie mais aussi des instabilités dans les résultats numériques qu’il faut corriger par des méthodes adéquates.