Analyse des approximations

Calcul des schémas de récurrence

Nous considérons dans ce paragraphe une situation un peu plus générale que les problèmes mo-dèles en appliquant les schémas ci-dessus à des systèmes différentiels issus de l’approximation d’une équation aux dérivées partielles.

Le schéma d’Euler explicite ne demande que des multiplications matrice - vecteur, et ne pose pas de problème particulier, à part la représentation de la matrice qui doit tenir compte de la forme creuse, voire tridiagonale de la matrice, le produit matrice vecteur étant écrit dans cette représentation (ma-trices “sparse” de Scilab ou MatLab).

Les schémas d’Euler implicite ou des trapèzes s’écrivent mathématiquement à l’aide d’une inversion de matricequ’on ne devra pas (jamais !) faireen pratique ; en effet l’inverse d’une matrice creuse est (en général et en particulier ici) pleine et la seule multiplication de la matrice inverse par un vec-teur exigeraitN²opération alors que l’opération que nous allons décrire ci-dessous est enO(N). Considérons par exemple le schéma d’Euler implicite, pour l’équation de la diffusion (donc A = −K), écrit sous la forme

(Id+τK)Uⁿ⁺¹=Uⁿ

Pour calculerUⁿ⁺¹il faut à chaque pas résoudre un système à matrice tridiagonale symétrique définie positive (la matrice du système est tridiagonale comme l’est la matriceK)

(Id+τK)U=b

Il existe¹alors une matriceLtriangulaire inférieure et bidiagonale telle que (Id+τK) =LL^t

A chaque itération on résout les deux systèmes à matrice triangulaires bidiagonale

LY = b (8.25)

L^tU = Y (8.26)

ce qui ne coûte que4N opérations.

Résultats expérimentaux

Comportement du schéma d’Euler explicite appliqué à l’équation de la diffusion:

Voir la figure 8.1. Le profil initial de température est parabolique. Pour un pas de tempsτ plus petit que0.02les résultats paraissent cohérents : la courbe de température est régulière, concave et décroît vers0. Pour un pas de temps de 0.02 une oscillation apparaît rapidement, puis la solution explose en oscillant.

Analyse:

1C’est la décomposition de Choleski, un sous-produit de la triangulation de la matriceApar la méthode du pivot de Gauss. Voir ([8], [9], [2])

Ci-contre Pas de temps τ τ τ τ = 0.019 Visualisation des 100 premières étapes,

repré-sentées de 10 en 10.

Pas de temps τ τ τ τ = 0.020 Visualisation des 100 premières étapes,

repré-sentées de 10 en 10.

Pas de temps τ τ τ τ = 0.020 Visualisation des 200 premières étapes,

repré-sentées de 10 en 10.

FIG. 8.1 – Comportement du schéma d’Euler explicite appliqué à l’équation de la diffusion. FixonsL= 1pour simplifier. Nous avons calculé (2.10) un développement en séries de Fourier de la solution exacte

u(x, t) =^X k

akexp (−k²π²ct) sin (kπx)

d’où au point(jh, nτ)avech= _N¹₊₁ u(jh, nτ) =^X

k

a_kexp (−k2π²cnτ) sin (kjπh)

On voit que les coefficients des différents harmoniques décroissent avec le temps, d’autant plus vite que la fréquence est élevée.

On peut calculer (paragraphe 8.1.5) les vecteurs et valeurs propres de la matriceM Vk= sinkjπh, µk= 1−4^cτ

h2(sin (k^π 2^h))

2

on en déduit, en décomposant la position initialeU⁰_j dans la base de vecteurs propres deM U⁰_j =^X

k

et donc

Uⁿ_j =MⁿU⁰_j =^X k

c_k(µ_k)ⁿV_k (8.27)

si ^cτ_h2 1/2 toutes les valeurs propres µk sont plus petites que1 en module, ce qui implique la décroissance des coefficients de chaque vecteur propre. Mais si _h^cτ2 1/2,

µN = 1−4^cτ

h2(sin (N^π 2^h))

2 ∼1−4^cτ h2

µN est inférieure à −1 et c’est la plus grande valeur propre, en valeur absolue. Le coefficient du vecteurV_N dans (8.27) domine tous les autres et il tend vers l’infini : comme le vecteurV_N définit une suite oscillante cela explique l’apparition des oscillations grandissantes sur la figure 8.1.

Schéma d’Euler explicite : une position et le mouvement du point milieu

Schéma d’Euler implicite : une position et le mouvement du point milieu

Schéma des trapèzes : une position et le mouvement du point milieu

-2 0 2 4 0 20 40 60 80 100 -1 -0.5 0 0.5 1 0 50 100 150 -1 -0.5 0 0.5 1 0 50 100 150 200 250

FIG. 8.2 – Comportement des trois schémas appliqués à l’équation des ondes. Comportement des trois schémas appliqués à l’équation des ondes.:

Voir la figure 8.2. Le calcul est mené avec une faible précision (10 pas). Avec le schéma d’Euler explicite la l’amplitude des oscillations est croissante. Avec le schéma d’Euler implicite la solution se “régularise” rapidement (suppression des petites irrégularités), ce qui n’est pas normal, et l’amplitude

décroît comme le montre le mouvement du point milieu. Avec le schéma des trapèzes il y a conserva-tion de l’amplitude et on observe des irrégularités qui correspondent au passage des harmoniques de fréquence élevées.

Conservation des propriétés qualitatives

Il y a plusieurs raisons pour construire des schémas d’approximation d’une équation aux déri-vées partielles qui conservent certaines propriétés qualitatives des solutions : la première étant que l’utilisateur d’un logiciel sera surpris de voir une grandeur physiquement positive devenir négative, même faiblement ! La deuxième étant que certaines propriétés qualitatives, comme par exemple la conservation d’une énergie ou la décroissance du maximum, assurent la stabilité et la convergence des approximations.

Équation de la diffusion

Nous avons vu (Prop. 59) que l’équation de la diffusion est dissipative, qu’en est-il des schémas ? −Le schéma explicite s’écrit

Uⁿ⁺¹=Uⁿ−τKUⁿ=Uⁿ− ^cτ h2K₀Uⁿ

oùK₀ est une matrice symétrique définie positive (cf. 8.10). Il n’est pas toujours dissipatif pour le produit scalaire canonique deR^N, en effet

hUⁿ⁺¹,Uⁿ⁺¹i=hUⁿ,Uⁿi+τ²hKUⁿ,KUⁿi −2τhKUⁿ,Uⁿi

si on choisit pourUⁿun vecteur propreVdeK0 de valeur propreλ >0, le second membre s’écrit (1 + ^c

2τ²

h4 λ²−2^cτ

h2λ)hV,Vi Le schéma est dissipatif si

cτ h2 < ²

λ

On peut montrer (8.33) queλ <4, ce qui conduit à la condition suffisante cτ

h2 < ¹ 2

En examinant la formule de récurrence (8.20) on vérifie que sous cette condition uⁿ_j⁺¹ est une moyenne des un

j, ce qui implique la décroissance du maximum et la positivité des valeurs si les valeurs initiales sont positives.

−Le schéma implicite s’écrit

Uⁿ⁺¹−τKUⁿ⁺¹ =Uⁿ

Il est toujours dissipatif pour le produit scalaire canonique deR^N, en effet, si nous prenons le carré scalaire de chaque membre du schéma

Le premier membre n’est formé que de termes positifs donc hUⁿ⁺¹,Uⁿ⁺¹i<hUⁿ,Uⁿi Équation des ondes

Nous avons vu (8.2) que cette équation est conservative. −_{Le schéma explicite s’écrit}

Xⁿ⁺¹=Xⁿ+τAXⁿ

oùAest une matrice antisymétrique pour le produit scalaire que nous avons noté., . . Prenons le carré scalaire de chaque membre

Xⁿ⁺¹,Xⁿ⁺¹ = Xⁿ,Xⁿ+τ² AXⁿ,AXⁿ −2τ AXⁿ,Xⁿ = Xⁿ,Xⁿ+τ² AXⁿ,AXⁿ

puisque pour une matrice antisymétrique AX^,X = 0. Le schéma n’est pas conservatif : à chaque étape il rentre de l’énergie.

−Le schéma implicite s’écrit

Xⁿ⁺¹−τAXⁿ⁺¹=Xⁿ

Prenons le carré scalaire de chaque membre

Xⁿ⁺¹,Xⁿ⁺¹+τ² AXⁿ⁺¹,AXⁿ⁺¹ −2τ AXⁿ⁺¹,Xⁿ⁺¹ =Xⁿ,Xⁿ Donc

Xⁿ⁺¹,Xⁿ⁺¹ +τ² AXⁿ⁺¹,AXⁿ⁺¹ =Xⁿ,Xⁿ Les deux termes du premier membre étant positifs on en déduit

Xⁿ⁺¹,Xⁿ⁺¹ <Xⁿ,Xⁿ Le schéma implicite est toujours dissipatif.

−_{Le schéma des trapèzes s’écrit}

Xⁿ⁺¹=MXⁿ avec M= (Id− ^τ 2^A) −1(Id+^τ 2^A) On a hXⁿ⁺¹,Xⁿ⁺¹i=hMXⁿ,MXⁿi=hM^tMXⁿ,Xⁿi

Montrons que la matriceMest orthogonale pour le produit scalaire ., . . En effet la matriceA

étant antisymétrique M^tM = (Id+^τ 2^A) t(Id−^τ 2^A) −t(Id−^τ 2^A) −1(Id+^τ 2^A) = (Id−^τ 2^A)(Id+ τ 2^A) −1(Id−^τ 2^A) −1(Id+^τ 2^A) = Id

(En tenant compte du fait que toutes ces matrice commutent). On en déduit que le schéma des trapèzes est conservatif en énergie.