L’espace W h des fonctions continues affines par morceaux

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FIG. 7.2 – Un maillage et le support d’une fonction de base en grisé

7.2.4 L’espaceW_hdes fonctions continues affines par morceaux

Description

Nous appelons W_h l’espace des fonctions continues, dont la restriction à chaque triangle du maillage est affine⁴ (en abrégé fonctions continues affines par morceaux). Une fonction de Wh est entièrement définie par ses valeurs aux sommets des triangles, c’est à dire aux nœuds du maillage et on peut la considérer comme une fonction d’interpolation entre des valeurs arbitraires données aux nœuds. Le graphe d’une fonction deWh est une surface polyédrique, dont les facettes sont des triangles. Deux fonctions deW_h qui coincident aux nœuds sont égales car si deux fonctions affines prennent les mêmes valeurs aux trois sommets d’un triangle elles sont égales.

Il faut définir une base deWh. Soitwi la fonction deWhqui prend la valeur1au nœudiet la valeur 0aux autres nœuds. La fonctionwi est nulle sur chaque triangle auquel le nœudin’appartient pas, puisqu’elle est alors nulle aux trois sommets du triangle ; elle est donc non nulle seulement sur le polygone qui entoure le nœudi(Fig. 7.2 ). Son graphe est une petite pyramide qui est centrée sur le nœudiet qui a pour base le polygone qui entoure le nœudi(Fig. 7.3).

Proposition 56 Soitw_ila fonction affine par morceaux qui vaut1au nœudiet0aux autres nœuds. Son support est l’ensemble des triangles dont le nœud i est un sommet. Le système de vecteurs [w1, ..., wi, ..., w_N]est une base deW_h. Les composantes d’une fonction dans la base sont ses valeurs aux nœuds.

En effet, sivest une fonction arbitraire deWh et si(v1, ..., vi, ..., vN)^test le vecteur formé par ses valeurs aux nœuds, on a

v(x, y) = N

X

j=1

v_jw_j(x, y) (7.16)

4Une fonction affine est une fonction polynôme de degré1:u(x, y) =ax+by+c. L’usage courant les appelle aussi linéaire, terme en toute rigueur réservé àu(x, y) =ax+by.

Pour le démontrer il suffit de remarquer que les deux membres représentent des fonctions deW_h et que ces deux fonctions prennent la même valeurviau nœudi.

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FIG. 7.3 – Graphe d’une fonction de base

Application de la méthode de Ritz-Galerkin

Nous appliquons la méthode de Ritz-Galerkin à la formulation faible (7.2) en utilisant pour espace d’approximation l’espace V_h = W_h. Nous développons u_h dans la base w_i, pour i = 1, ..., N, (définition (56)) de Vh; les composantes uj de uh sont les valeurs de uh aux nœuds (56). Nous obtenons un système linéaire

KU=F (7.17)

où nous avons introduit des notations conventionnelles :

−U= (u1, ..., uj, ..., uN)^test le vecteur formé par les inconnues.

−Kest la matrice, dite de "raideur", de dimension(N, N)dont les coefficients sont Ki,j =a(wj, wi) =

Z

Ω

k∇w_j· ∇w_i+cwiwj dΩ −Fest le vecteur de dimensionN dont les coefficients sont

F_i =L(w_i) =

Z

Ω

f w_idΩ

Ce système est à matrice symétrique définie positive (théorème 29).

La matrice de raideurK

La matrice de raideurKa pour éléments Ki,j =a(wj, wi) =

Z

Ω

Or nous avons vu qu’une fonction de base est nulle hors des triangles auxquels le nœudiappartient, les deux fonctionswi etwj ne sont donc simultanément non nulles que sur les triangles dontietj sont des sommets. DoncK_i,j = 0si les nœudsietjne sont pas adjacents. La matrice de raideur n’a donc que très peu d’éléments non nuls, on dit qu’elle estcreuse. La position des éléments non nuls, que l’on appelle le profil de la matrice, dépend de la numérotation des nœuds.

En reprenant les conclusions du paragraphe précédent, il vient :

Proposition 57 La matrice de raideurKa pour coefficients :

Ki,j =

Z

Ω

k∇w_j · ∇w_i+cwiwjdΩ Elle est symétrique définie positive et creuse.

Des méthodes numériques spécialement adaptées aux matrices ayant ces propriétés ont été dévelop-pées, notamment les méthodes de gradient conjugué, voir le cours d’optimisation .

Matrice de raideur élémentaireKe

Les coefficients deKsont des intégrales sur le domaineΩ. Pour les calculer on les décompose en intégrales sur les triangles du maillage. Précisons :

1. Un triangleT_ene contribue au calcul d’une intégrale

Z

Ω

k∇w_j · ∇w_i+cw_iw_jdΩ

que si ce triangle appartient au support des fonctions wi et wj, ce qui implique d’après la proposition (56) que les nœuds i et j sont des sommets du triangle Te. Un triangle Te de sommet(i, j, k)ne contribue donc qu’au calcul de9coefficients

Ki,i Ki,j Ki,k K_j,i K_j,j K_j,k K_k,i K_k,j K_k,k

2. La contribution du triangleTede sommet(i, j, k)à un coefficient, par exempleKi,j, c’est une intégrale sur ce triangle

K_i,j^e =

Z

T_ek∇w_j· ∇w_i+cw_iw_jdΩ

Comme il contribue à9coefficients, on peut ranger ces contributions dans lamatrice de raideur élémentaire

K_e=





K_i,i^e K_i,j^e K_i,k^e K_j,i^e K_j,j^e K_j,k^e K_k,i^e K_k,j^e K_k,k^e



1 3

2 h

h

FIG. 7.4 – Un triangle rectangle isocèle

Noter que cette matrice, une fois écrite pour un triangle quelconque, contient toute l’information provenant de la forme bilinéairea(u, v)qui définit la formulation faible, les autres informations pro-viennent de la géométrie du domaine, c’est à dire du maillage. D’un point de vue algorithmique nous avons fait un découplage entre les données géométriques et la forme de l’équation.

Exemple:

Soit un triangle rectangle isocèleTede côtéh(Fig. 7.4). En prenant pour repère les côtés de l’angle droit il vient w₁(x, y) = 1−^x+y h ^{, w2(x, y) =} x h^{, w3(x, y) =} y h d’où ∇w₁= −¹_h −1 h ∇w₂ = 1 h 0 ∇w₃ = 0 1 h

Pour simplifier supposonsc= 0. On a K_i,j^e =

Z

Ω

k∇w_j· ∇w_idΩ et donc, puisque les gradients d’une fonction affine sont constants

K_i,j^e =Surf(T_e)k∇w_j· ∇w_i= ^h

2

2 ^{∇wj· ∇wi} Compte tenu des expressions des gradients, il vient

K_e= ^k 2   2 −1 −1 −1 1 0 −1 0 1   (7.18)

Maillage régulier : lien avec la méthode des différences finies

Considérons un maillage d’un carré, découpé en petits carrés, redécoupés en deux triangles se-lon une diagonale fixe. Chaque nœud est, comme le nœud 1de la figure (Fig. 7.5), au centre d’un hexagone formé de triangles rectangles isocèles, les côtés de l’angle droit étant de longueurh.

h h h h h 1 2 4 5 3 6 7

FIG. 7.5 – Maillage régulier : carré découpé en deux triangles

1 2 3 4 5 6 7 h 1 c

FIG. 7.6 – Interprétation des équations

En supposant toujoursc = 0on peut utiliser les formules établies dans le paragraphe précédent pour calculer les coefficients non nuls de la première ligne deK, il suffit d’ajouter les contributions de chaque triangle    K_1,1= 4k K1,2=K1,3 =K1,4=K1,5 =−k K_1,6=K_1,7 = 0 (7.19) La première équation du systèmeKU=Fs’écrit donc

k(4u₁−u₂−u₃−u₄−u₅) =F₁ En divisant parh²et en réarrangeant, le premier membre s’écrit

−k^u2−2u1+u4

h2 −k^u3−2u1+u5 h2

On retrouve un “schéma classique” d’approximation aux différences finies pour l’équation (7.1), dit schéma cinq points, (7.4). C’est un résultat général : si on utilise des maillages réguliers les équations obtenues par la méthodes éléments finis s’interprètent comme des équations au sens des différences

finies. On peut remarquer que cela fournit une démonstration naturelle du caractère défini positif de la matrice du système obtenu par la méthode des différences finies.

Interprétation physique d’une équation

Une équation du système (7.12) s’écrit

a(u_h, w_i) =L(w_i)

Pour simplifier l’exposé supposons quec= 0. L’équation (7.1) est alors l’équation de la diffusion de la chaleur en régime permanent dans une plaque mince,u(x)est la température au point xetf(x) une densité de chaleur fournie à la plaque.

Interprétation du premier membre d’une équation

Sur un triangleT_e, en utilisant les notations de la figure 7.6, i.e. en faisanti = 1, les gradients des fonctions affines sont constants

Z

Te

∇u_h· ∇w₁dS=Aire(T_e)k∇u_h· ∇w₁ Or

Aire(T_e) = ^c1h1 2

et∇u_h est un vecteur dirigé selon la hauteur relative au nœud1avec un module égal à_h¹

1. Donc, en notantn~₁le vecteur unitaire dirigé selon la hauteur

Z

Te

∇u_h· ∇w₁dS=k∇u_h·~n1

c1

2

Cette quantité représente le flux de chaleur créé par le champu à travers le segment formé par les milieux des côtés(1,2)et(1,3)qui est de longueur^c1

2 et de normale~n1. Donca(uh, wi)est la somme des flux de chaleur créés par le champu_hà travers le contour représenté Fig. 7.6.

Interprétation du second membre d’une équation On a

L(wi) =

Z

Ω

f widΩ

Ce terme est homogène à une quantité de chaleur puisque la fonction f est la densité de chaleur fournie à la plaque. La somme des fonctions wi est la fonction affine par morceaux qui vaut 1 en chaque nœud, c’est donc la fonction constante 1. Les fonctionswi apparaissent donc comme des densités qui concentrent autour du nœudila densité de chaleur fournie à la plaque. Le second membre représente une concentration d’une densité de chaleur répartie autour du nœudi.

Nous en déduisons l’interprétation suivante d’une équation : Résumé 3 Interprétation d’une équation

L’équation ipeut s’interpréter comme une équation de conservation de l’énergie entre le flux de chaleur à travers un contour entourant un nœud et les quantités de chaleur fournies par le milieu extérieur.

Cette interprétation est très pratique pour décrire les modifications à effectuer dans une équation pour prendre en compte de manière intuitive des phénomènes physiques qui ne sont pas couverts par la théorie mathématique décrite dans les paragraphes précédents. Considérons, par exemple, une plaque chauffée par un rayon laser en un point qui est un nœudi. Comment faut-il modifier les équations pour en tenir compte ? La quantité de chaleurQfournie par le laser s’ajoute à la densité de chaleur, il faut donc ajouterQau second membre de l’équation relative à ce nœudi.

Cette interprétation montre également la nature de l’approximation effectuée ; en effet la solution exacteudu problème vérifie le principe de conservation de l’énergie à travers tous les contours inté-rieurs au domaine, tandis que la solution affine par morceauxu_hne vérifie le principe de conservation qu’à travers les contours polygonaux formés de segments passant par les milieux des arêtes.

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