Un problème d’évolution, hyperbolique linéaire : l’équation des ondes

L’équation des ondes

On cherche une fonctionu(x, t)du point d’abscissex, au tempst,u∈C²([0,1]×[0, T]), solution du problème                      ∂²u ∂t2 =c^2∂ 2u ∂x2 u(x,0) =u₀(x) ∂u ∂t^{(x,0) = 0} u(0, t) =u(1, t) = 0 (2.16)

oùu0(x) ∈C²([0, L])est la position initiale. Ce problème se retrouve dans tous les domaines de la physique, pour modéliser des phénomènes vibratoires unidimensionnels : les cordes vibrantes (u(x, t) est la position du pointxau tempst), les ondes sonores dans un tuyau.... C’est un problème de Cauchy, ou à valeur initiale : au tempst= 0l’état initial est donné (positionu0et vitesse nulle pour les cordes vibrantes), le problème est de déterminer l’évolution ultérieure. Notons que la détermination de la solution est complétée par la donnée de conditions aux limites sur x. Nous verrons la définition de l’hyperbolicité au chapitre 5.

Formes équivalentes de l’équation

Système du premier ordre

L’équation ^∂_∂t²2^u =c^2∂_∂x^2u2 qui est du second ordre est formellement équivalente au système du premier ordre      ∂u ∂t ^=c ∂v ∂x ∂v ∂t ^=c ∂u ∂x (2.17)

Le problème apparaît naturellement sous cette forme dans l’étude des ondes sonores dans un tuyau (cf. 2.39).

Réduction par changement de variables Effectuons le changement de variables

X=x+ct, Y =x−ct Il vient u(x, y) =u(^X+Y 2 ^, X−Y 2c ^{) = ˜u(X, Y)} On en déduit ∂²u˜ ∂X∂Y ^{= 0}

L’équation ^∂_∂t^2u2 =c^2∂_∂x^2u2 est donc formellement équivalente à l’équation ∂²u˜

∂X∂Y ^{= 0 (2.18)}

dont la solution, obtenue par deux intégrations successives, a la forme ˜

u(X, Y) =g(X) +h(Y) (cf. au paragraphe suivant (2.21)).

Décomposition de l’opérateur

En conservant les variables initiales, (2.18) équivaut à écrire l’opérateur aux dérivées partielles dans équation (2.16) sous la forme :

(^∂ ∂t ^+c ∂ ∂x⁾⁽ ∂ ∂t ^−c ∂ ∂x^{)u= 0 (2.19)} Posons v(x, t) = (^∂u ∂t ^−c ∂u ∂x⁾ L’équation (2.19) implique (^∂v ∂t ^+c ∂v ∂x⁾

vest donc solution d’une équation d’advection, et d’après (15) cela implique quevest constante sur les droites d’équationx−ct=Cte.

De même en posant

w(x, t) = (^∂u ∂t ^+c

∂u ∂x⁾

et en permutant les deux opérateurs aux dérivées partielles dans (2.19) on montre que que w(x, t) est constante sur les droites d’équation x +ct = Cte. Les droites d’équation x −ct = Cte et x+ct=Ctesont appelées lescaractéristiques, tandis que les fonctionsvetw, qui sont constantes sur les caractéristiques, sont lesinvariants de Riemann. La détermination des deux invariants permet de calculer la solution comme nous le détaillerons plus bas.

Solutions particulières

Définition 7 On appelleharmoniquesles solutions de l’équation des ondes qui représentent des mou-vements dont tous les points oscillent en phase

u(x, t) =u(x)v(t) Les harmoniques sont de la forme

uk(x, t) =aksinkπxcos (kπct+φk)

Noter que les fonctions v_k(x) = a_ksinkπx qui définissent la forme des harmoniques sont par construction lesfonctions propresdu problème de statique associé au problème de vibration

     −^d 2vk dx2 =k²π²v_k u(0, t) =u(1, t) = 0 (2.20)

Développement en séries de Fourier

On a une expression de la solution sous la forme d’une superposition d’harmoniques, i.e. d’un déve-loppement en série de Fourier

u(x, t) =^X k a_kcos (kπct) sin (kπx) où a_k = 2 Z 1 0 u₀(x) sin (kπx)dx

Noter que la convergence de la série peut être lente (comparer avec (2.10)), elle est de l’ordre de la série de terme générala_k, qui est le coefficient de Fourier deu₀: or siu₀(x)est une fonction irrégu-lière, sa série de Fourier converge lentement.

Ondes planes

Si le domaine est_Ron peut trouver des solutions particulières sous la formed’ondes planes, i.e. de fonctions de la formeu(x, t) =f(x−at), il vient

∂²u ∂t2 −c^2∂

2u

∂x2 = (a²−c²)f⁰⁰(x+at)

Le second membre est nul si a = ±c. Ce qui montre que, si f(x), g(x) sont deux fonctions C² quelconques, les fonctions

u(x, t) =f(x−ct) et

sont des solutions particulières de (2.16).

On retrouve ce résultat en intégrant l’équation (2.18), il vient ∂˜u(X, Y) ∂Y ⁼ ∂u(0, Y˜ ) ∂Y puis ˜ u(X, Y) = Z Y 0 ∂u(0, z)˜ ∂Y ^{dz+ ˜u(X,0)} d’où en posanth(Y) =RY

0

∂u˜(0,z)

∂Y dzetg(X) = ˜u(X,0) ˜

u(X, Y) =g(X) +h(Y) ou, en revenant aux variables initiales,

u(x, t) =g(x+ct) +h(x−ct) (2.21) oùgethsont deux fonctionsC²quelconques.

Expression de la solution

En utilisant (2.21) on peut obtenir une expression de la solution de (2.16). Il suffit de déterminer gethde façon queu(x,0) =u0(x)et ^∂u_∂t(x,0) = 0, il vient

g(x) =h(x) = ¹ 2^u0(x) et donc

u(x, t) = ^{(u0(x+ct) +u0(x−ct))}

2 ^(2.22)

Si nous considérons que dans (2.22)u₀(x)est prolongé par antisymétrie sur[−1,1]puis rendue pério-dique de période 2 sur toutR, l’expression (2.22) est valable pour tout couple(x, t)et les conditions aux limites sont vérifiées

u(0, t) =u0(ct) +u0(−ct) = 0 et

u(1, t) =u0(1 +ct) +u0(1−ct) =u0(−1 +ct) +u0(1−ct) = 0

Donc (2.22) définit bien une solution du problème (2.16). Nous avons donc montré la proposition :

Proposition 17 Le problème (2.16) admet une solution et une seule u(x, t) = ^{u0(x+ct) +u0(x−ct)}

Propriétés de la solution

−Les conditions de régularité que nous avons posées suru₀sont beaucoup trop restrictives, mais pour les étendre il nous faudra aussi étendre le sens donné à une solution du problème : si u₀ est simplement continue mais non dérivable la solution (2.22) de (2.16) a bien un sens mathématique et physique mais elle n’est pas dérivable ! Comme pour l’équation d’advection les solutions physiques ont un sens qui dépasse le cadre mathématique des fonctionsC1. Nous verrons qu’il faut poser l’équa-tion aux dérivées partielles au sens des distribul’équa-tions.

−La forme (2.22) de la solution fait apparaître celle-ci comme la superposition de deux ondes planes se propageant dans chaque sens à la vitessec; en utilisant la linéarité de l’équation on en déduit que toute perturbation de la solution a encore cette propriété : le problème est à vitesse de propagation finie. Plus précisément, la solution à l’instanttne dépend que des valeurs antérieures sur les droites caractéristiquesx+ct=Cteetx−ct=Cte.

−A la différence de l’équation de la diffusion qui est dissipative, l’équation des ondes est conser-vative : on montre par la même méthode que (2.12) la proposition :

Proposition 18 conservation de l’énergie totale

Une solution de l’équation des ondes conserve l’énergie totale

L Z 0 (^∂u ∂t⁾ 2+c²(^∂u ∂x⁾ 2dx=Cte (2.23)

On en déduit directement l’unicité de la solution. Cette propriété est essentielle car la conservation de l’énergie garantit que la solution est stable vis à vis d’une perturbation des données.

−_{La forme 2.22 de la solution fait apparaître que les singularités de la solution (i.e. les points} où elle n’est pasC^∞) se propagent : contrairement à l’équation de la diffusion, l’équation des ondes n’est pas régularisante.

−Nous avons cherché une solution de (2.16) pourt >0mais la solution calculée a un sens pour t <0: le problème inverse, retrouver l’état initial à partir de l’état à un tempst >0, a un sens pour l’équation des ondes, contrairement à l’équation de la diffusion.

Résumons les propriétés de la solution que nous avons obtenues :

Proposition 19 L’équation des ondes est :

−conservative : les invariants de Riemann sont conservés sur les caractéristiques, l’énergie totale est constante.

−à vitesse de propagation finie, −réversible,