4.2.1 Position du problème
Nous avons vu au chapitre 2 et 3 que les grandes théories de la physique mathématique s’ex-primaient sous la forme de principe de minimum d’une certaine fonction potentielle. Cela explique que les problèmes de statique modélisés par des systèmes d’équations aux dérivées partielles, sont deséquations d’Euler-Lagrange(cf. (3.27)) d’une fonctionnelleJ(v)et cela permet de comprendre pourquoi les problèmes aux limites qui leur sont associés sont des problèmes bien posés. Nous allons voir ci-dessous que les propriétés de la fonctionnelle permettent notamment de comprendre les ques-tions d’existence, d’unicité ou de multiplicité, et de stabilité de la solution. Elles fournissent de plus un cadre d’étude de l’approximation et des méthodes numériques de résolution.
4.2.2 Equation dérivant d’un potentiel
Existence du potentiel
L’existence d’un potentiel est équivalente à l’existence d’un principe de conservation (le travail ne dépend pas du chemin suivi), ainsi en mécanique ce potentiel n’existe pas en présence de frottements. Mathématiquement l’opérateur aux dérivées partielles vérifie une condition de symétrie (Voir le cours d’Optimisation chapitre 1), que nous n’expliciterons pas dans le cas général, mais qui explique la symétrie de la forme bilinéairea(u, v)dans les formulations faibles de ces problèmes. Le problème de convection-diffusion ou les écoulements de Navier Stokes en régime permanent sont des exemples de problème de statique qui ne sont pas associés à des potentiels.
Equation d’Euler associée à un potentiel
Nous considérons dans ce paragraphe des problèmes avec une seule fonction inconnue et nous nous limitons aux conditions aux limites de type Dirichlet homogène. Nous considérons une fonction potentielle de la forme
J(u) =
Z
Ω
h(x, u,∇u)dΩ (4.7)
Soit V0 l’espace des fonctionsC1 nulles sur le bordΓ deΩ. Nous avons vu (théorème (12)) qu’un extrémum de la fonctionJ(u)sur l’espaceV0vérifie les équations d’Euler sous forme faible, c’est à dire ∀v∈V0 Z Ω ∂h ∂uv+h∇uih,∇vidΩ = 0 (4.8) où l’on a posé
∇ujh= (∂h ∂uj1
, ..., ∂h ∂un
)t
On en déduit l’équation d’Euler (cf. (3.27)) écrite sous la forme canonique −∇.x(∇ujh) +∂h
∂u = 0 (4.9)
et en développant les dérivées (cf. (3.27))
f(u, ..., uxi, ..., uxixj, ...) =−X i,j
∂2h
∂uxj∂uxiuxixj+∂h
∂u = 0 (4.10)
à laquelle il faut ajouter, puisqueu ∈ V0 la conditionuΓ = 0qui définit un problème aux limites. L’équation d’Euler (4.10) est une équation quasi-linéaire du second ordre (i.e. elle est linéaire par rapport aux dérivées secondes).Donc :
Proposition 35 Une condition nécessaire d’extrémalité de la fonctionJ(u)sur l’espaceV0 est que uvérifie un problème aux limites homogènes pour l’équation d’Euler Edp4FFEulerFort qui est une équation quasi-linéaire du second membre
Remarque importante: Les équations aux dérivées partielles peuvent s’écrire sous un grand nombre de formes équivalentes. Il est notamment tentant, en développant toutes les dérivées, d’obtenir la forme (4.10) qui parait canonique et qui fait apparaître toutes les dérivées. Pourtant, quand on sait que l’équation peut être obtenue par un principe de minimum, il est bien préférable d’utiliser la forme ( 4.9) :
−Elle conserve la signification physique des différents termes.
−Elle permet de construire directement les formulations faibles à la base des approximations numé-riques par la méthode des éléments finis.
−Elle permet de construire de façon cohérente des formules d’approximation aux différences finies. 4.2.3 Potentiel coercif
Nous avons vu au chapitre 2 du cours d’optimisation le théorème
Théorème 21 Une fonction continue et coercive sur un espace de dimension finie admet un minimum. Ce théorème est faux sur un espace de Hilbert ou de Banach de dimension infinie. Il ne s’applique donc pas directement à la fonction potentielle (4.7). Néanmoins nous pouvons nous en servir comme d’un principe heuristique pour s’assurer de l’existence de la solution d’un problème car si la fonc-tionnelle est coercive, on pourra souvent en déduire l’existence d’au moins un minimum “dans le bon espace fonctionnel”. Cela sera vrai en particulier si la fonctionnelle est convexe et continue sur un espace de Banach dit “réflexif” (comme les espaces Lp(Ω), 1 < p < +∞), mais cette théorie dépasse le cadre de ce cours.
−Si la fonction potentielle (4.7) est une somme de termes d’ordre de grandeur différent, la coer-civité de cette fonction va dépendre du terme de l’ordre le plus élevé.
−Quand on construit une approximation numérique du problème par la méthode des éléments finis, on restreint le principe du minimum à un sous-espace de dimension finie si bien que le théorème (21) s’applique.
−Quand une fonction dépend d’un paramètre, elle peut être coercive ou non selon les valeurs du paramètre ; la perte de coercivité pour une valeur d’un paramètre sera ainsi le signe d’une “catastro-phe” par perte de stabilité ou par disparition complète d’une solution (voir le cours d’Optimisation chapitre 1 pour un exemple).
4.2.4 Potentiel convexe
La convexité de la fonction potentielle (4.7) est une conséquence de la convexité de la fonctionh (Voir le cours d’Optimisation chapitre 2). Pour démontrer la proposition suivante on écrit l’inégalité de convexité pourh(...uk, ..., ..., ukj, ...)et on intègre surΩ.
Proposition 36 Si la fonctionh(x, u,∇u)est une fonction strictement convexe de(u, ..., uj, ...)alors la fonction potentielleJ(u)définie par (4.7) est une fonction strictement convexe deC1(Ω])dansR. Elle admet alors au plus un minimum.
Supposons que la fonction h(x, u,∇u) ne dépende pas de u, mais seulement dex et ∇u : h = h(x,∇u). Par définition l’équation d’Euler (4.10) est elliptique si la forme quadratique (4.4) est défi-nie positive ou défidéfi-nie négative. Or
∂f ∂uxixj
=− ∂
2h ∂uxi∂uxj
ce qui fait que la forme quadratique (4.4) est la forme associée au Hessien de la fonction h, à x fixé, qui est donc défini positif ou négatif. Nous avons vu (Cours d’optimisation, chapitre 2) que si le Hessien d’une fonction est défini positif, la fonction est strictement convexe. Nous en déduisons le théorème :
Théorème 22 Si l’équation d’Euler
−∇.x(∇ujh) = 0 associée à un potentiel J(u) = Z Ω h(x,∇u)dΩ
est elliptique, la fonctionh(∇u)est strictement convexe ou strictement concave. La fonction poten-tielleJ(u)est alors strictement convexe ou strictement concave.
Ce résultat est essentiel pour la théorie mathématique de l’existence de la solution comme pour la construction d’une approximation numérique par la méthode des éléments finis et enfin pour définir un algorithme de calcul d’une approximation. On en déduit en particulier que la fonctionJ(u)a au plus un extrémum et que l’équation a donc au plus une solution. Nous verrons ci-dessous de nombreux exemples vérifiant ces hypothèses.
4.2.5 Analyse des conditions aux limites
Position du problème
Les propriétés d’une solution dun problème aux limites dépendent non seulement de l’équation aux dérivées partielles mais aussi des conditions aux limites qui déterminent complètement la solu-tion. Dans le paragraphe (4.2.2) nous avons étudié les conditions d’optimalité d’une fonctionnelle J(u) sur l’espace V0 des fonctions C1 nulles sur le bord. Une condition nécessaire est queu soit solution d’un problème aux limites pour l’équation d’Euler, avec des conditions aux limites de type Dirichlet homogène. Nous allons voir dans ce paragraphe que, pour une équation d’Euler, on peut considérer des conditions aux limites plus générales tout en ayant une interprétation de la solution du problème aux limites comme un extrémum d’un potentiel. Cela nous permettra d’analyser l’effet de ces conditions aux limites sur les propriétés des solutions.
Cas des problèmes associés à un potentiel
Nous étudions les conditions d’optimalité d’une fonctionnelleJ(u)sur l’espace des fonctionsC1 quelconques et nous ajoutons au potentiel une intégrale de bord, nous définissons donc
J(u) = Z Ω h(x, u,∇u)dΩ + Z Γ G(u)dΓ (4.11)
oùG(u) ∈ C1(R). Nous allons établir les conditions nécessaires que doit vérifier un extrémum de J(u)sur l’espaceC1(Ω).
En procédant comme pour le théorème (12), on montre que un extrémum de la fonction J(u) sur l’espaceC1(Ω)vérifie ∀v∈C1(Ω), DJ(u).v = Z Ω X i ∂h ∂ui vxi+∂h ∂uv dΩ + Z Γ G0(u)v dΓ = 0 (4.12) Posons Φ =∇uih= (∂h ∂u1 , ..., ∂h ∂un )t ce qui permet d’écrire plus synthétiquement
DJ(u).v= Z Ω hΦ,∇vidΩ + ∂h ∂uv dΩ + Z Γ G0(u)v dΓ Appliquons la formule de Stokes (1.2) aux intégrales
Z Ω hΦ,∇vidΩ =− Z Ω ∇.Φv dΩ + Z Γ Φnv dΓ On en déduit DJ(u).v= Z Ω (−∇.Φ +∂h ∂u)v dΩ + Z Γ (Φn+G0(u))v dΓ Un extrémum deJ(u)surC1(Ω)doit donc vérifier
Φ = (..., ∂h ∂uxi, ...) t ∀v∈C1(Ω) Z Ω (−∇.Φ +∂h ∂u)v dΩ + Z Γ (Φn+G0(u))v dΓ = 0 (4.13)
En procédant comme au paragraphe (3.3.1) on en déduit le théorème :
Théorème 23 Un extrémum de la fonctionJ(u)définie par (4.11) est la solution du problème aux limites suivant pour une équation aux dérivées partielles du second ordre
−∇.x(∇uih) +∂h ∂u = 0 six∈Ω h∇uih, ni=g(u) =G0(u) six∈Γ (4.14) Interprétation
On peut utiliser ce résultat pour analyser le problème aux limites (4.14). La fonction (4.11) est la somme de deux termes, la coercivité ou(stricte) convexité de chacun de ces termes assurera, par exemple, l’existence et l’unicité de la solution de (4.14) ; par contre si le second terme est concave et tend vers−∞à l’infini, la coercivité deJ(u)n’est pas assurée et la situation peut être complexe pour ce qui est de l’existence de la solution ou de sa multiplicité.