8.1.1 Principe général
L’analyse 3D permet d’ajuster simultanément un modèle spatial et spectral sur les données. Le principe général est similaire à l’analyse morphologique présentée brièvement dans le chapitre précé-dent et est fondé sur la comparaison entre un cube d’évènements mesurés et un cube d’évènements prédits par le modèle. Le format de données sous forme de cube est établi pour un nombre donné d’observations, en utilisant un échantillonnage spatial (2D) et en énergie (1D) donné.
Le cube d’évènements mesurés (cube ON) est par définition composé du fond résiduel et du signal lié aux sources que nous voulons étudier. Pour pouvoir être comparé aux données, le cube d’évènements prédits doit être également composé d’un fond (prédit par un modèle de fond) et d’un signal (prédit par le modèle de la source). Ce dernier est convolué par les fonctions d’instrument (IRFs) correspondants aux observations utilisées.
Le modèle de la source est composé :
• d’un modèle spectral qui est une loi spectrale comme par exemple une loi de puissance simple (∝ E
E0
−Γ
) ou une loi de puissance avec une coupure exponentielle (∝ E E0
−Γ
exp−βE), • d’un modèle spatial qui représente la morphologie M de la source. Pour une source de mor-phologie assez simple et symétrique, nous pourrons par exemple utiliser une gaussienne symé-trique 2D dont nous ajusterons la largeur, pour estimer l’extension de la source, et l’amplitude pour obtenir son flux. Nous supposons des morphologies indépendantes de l’énergie.
Les fonctions d’instrument nécessaires pour l’analyse 3D correspondant aux observations utilisées incluent le cube d’exposition moyenne de tous les runs constituant le lot d’observations de la source (EXPOSITION), le cube de PSF moyenne (PSF) ainsi que la résolution en énergie moyenne. Elles sont présentées dans la section 8.1.3. Le modèle spatial est multiplié par le cube d’exposition et convolué avec le cube de PSF. Le modèle de fond est construit à partir des données de fond et sera décrit dans la partie suivante. La figure 8.1 présente le schéma de principe de cette analyse en cube pour une bande en énergie donnée du cube.
L’ajustement de la forme spectrale et de la morphologie supposées pour la source est obtenue en comparant le nombre de coups prédit par le modèle et le nombre de coups observé, dans chaque intervalle en énergie et pixel spatial du cube. Cette comparaison s’effectue par une minimisation de la fonction de vraisemblance prenant en compte la distribution Poissonnienne du nombre d’évènements dans chaque intervalle. Nous disposons d’un modèle de fond pour cet ajustement et nous utilisons donc une statistique de Cash (Cash, 1979). Cette minimisation est réalisée avec le paquet Python Sherpa (CIAO v4.5, Refsdal et al. (2009)) adapté pour un ajustement à trois dimensions combinant une partie spatiale et une partie spectrale. Nous avons créé les méthodes afin de pouvoir prendre en compte la convolution par la PSF de la partie spatiale et de tenir compte de la résolution en énergie.
8.1. PRINCIPE ET MÉTHODE DE L’ANALYSE EN CUBE
Cube d’évènements
mesurés Cube d’évènements prédits
Modèle de Fond + Modèle de la source
Modèle Spa:al × Modèle Spectral
(Exposi:on × (M))*PSF
Φ(E)=φ0 (E/1 TeV)-‐Γ
Φ(E)=φ0 (E/1 TeV)-‐Γ exp(-‐βE)
Morphologie 2D
Gaussienne 2D pour les sources ponctuelles
vs
v
v
v
Figure 8.1 – Illustration de la construction du cube d’évènements prédits pour une bande en énergie du cube à partir d’un cube de fond, d’une PSF et d’un cube d’exposition. Les paramètres du modèle spatial et spectral supposé pour la source sont ensuite ajustés en comparant au nombre de coups mesurés.
8.1.2 Modèle pour le cube de données de fond
Le modèle de fond utilisé pour produire le cube de fond prédit est fondé sur la méthode du "Field of View Background" décrite dans la section 6.4.1 pour construire des images 2D sur une bande en énergie définie. En additionnant les cartes de fond de chaque run, une carte d’évènements de fond prédits est créée pour un ensemble d’observations. En répétant l’opération pour chaque intervalle en énergie du cube, nous obtenons un cube du modèle de fond. La normalisation du modèle s’effectue ensuite en imposant que la somme des évènements du cube d’évènements mesurés en dehors des régions d’exclusion, soit égale à la somme des évènements prédits en dehors des régions d’exclusion par le modèle de fond pour chaque intervalle en énergie du cube.
8.1.3 Construction des fonctions d’instrument nécessaire à l’analyse 3D
Le nombre de coups prédit dans un intervalle en énergie vraienvraiede centreEvraie est obtenu en combinant le modèle spatial et spectralφ(E). Le modèle spatial de source est multiplié par un cube d’exposition puis ensuite convolué par la PSF :
n(Evraie) = (Modele spatial 2D× Exposition(Evraie))∗ PSF(Evraie)× φ(Evraie) (8.1) Ces cubes d’exposition et de PSF moyens (section 8.1.3.1 et 8.1.3.2) doivent donc être calculés en amont de l’analyse. De plus, la résolution en énergie doit être prise en compte dans la construc-tion du cube d’évènements prédits pour pouvoir comparer au nombre d’évènements dans les bins en énergie reconstruite. Nous détaillons dans cette section, les méthodes que nous avons mises en place pour la construction de ces IRFs moyens. Les interpolations multilinéaires implémentées dans Gam-mapy permettent d’évaluer ces fonctions d’instrument pour les différentes énergies vraies, énergies
reconstruites et positions spatiales des cubes de données.
8.1.3.1 Cube d’exposition
L’exposition se définit comme le produit de la surface efficace A (section 6.1.1) et du temps de l’observation. Lors de l’ajustement de la morphologie d’une source, diffuse en particulier, il est nécessaire de prendre en compte les gradients de l’exposition qui pourraient introduire des biais dans les paramètres morphologiques reconstruits. C’est pour cette raison que le modèle spatial est multiplié par l’exposition (figure 8.1).
Comme détaillé dans la section 6.3.1, la surface efficace est déterminée pour chaque run pour 6 décalages angulaires dans le champ de vue et 20 intervalles en énergie vraie. Pour produire le cube, la surface est évaluée en chaque pixel de la dimension spatiale du cube et au centre de chaque intervalle en énergie en utilisant une interpolation bilinéaire en énergie vraie et en décalage angulaire. Le cube d’exposition totale est la somme des cubes d’exposition de chaque run. Pour un lot de données composé d’un nombre Nobs d’observations, pour un pixel de la carte à une position (x,y) du centre de la carte et pour une énergie Eref :
Exposition(x, y, Eref) =
Nobs
X
i=1
Ai(θi(x, y), Eref)× ti (8.2) avec Ai la surface efficace, θi(x, y) le décalage angulaire du pixel par rapport à la direction de pointé du run i et ti le temps d’observation soustrait du temps mort.
8.1.3.2 Cube de PSF
Comme pour la surface efficace, pour chaque run des tables de PSF sont produites pour 6 décalages angulaires dans le champ de vue et 20 intervalles en énergie vraie. Actuellement, dans l’analyse 3D développée, le cube de PSF n’est pas calculé pour chaque pixel de la dimension spatiale du cube (section 6.3.3). Cette approximation revient à supposer que le cube de PSF est constant dans toute la région d’intérêt sur laquelle est réalisé l’ajustement. En pré-requis de l’analyse, un cube de PSF est évalué à la position (xs, ys) dans le champ de vue de la région que l’on voudra ensuite étudier. Si l’on veut étudier plusieurs sources, il est possible d’évaluer un cube de PSF à différentes positions et de convoluer les modèles spatiaux 2D pour chaque source par chacun de ces cubes de PSF calculés indépendamment.
La PSF est déterminée en fonction de la distance angulaire à la sourcerad (section 6.3.3). Pour un lot de données composé d’un nombreNobs d’observations, une énergieEref et une position de la région d’intérêt(xs, ys) du centre de la carte, la table de PSF moyenne en fonction de la distance à la source se détermine par le calcul suivant :
P SFmoyenne(rad, (xs, ys), Eref) = PNobs
i Ai(θi(xs, ys), Eref)× ti× P SFi(rad, θi(xs, ys), Eref) PNobs
i Ai(θi(xs, ys), Eref)× ti
(8.3) avec Ai la surface efficace, θi(xs, ys) le décalage angulaire de la région d’intérêt par rapport à la direction de pointé du run i et ti le temps d’observation soustrait du temps mort. Elle est pondérée par l’exposition afin de conserver le nombre d’excès prédit pour la somme de cesNobs observations (Annexe F).
Nous calculons cette table moyenne au centre de chaque intervalle en énergie du cube. Nous la projetons ensuite à 2D sur une carte 2D en supposant une symétrie radiale.
8.2. PREMIÈRE VALIDATION DE L’ANALYSE 3D DANS GAMMAPY AVEC UN OUTIL