de genre au moins 2 peuvent être uniformisées par le disque. C’est une grande surprise pour les mathématiciens de l’époque. On connaissait des exemples – nous en avons vu quelques-uns – mais la généralité du résultat semble incroyable. Aujourd’hui encore cela reste un fait majeur et hautement non trivial de la géométrie des courbes algébriques, au point qu’un grand nombre de mathématiciens le connaissent « si bien » qu’ils en oublient le caractère non trivial et le confondent trop souvent avec deux autres théorèmes certes importants, mais bien plus anciens (et bien plus simples) : lethéorème de Riemann(dont nous verrons que la première preuve convaincante est due à Osgood) selon lequel un ouvert (non trivial) simplement connexe du plan est conformément équivalent au disque et le théorème de Gauss (souvent pensé à tort comme dû à Riemann) selon lequel une surface (analytique réelle) est localement conforme à un ouvert du plan.
Même si cet ouvrage n’est pas un livre d’histoire, une brève présenta-tion des protagonistes n’est pas inutile.
En 1880, Poincaré est un jeune maître de conférences de 26 ans. Il a soutenu sa thèse deux ans auparavant et son thème de recherche est celui des équations différentielles. Il est indiscutable que ce sont les équations différentielles qui ont été à l’origine de presque toutes ses découvertes ultérieures. En 1878 l’Académie des sciences de Paris propose justement comme sujet de concours, pour le Grand prix des sciences mathématiques à décerner en 1880, la question suivante :
« Perfectionner en quelque point important la théorie des équations différentielles linéaires à une seule variable indépendante. » Alors que quelques mois auparavant, il avait fondé la théorie qualitative des systèmes dynamiques(13), Poincaré se lance donc dans l’étude des équa-tions différentielles en une variable. Il soumet un premier mémoire en mars 1880 sur la théorie réelle ; mémoire qu’il retire en juin de la même année. Entre temps Poincaré prend connaissance – en mai 1880 – d’un article de Fuchs sur les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients algébriques. Le mémoire que soumet finalement Poincaré à l’Académie – en juin 1880 – contient des réflexions inspirées par l’article de Fuchs ; il est reproduit dans [Poin1951], tome I, pages 336–373. Dans le travail qui interpelle Poincaré, Fuchs s’applique à généraliser l’inversion de Jacobi. Il considère en particulier la fonction inverse du quotient de deux solutions indépendantes d’une équation différentielle du second ordre et donne une condition nécessaire et suffisante pour que cette fonction soit méromorphe. Alors que la théorie de Fuchs est essentiellement locale, ce résultat frappe Poincaré mais ne le convainc pas. Il comprend en effet que le résultat de Fuchs est une forme (trop forte) d’uniformisation(14). Quoi qu’il en soit, à cette époque, Poincaré essaye de comprendre les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients algébriques viala théorie de Fuchs. Et c’est dans ce but qu’il crée les groupes fuchsiens. La première partie de cette belle histoire(15)est absente de ce livre. Heureusement, l’existence de[Poin1997]nous excuse un peu. On peut résumer ces premiers mois en disant que Poincaré s’engouffre avec tout son génie mais aussi avec
« naïveté » dans cette nouvelle théorie. Sa correspondance avec Klein montrera par exemple qu’il n’avait pas lu Riemann à cette époque !
13. À cette occasion Poincaré ressent d’ailleurs le besoin de développer une théorie autonome de la topologie (ce qu’il fera plus tard, comme on le sait).
14. Le lendemain de l’envoi de son mémoire à l’Académie, Poincaré envoie d’ailleurs à Fuchs la première d’une série de lettres où le jeune maître de conférences tente – sans succès – d’expliquer au professeur Fuchs qu’un difféomorphisme local n’est pas néces-sairement un revêtement. Notons d’ailleurs que, tout au long de son travail sur l’unifor-misation, l’aisance de Poincaré avec ce qui n’est pas encore la théorie des revêtements est certainement un atout essentiel. Au point que certains ont voulu voir dans la construc-tion du revêtement universel le principal apport de Poincaré au problème. Nous verrons cependant que cette dernière assertion est largement exagérée.
15. Partie constituée du mémoire envoyé à l’Académie mais aussi des trois supplé-ments découverts par Gray en 1979 puis publiés et analysés dans[Poin1997].
Klein a six ans de plus que Poincaré. Il est professeur depuis déjà dix ans. Il est probablement le mathématicien le plus en vue de son époque et sa culture mathématique est immense. Il est certainement l’un des plus fins connaisseur des travaux de Riemann et il connaît parfaitement la théorie des fonctions elliptiques. Il est l’un des propagateurs les plus influents de l’idée de groupe en mathématiques : son « programme d’Erlangen » de 1872 à l’occasion de sa nomination comme professeur (à 23 ans) montre une lucidité étonnante. Il a publié des articles majeurs sur l’uniformisation de quelques exemples de courbes algébriques, d’origine arithmétique. Il est aussi celui qui a établi le caractère projectif (réel) de la géométrie non euclidienne. Lorsque le professeur Klein prend connaissance des premières notes de Poincaré sur les groupes fuchsiens (datées de février 1881), il est visiblement stupéfait à la fois par la généralité des constructions de Poincaré et par sa méconnaissance de la littérature sur le sujet, allemande en particulier. Le 12 juin 1881, il commence une correspondance passionnante avec son jeune collègue de l’autre côté du Rhin, qui se déroulera jusqu’au 22 septembre 1882.
Nous reproduisons en appendice cette correspondance célèbre et nous en recommandons vivement la lecture. On peut y voir l’affronte-ment (scientifique !) entre un débutant et un professeur établi, teinté de connotations politiques sous-jacentes. On peut y voir également le respect mutuel croissant au fil des lettres. Mais on peut surtout y voir la genèse de ce théorème d’uniformisation, qui se précise presque au jour le jour. On ne peut que constater que le génie de Poincaré force le respect de Klein qui le reconnaîtra bien volontiers plus tard.
Les premières fonctions fuchsiennes que Poincaré construit (note du 23 mai 1881, [Poin1951], t. II, p. 12–15) uniformisent les surfaces obtenues en privant une sphère d’un nombre fini de pointsréels (Poin-caré autorise aussi les singularités orbifoldes). Comme Klein lui fera remarquer, il retrouve ainsi les fonctions construites par Schwarz (voir le chapitre IV). La méthode suivie par Poincaré est toutefois fort différente.
Poincaré considère les groupes (fuchsiens) engendrés par les réflexions par rapport aux côtés de polygones hyperboliques idéaux à n côtés.
Ces groupes dépendent den−3 paramètres réels 1< x1 < . . . <xn−3 et Poincaré identifie l’espace de ces groupes avec l’espace des modules des sphères privées den points réels. C’est une première apparition de
la méthode de continuité(16). Force est de constater que « dès le début Poincaré a une avance que Klein ne peut plus rattraper »[Freu1955]. Le 8 août 1881 Poincaré annonce d’ailleurs ([Poin1951], t. II, p. 29–31) :
On en conclut :
1. Que toute équation différentielle linéaire à coefficients algébriques s’intègre par les fonctions zétafuchsiennes ;
2. Que les coordonnées des points d’une courbe algébrique quelconque s’expriment par des fonctions d’une variable auxiliaire.
C’est la première fois que le théorème d’uniformisation est énoncé.
Il faut toutefois tempérer un peu l’enthousiasme du jeune Poincaré. Ce qu’il démontre vraiment (et complètement rigoureusement) est sensi-blement plus faible :toute courbe algébrique peut être « uniformisée » par une fonction du disque vers la courbe qui évite au plus un nombre fini de points. Pour Poincaré, motivé par l’intégration des équations différen-tielles au moyen de fonctions définies par des séries explicites, éviter un nombre fini de points n’est pas un problème. Surtout que la démonstra-tion est ici particulièrement simple et élégante : étant donnée une courbe algébrique ramifiée au-dessus de la sphère, quitte à enlever les points de ramifications, on obtient un revêtement au-dessus de la sphère privée d’un nombre fini de points. Ne reste plus alors qu’à démontrer que quitte à ôter de la sphère un nombre fini de points supplémentaires, celle-ci revêt une sphère privée de pointsréels. Cette dernière étape est un exer-cice élémentaire que l’on recommande au lecteur.
C’est en fait à Klein que revient l’honneur d’énoncer le théorème d’uniformisation des courbes algébriques tels que nous l’entendons maintenant. Klein, moins intéressé par les équations différentielles, préfère en effet les polygones finis. Sa connaissance intime des travaux de Riemann lui permet en outre d’identifier le nombre de modules de courbes d’un genre fixé aux nombres de paramètres dont dépendent les polygones de Poincaré de même genre. Il est donc plus naturellement amené à dégager le « bon énoncé » (voir Freudenthal[Freu1955]et Scholz [Schol1980]), « c’est le seul point essentiel où Klein, dans les recherches sur les fonctions automorphes, a dépassé Poincaré »[Freu1955]. Le grand
16. La méthode de continuité, telle que pensée par Poincaré, est explicitement décrite dans le cas des sphères privées de 4 points dans le chapitre IX. Nous laissons au lecteur l’exercice de vérifier que la méthode se simplifie considérablement lorsque les 4 points sont réels.
principe est encore la méthode de continuité, mais celle-ci est difficile à mettre en œuvre dans cette généralité. La correspondance entre Klein et Poincaré montre bien comment chacun la présente selon son point de vue.
Klein constate donc que la construction des groupes fuchsiens par Poincaré produit des courbes algébriques uniformisables et que celles-ci dépendent d’un nombre de paramètres égal à celui de l’espace des modules de courbes d’un genre fixé. Il constate par ailleurs que si une surface de Riemann peut être uniformisée, elle l’est d’une seule façon. Il s’agit donc de montrer que l’espace des courbes uniformisables est à la fois ouvert et fermé. La question de la connexité de l’espace des modules est mentionnée par Klein comme démontrée dans son livre[Kle1882c] que nous avons déjà décrit(17).
Poincaré quant à lui s’intéresse aux équations différentielles linéaires du second ordre sur une courbe algébrique et il montre que leur des-cription dépend d’une représentation de « monodromie » du groupe fondamental (qu’il n’a pas encore « inventé ») dans SL(2,C). Lorsqu’on fait varier l’équation différentielle sur une courbe algébrique fixe, la représentation varie. Dans les exemples de courbes uniformisables (donnés par les groupes fuchsiens) l’une de ces équations différentielles est privilégiée et possède un groupe de monodromie réel : Poincaré la qualifie defuchsienne. Il affirme alors que toutes les courbes algébriques possèdent une telle équation fuchsienne et que ceci permet de montrer que sa construction de groupes fuchsiens est assez flexible pour décrire toutes les courbes algébriques. La « preuve » qu’il propose contient également une composante consacrée à l’ouverture et une autre à la fermeture. L’attachement de Poincaré aux polygones idéaux lui permet certainement de mieux cerner les difficultés liées à la fermeture, voir [Schol1980].
Klein et Poincaré ont décrit plus tard cette période de leurs vies. Le texte de Poincaré sur l’« invention mathématique », datant de 1908, est célèbre[Poin1908]. Il décrit la découverte du lien entre les équations dif-férentielles et la géométrie hyperbolique, antérieure au premier contact épistolaire avec Klein.
A ce moment, je quittai Caen, que j’habitais alors, pour prendre part à une course géologique entreprise par l’École des mines. Les péripéties du voyage 17. Sa « preuve » ne nous convainc guère.
me firent oublier mes travaux mathématiques ; arrivés à Coutances, nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade. Au moment où je mettais le pied sur le marchepied, l’idée me vint, sans que rien dans mes pensées antérieures parût m’y avoir préparé, que les transformations dont j’avais fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes étaient iden-tiques à celles de la géométrie non euclidienne. Je ne fis pas la vérification, je n’en aurais pas eu le temps puisqu’à peine dans l’omnibus je repris la conversation commencée ; mais j’eus tout de suite une entière certitude.
De retour à Caen, je vérifiai le résultat à tête reposée pour l’acquit de ma conscience.
Il est indiscutable que Poincaré avait compris l’essentiel de la théorie avant le début de sa correspondance avec Klein. Dans son troisième sup-plément au mémoire pour le prix de l’Académie, soumis le 20 décembre 1880, il « conjecture » que les fonctions fuchsiennes permettent de ré-soudre toutes les équations différentielles linéaires à coefficients algé-briques[Poin1997]:
Je ne doute pas d’ailleurs que les nombreuses équations envisagées par M. Fuchs dans son mémoire inséré au tome 71 du Journal de Crelle ... ne fournissent une infinité de transcendantes ... et que ces fonctions nouvelles ne permettent d’intégrer toutes les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques.
On notera cependant l’absence de formulation en termes d’uniformisa-tions de courbes algébriques.
Quant à Klein, dans son livre sur le développement des mathéma-tiques au dix-neuvième siècle[Kle1928], il explique :
Pendant la dernière nuit de mon séjour, celle du 22 au 23 mars[1882], que j’ai passé assis sur un divan à cause d’une crise d’asthme, m’est apparu su-bitement vers trois heures et demi le théorème central tel qu’il est ébauché dans la figure du polygone à 14 côtés. Le lendemain matin, dans la diligence qui à l’époque circulait entre Norden et Emden, j’ai réfléchi à ce que j’avais trouvé examinant encore une fois tous les détails. Je savais, maintenant, que j’avais trouvé un théorème important. Arrivé à Düsseldorf, j’ai rédigé le mé-moire, daté du 27 mars, envoyé à Teubner et fait transmettre les épreuves à Poincaré et à Schwarz, ainsi qu’à Hurwitz.
Dans[Kle1921a, p. 577-586, vol. 3], il ajoute par ailleurs qu’il considère que ni lui ni Poincaré n’avaient obtenu de preuve complète et que la preuve par la méthode de continuité n’a été solidement établie qu’en 1912 par Koebe [Koe1912]. Il décrit également cet épisode de sa vie
comme « la fin de sa période productive ». Il tombera d’ailleurs malade à l’automne 1882(18).
Cette seconde partie du livre n’apporte malheureusement qu’une contribution superficielle à la description de cette aventure mathéma-tique. Le bel article de Freudenthal [Freu1955] nous a servi de point de départ. Le livre de Klein [Kle1928] est une référence incontour-nable sur l’histoire des mathématiques au dix-neuvième siècle, écrite par un des héros de notre ouvrage. En complément, le lecteur pourra également consulter le chapitre correspondant du livre historique de J. Gray [Gra1986], l’analyse remarquable par J. Dieudonné [Die1982], l’introduction aux trois suppléments sur la découverte des fonctions fuchsiennes [Poin1997], les commentaires de J. Stillwell attachés à sa traduction en anglais des articles de Poincaré sur les fuchsions fuch-siennes [Poin1985], le chapitre correspondant de l’impressionnante thèse de Chorlay [Cho2007], les commentaires joints à la traduction de la correspondance Klein-Poincaré[Poin1989]ou encore l’article de Fricke[Fric1901]dans l’Encyklopädie der mathematischen Wissenschaf-ten. Citons enfin un article d’Abikoff[Abi1981]intéressant du point de vue mathématique mais dont nous ne retiendrons, pour ce qui est de l’analyse historique, que son interprétation de la réception par Hurwitz, Schwarz et Poincaré de sa démonstration du théorème d’uniformisation.
– Hurwitz : I accept it without reservation.
– Schwarz : It’s false.
– Poincaré : It’s true. I knew it and I have a better way of looking at the pro-blem.
Le chapitre VI est une introduction aux groupes fuchsiens. On y trouvera par exemple des constructions de groupes fuchsiens associés à des polygones fondamentaux, ainsi que la construction de formes automorphes et de fonctions fuchsiennes invariantes par l’action des
18. « Leipzig seemed to be a superb outpost for building the kind of school he now had in mind : one that would draw heavily on the abundant riches offered by Riemann’s geo-metric approach to function theory. But unforeseen events and his always delicate health conspired against this plan.[In him were]two souls[...]one longing for the tranquil scho-lar’s life, the other for the active life of an editor, teacher, and scientific organiser.[...]It was during the autumn of 1882 that the first of these two worlds came crashing down upon him[...]his health collapsed completely, and throughout the years 1883-1884 he was plagued by depression »[Row1989].
groupes fuchsiens. Comme références actuelles sur les groupes fuch-siens, on peut indiquer les livres [Kat1992] et [Bea1983], le second étudiant aussi leur généralisation en dimension quelconque : groupes discrets d’isométries de l’espace hyperbolique, notamment les groupes kleinéens en dimension 3. On peut aussi indiquer[Dal2007]et[Mas1988] sur les groupes kleinéens. L’article[Mas1971]donne la première preuve complète et correcte du théorème du polygone de Poincaré (théorème VI.1.10).
Le chapitre VII est une variation autour de l’approche « à la Klein » et aucune tentative n’a été faite pour nous prononcer sur la validité des preuves proposées par Klein(19). Nous proposons une « reconstitution » de ce qu’aurait pu être une preuve du théorème d’uniformisation des courbes algébriques suivant les lignes de la méthode de continuité du point de vue de Klein. Cette preuve utilise des outils développés pos-térieurement mais sous une forme faible. En résumé, ce chapitre VII est en quelque sorte l’article que Klein aurait pu écrire en ayant plus d’outils à disposition. La littérature sur les représentations des groupes de surfaces, depuis une vingtaine d’années, devient énorme. L’article [GolW1988]est une référence importante pour les questions évoquées dans ce chapitre. Pour une présentation plus proche des idées de Klein, on peut aller voir le livre classique[FrKl1897].
Le chapitre VIII est une introduction à l’approche de Poincaré. Nous y expliquons comment la théorie de l’uniformisation peut s’exprimer en termes d’équations différentielles linéaires du second ordre puis nous donnons une preuve de l’ouverture de l’espace des courbes uni-formisables. Pour cela, il nous faut compléter quelques arguments de Poincaré, mais de manière relativement légère. Quant à l’approche par Poincaré de la fermeture, nous ne l’expliquons pas parce qu’elle ne nous convainc pas, mais aussi parce que nous ne voyons pas comment on pourrait la « réparer » sans utiliser essentiellement les arguments utilisés au chapitre VII.
Enfin, le chapitre IX contient la mise en œuvre de l’approche de Poin-caré dans des cas particuliers, ainsi que des ouvertures sur la postérité
19. Disons simplement que son approche de la fermeture ne nous paraît pas convain-cante.
de ces méthodes. On y trouvera notamment des cas explicites d’unifor-misation obtenus par Schwarz dans son étude de l’équation hypergéo-métrique.
Comme nous l’avons déjà expliqué, le théorème d’uniformisation ne se limite pas au cas des courbes algébriques. Enhardi par ce « cas par-ticulier » (pourtant déjà incroyablement général), Poincaré cherchera à le généraliser à toutes les surfaces de Riemann simplement connexes, qui ne sont pas nécessairement les revêtements universels de surface compactes. Il n’y a plus d’espace de modules de dimension finie, plus de groupes de monodromie. Koebe et Poincaré y parviendront en 1907, comme nous l’expliquerons dans la troisième partie.